Березкин Основы теории информации и кодирования 2010

1.3. В общем случае разложение в ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов имеет вид

			sin		k 0
	h
					2
x(t)		2
	1
	T	k 1		k 0
					2

cos(k 0t) .

Следовательно, спектральные характеристики можно представить следующим образом

	A0	h ,		A	( )		2h ,		k	( )	1		( 1)
	2 2			k			k				2

1.4. Обобщенный ряд Фурье имеет вид

k 1

2 , k 1,3,5,... .

	h		4h			1						1
x(t)				2	cos( 0t)					cos(3 0t)					cos(5 0t) ... .
	2					3			2			5		2
1.5. Обобщенный ряд Фурье имеет вид
x(t)			2h			1		sin(2 0t)			1	sin(3 0t)
					sin( 0t)	2					3					... .

1.6. Спектральные характеристики представлены на рис. 11.2.

Ak ( ) h / 2

h /			2h / 3
			2h /15			…
						7 0
		0	3 0	5 0			9 0

k ( )

Рис. 11.2. Спектр амплитуд и спектр фаз

261

1.7. Обобщенный ряд Фурье имеет вид

x(t) 2 h 34h cos(2 0t) 154h cos(4 0t) 354h cos(6 0t) ... .

1.8. Полная средняя мощность заданной периодической последовательности прямоугольных импульсов равна

		A2				1													1		2								1 1										1
P			0								Ak2		h2													(1																...)
																								2						2					2					2
	4					2 k 1													4										3				5						7
													h		2			1				2 2							0,5h							2		.
																		4					2			8
Результат получен с учетом того обстоятельства, что
						1								1										1								2						2					2
																																											.
				(2n 1)				2						2								(2n)					2			6						24
	n 1										n 1			n					n 1																						8

Полную среднюю мощность, кроме того, можно было получить более простым способом:

		1	/ 2
	P		h2 dt 0,5h2 .
		T
			/ 2

В пределах практической ширины спектра размещаются постоянная составляющая и первая, третья, пятая гармоники. Следовательно, средняя мощность сигнала, приходящаяся на практическую ширину спектра, имеет вид

P5		h2		1		2h	2	1		2h	2	1		2h 2	0,48h	2	.
		4		2				2				2
										3				5

Таким образом, в пределах практической ширины спектра сосредоточено

P5 0,48h22 0,96 , P 0,5h

т.е. 96 % всей средней мощности сигнала.

1.9. Число гармоник, подлежащих учету, может быть получено из соотношения

Ak 0,1 .

A1

262

1.10. На рис. 11.3 приведены первые три гармонические составляющие меандра, а на рис. 11.4 – их графическая сумма.

Рис. 11.3. Гармонические составляющие меандра

1.11. Наиболее простой способ решения этой задачи состоит в следующем. Получить спектральные характеристики для сигнала, представленного на рис. 1.4. Сигнал в соответствии с условием задачи отличается от периодического колебания пилообразной формы наличием постоянной составляющей h и сдвигом в сторону запаздывания на величину T / 2 . Следовательно, достаточно изменить известный спектр в соответствии с известными свойствами преобразования Фурье. Особенность будет заключаться только в том, что непрерывная частота, фигурирующая в преобразова-

ниях Фурье, должна быть заменена на дискретную k 0 .

Рис. 11.4. Сумма гармонических составляющих меандра

263

2.1. Спектральная плотность такого сигнала находится следующим образом:

S( j ) 2											h cos( 0t)e j t dt h																			2				e j( 0 )t dt								h					2				e j( 0 )t dt
																										2																2
								2																							2																		2
	h			j		( 0 )									e		j	( 0 )							e	j		( 0 )										e	j	( 0 )
		e									2							2													2								2
	2
							j( )																						j( )
																		0																					0
											h					sin			( 0 )																		h		sin				( 0 )
					0																											0
																		2																													2
					h sin										( 0 )											h sin											( 0 )
																		2																					2
						2							( 0 )													2									( 0 )
															2																						2
															1 S1 j( 0 ) S1 j( 0 ) .
															2
	Сравнив полученное выражение с выражением
																																				sin
																			S1 ( j )										h								2

2

спектральной плотности для одиночного прямоугольного импульса такой же длительности и амплитуды h , но без высокочастотного заполнения, видим, что по отношению к спектру прямоугольного импульса спектр импульса высокочастотных колебаний смещен на

величину несущей 0 и расширен в два раза за счет появления

зеркального отображения спектра (рис. 11.5).

Следует отметить, что аналогичный результат может быть получен путем простого использования свойства преобразования Фурье – сдвиг спектра колебания по частоте (2.3.4), в соответствии с которым расщепление спектра S1( j ) на две части, смещенные

264

соответственно на 0 и 0 , эквивалентно умножению функции x1 (t) на гармоническое колебание cos 0t .

S(j )

h

0

0 2 /

0 2 /

Рис. 11.5. Комплексная форма спектральной плотности одиночного импульса высокочастотных колебаний

Графики модуля спектральной плотности импульса высокочас-

		sin			( 0 )
тотных колебаний	S ( ) h			2				и аргумента спек-
		(		0 )
				2

тральной плотности			0
	( ) E
		2 /

на рис. 11.6.

		h
2.2. S ( j )			e	j (arctg	t0	)
						.
	2	2

		приведены

2.3. Единичная функция 1(t) не удовлетворяет условию абсо-

лютной интегрируемости x(t) dt и, следовательно, к ней

нельзя применить преобразование Фурье. Однако ее можно рассматривать как образованную из импульса экспоненциальной

265

формы при неограниченном уменьшении его коэффициента затухания 0 .

	Окончательно результат имеет вид S( )															h	,	( )	.
																			2
				S( )					h
				( )		0			0			2 /
								0 2 /
	-

Рис. 11.6. Модуль и аргумент спектральной плотности одиночного импульса высокочастотных колебаний

2.4. Реакция фильтра представлена на рис. 11.7. x(t)

h c

t

Рис. 11.7. Реакция фильтра нижних частот на дельта-импульс

2.5. Доказательство состоит в нахождении спектральной плотности дельта-функции S ( j ) e j t0 и в последующем приме-

нении обратного преобразования Фурье.

2.6. Спектральная плотность выходного сигнала определяется следующим образом:

266

S * ( j ) S( j )K ( j ) ,

где K( j ) – передаточная функция интегрирующей цепочки. Вы-

ходной сигнал находится в соответствии с обратным преобразованием Фурье

	1			e		t T0	,
						RC
		2RC
x* (t)						t T
	1		e			0	,
						RC
	2RC

вид которого представлен на рис. 11.8. x* (t)

1

RC

T0

t T0 ;

t T0 ,

t

Рис. 11.8. Выходной сигнал

Данное решение находится с использованием известного таб-

cos px

pq

личного интеграла

dx

e

.

q

2

x

2

2q

0

2.7. Спектральную плотность находим в соответствии со свойством преобразования Фурье о взаимозаменяемости переменныхи t для четного сигнала (рис. 11.9).

S( j )

2 h

m / 2

m / 2

Рис. 11.9. Спектральная плотность импульса

267

x(t)

3.1.	K XXдп		A2		cos 0 .
			2
3.2.	K XXдп		1		A0		2		1		Ak		2 cos k 0 . Как видно из полу-
			4						2 k 1

ченного выражения, корреляционная функция периодического сигнала с периодом T представляет собой периодическую функцию аргумента с тем же периодом. Амплитуда гармоники корреляционной функции равна половине квадрата амплитуды соответствующей гармоники .

3.3. Задача решается с использованием преобразования Хинчи- на–Винера

GXX ( ) K XX ( )e j d ;

K XX ( ) 1 GXX ( )e j d . 2

Спектральная плотность средней мощности представляет собой усредненную энергетическую картину распределения мощности

	сигнала по частотному спектру (рис. 11.10)
	GXX ( )	2A		.
		2 2

GXX ( )

Рис. 11.10. Спектральная плотность мощности

3.4. GXX ( ) G0 . Спектр равномерен на всех частотах – сигнал типа ”белый шум”, который характеризуется тем, что значения

268

x(t) в любые два (даже сколь угодно близкие) момента времени некоррелированы.

3.5. K XX ( ) e 3 e 2 . Задача решается достаточно просто, если GXX ( ) представить в виде

GXX ( ) 26 9 24 4 .

3.6. Дисперсия стационарного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием может быть вычислена по формуле

D[ X (t)] 1 GXX ( )d 2 . 2

3.7. Как известно из теории вероятности, среднеквадратическое

значение определяется выражением
m[ X 2 ]	K XX (0)	G0	.
		2

3.8. Для заданного стационарного случайного процесса математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

m[ X ] 0 ,	D[ X ]	c G0 .

3.9. Спектральная плотность мощности выходного сигнала определяется следующим образом:

GXX ( ) G0	K( j )	2		G 2	,
				0
				1 ( )2

где K( j ) – передаточная функция электрической цепи. Корреляционная функция вычисляется обычным образом:

K XX ( )

G 0 2 e

.

2

4.1. Интегральная

кривая распределения

энергии сигнала в

1

с

2

S ( )

d

спектре частот (

) Э( c )

c

0

для экспоненци-

Э

1

2

S ( )

d

0

269

ального импульса ( c ) 2 arctg c представлена на рис. 11.11.

Задавшись, например, уровнем 0,9, можно приближенно удовлетворить условие теоремы Котельникова об ограниченности спектра сигнала и найти частоту, за пределами которой S ( j ) 0 ,

0c ,9 tg( 0,45 ) .

( c )

1

0,9	c

Рис. 11.11. Интегральная кривая распределения энергии

4.2. Интервал дискретизации находится как отношение

t				.
	c0,9		tg( 0,45 )

4.3. Известно, что ряд Котельникова представляет собой разложение реализации случайного процесса координатными детерми-

нированными функциями	времени	A(tk ) sinc [ c (t k t)] с
весовыми коэффициентами	x(k t) ,	равными мгновенным значе-

ниям сигнала в точках k t .

На рис. 11.12 изображен ряд Котельникова совместно с детерминированными координатными функциями времени для экспо-

ненциального импульса		sin[ c (t k t)]	.
	x(t) x(k t)	c (t k t)
	k

4.4. Период спектра амплитуд (рис. 4.6) дискретного периоди-

ческого сигнала в масштабе частот равен N 2 , а в пределах

T

периода составляющие спектра симметричны относительно середины этого интервала, причем Ak AN k . Поэтому вся полез-

ная информация имеется уже в интервале частот, равном T .

270