Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
КОЛЕБАНИЯ И ОПТИКА. АТОМ И АТОМНОЕ ЯДРО
СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ 11 КЛАССА
Под редакцией Н. А. Добродеева
Рекомендовано УМО "Ядерная физика и технологии" в качестве учебного пособия
Москва 2011
УДК 53 (075) ББК 22.3я7 К60
Колебания и оптика. Атом и атомное ядро: Сборник задач для 11
класса/ А.А.Богданов, Г.М. Горбаченко, В.В. Грушин, Н.А. Добродеев, С.О. Елютин/ Под ред. Н.А. Добродеева. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 124 с.
Данный сборник предназначен для самостоятельной и аудиторной работы учащихся 11 классов физико-математического профиля образовательных учреждений СОО и СПО. Задания содержат как оригинальные, так и известные задачи по разделам: колебания, оптика, атом и атомное ядро.
По каждой теме дается оптимальное для обеспечения учебного процесса число задач, подобранных с нарастающей степенью сложности и с определенной последовательностью в изучении сущности рассматриваемых в курсе закономерностей. Такой подбор должен способствовать планомерному и глубокому изучению курса.
Даны также небольшие теоретические введения и примеры решения задач.
Подготовленов рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Н.А. Калашников
ISBN 978-5-7262-1396-5 |
С Национальный исследовательский |
ядерный университет «МИФИ»,2011
|
|
Содержание |
|
Введение: колебательные процессы. Основные определения.............. |
4 |
||
1. |
Характеристики механических колебаний........................................ |
5 |
|
2. |
Причины колебательного движения.................................................. |
9 |
|
3. |
Энергия гармонических колебаний. Вынужденные колебания .... |
16 |
|
4. |
Сложение гармонических колебаний............................................... |
22 |
|
5. |
Механические волны......................................................................... |
25 |
|
6. |
Переменный ток................................................................................. |
31 |
|
7. |
Активное сопротивление, индуктивность и емкость |
|
|
|
в цепи переменного тока .................................................................. |
37 |
|
8. |
Мощность переменного тока. Трансформаторы............................. |
42 |
|
9. |
Генераторы и электродвигатели постоянного тока........................ |
47 |
|
10. |
Колебательный контур ................................................................... |
51 |
|
11. |
Электромагнитные волны............................................................... |
57 |
|
12. |
Отражение света.............................................................................. |
60 |
|
13. |
Преломление света. Полное отражение......................................... |
64 |
|
14. |
Сферические зеркала....................................................................... |
68 |
|
15. |
Тонкие линзы................................................................................... |
74 |
|
16. |
Оптические системы и приборы..................................................... |
82 |
|
17. |
Интерференция и дифракция.......................................................... |
87 |
|
18. |
Кванты. Фотоэффект ...................................................................... |
92 |
|
19. |
Основные положения теории относительности............................ |
96 |
|
20. |
Строение атома ............................................................................. |
100 |
|
21. |
Атомное ядро. Элементарные частицы ....................................... |
108 |
|
22. |
Дополнительные задачи (для проверочных |
|
|
|
|
и контрольных работ)..................................................................... |
115 |
Ответы........................................................................................................ |
119 |
3
Введение: колебательные процессы
Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.
Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т.п.
В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т. д.
Если весь цикл колебательного процесса повторяется точно через одинаковые промежутки времени, то такие колебания являются
периодическими.
Периодические колебания характеризуются периодом Т и частотой ν.
Период колебания Т − наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих периодическое колебание, то есть время, за которое совершается полный цикл процесса.
Частота колебаний ν – число полных циклов, совершаемых за единицу времени.
Единица измерения частоты в СИ – герц (1 Гц = 1 с−1) Между периодом колебания Т и частотой ν существует связь:
Т= ν1 .
Взависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.
Свободными называют колебания, которые происходят в системе, однократно выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе.
Вынужденными называют колебания, при которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.
Простейшим примером по характеру описания являются гармо-
нические колебания.
4
Гармоническими являются колебания, при которых величины, описывающие эти колебания, изменяются со временем по закону
косинуса [или синуса]:
x = Acos(ω t +ϕ0 ) [ x = Asin(ω t +ϕ′0 ) ].
Здесь ω = 2πν – круговая частота, А – амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний – это максимальное значение величины,
описывающей гармоническое колебание.
Фазой φ колебания называют аргумент косинуса (или синуса) в законе гармонического колебания:
φ = ωt + φ0.
Здесь φ0 – начальная фаза, то есть значение фазы в начальный момент времени t = 0.
1. Характеристики механических колебаний
В механической системе, имеющей устойчивое положение равновесия, могут происходить периодические колебания.
При описании механических колебаний материальной точки вдоль одного направления обычно принимают это направление за ось 0х, а за начало отсчета координаты х = 0 принимают положение равновесия.
Тогда для гармонических колебаний материальной точки зависимость координаты х от времени t (выберем для определенности закон косинуса) дается выражением
x = Acos (ω t +ϕ0 ) .
Скорость точки (проекция) |
|
|
|
|||||
Vх = x′(t) = |
dx |
|
|
|
|
π |
||
|
|
= −Aωsin(ωt +ϕ0 ) = Aωcos |
ωt + ϕ0 |
+ |
. |
|||
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||
Ускорение |
|
|
|
|
|
|
||
aх = υх′(t) = |
dυх |
|
= −Aω2 cos(ωt +ϕ0 ) = Aω2 cos(ωt +ϕ0 + π) . |
|||||
|
|
|||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Aмплитуда скорости υm = Аω; амплитуда ускорения am = Аω2. Между ускорением aх и координатой х при гармонических коле-
баниях всегда справедливо соотношение aх = − ω2 х.
5
Примеры решения задач
Пример 1.1. За какое время τ тело, совершающее гармонические колебания с периодом Т, проходит n-ю часть пути от среднего положения до крайнего?
Решение. Для упрощения решения выберем закон движения в виде
x = Asinω t = Asin 2Tπt .
Согласно этому закону в начальный момент тело находилось в среднем положении. Весь путь от среднего положения до крайнего равен А, n-я часть пути равна А/n и совпадает с координатой в момент τ, так как движение идет в одном направлении. Поэтому
An = Asin 2Tπτ , 1n = sin 2Tπτ; 2Tπτ = arcsin 1n .
Ответ: τ = 2Tπarcsin 1n .
Пример 1.2. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону х(t) = Acos (ωt + φ0). В начальный момент t = 0 смещение равно х0, проекция скорости равна υ0. Найти амплитуду А и начальную фазу φ0.
Решение. Подставив в закон х(t) = Acos (ωt + φ0) и в зависимость скорости от времени υх(t) = −Aω sin(ωt + φ0) значение t = 0, получим уравнения для определения А и φ0:
х0 = Acos ϕ0 ,
υ0 = − Aω sin ϕ0 .
Для нахождения φ0 разделим второе уравнение на первое:
υ
tg φ0 = − ω 0x0 .
Для нахождения A разделим второе уравнение на Aω, возведем каждое уравнение в квадрат и сложим их почленно. Так как sin2φ0 + cos2φ0 = 1, то в результате
А2 = |
x2 |
|
υ2 |
|
+ |
0 |
. |
||
|
||||
|
0 |
|
ω2 |
6
Ответ: φ0 = − arctg |
|
υ |
, А = |
|
x |
2 |
+ |
υ2 |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
0 . |
|
|
|
||||||
|
ω x0 |
|
|
|
0 |
|
ω2 |
|
|
|
|||
Пример 1.3. Точка совершает гармонические колебания с час- |
|||||||||||||
тотой ω и амплитудой А. Получите связь скорости υхи ускорения ах |
|||||||||||||
точки с ее смещением х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Для простоты выберем закон движения в виде х = |
|||||||||||||
= Acos ωt, положив φ0 = 0. Тогда υx = −Aω sin ωt. Чтобы получить |
|||||||||||||
связь скорости со смещением, нужно из этих соотношений исклю- |
|||||||||||||
чить t. Для этого преобразуем их: |
|
υх |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
= cos ωt; |
− |
= sin ωt. |
|
|
|
||||||
|
A |
|
ω |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
A |
х |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
||
Далее возведем эти уравнения в квадрат и сложим почленно. |
|||||||||||||
Так как sin2ωt + cos2ωt = 1, то искомая связь есть |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x2 |
|
υ2 |
=1 . |
|
|
|
||||
|
|
|
А |
2 |
+ |
х2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|||
Ускорение ах = −Aω2 cos ωt, а х = Acos ωt, поэтому ах = − ω2 х. |
|||||||||||||
Ответ: υх = ±ω А2 − x2 |
, ах = − ω2 х. |
|
|
|
|||||||||
Пример 1.4. Тело массой m, подвешенное на пружине жестко- |
|||||||||||||
стью k, удерживают так, что пружина имеет длину l, а затем отпус- |
|||||||||||||
кают. Определите амплитуду А колебаний тела, если длина пружи- |
|||||||||||||
ны в нерастянутом положении l0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Тело, подвешенное на вертикаль- |
|
|
|
||||||||||
ной пружине, при выведении из положения рав- |
|
l0 |
lP |
||||||||||
новесия совершает гармонические |
колебания |
l |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
симметрично относительно положения равнове- |
|
|
|
||||||||||
сия (расстояние lp от точки подвеса на рис. 1.1). |
|
|
m |
||||||||||
Так как максимальное растяжение пружины l, то |
|
|
|
||||||||||
амплитуда А = l − lp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.1 |
||
Так как в равновесии mg = k(lp |
− l0), то lp = |
|
|
|
|||||||||
= mg + l0, и амплитуда А = l − l0 |
− |
mg . |
|
|
|
||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||
Полученное выражение справедливо при l > lp > l0. Если анало- |
|||||||||||||
гично рассмотреть другие возможные случаи (lp > l > l0 |
и |
lp > l0 > l), |
|||||||||||
то можно получить обобщение на все случаи в виде |
|
|
|
7
|
А = |l − l0 − |
mg |
|. |
|
|
k |
|||
|
mg |
|
|
|
Ответ: А = |l − l0 − |
|. |
|
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
Задачи для решения в классе и дома
1.1.Материальная точка совершает колебания по закону: х(t) = 5cos2t (х − в сантиметрах, t − в секундах). Укажите значения амплитуды А, частоты ω, , циклической частоты ν, периода Т, начальной фазы φ0.
1.2.Закон колебательного движения небольшого тела дается уравнением: х(t) = 1 + 3sin 2·cos(t/2 +l) (х − в метрах, t − в секундах). Являются ли эти колебания гармоническими? Если да, то каковы амплитуда А и пе-
риод Т колебаний? Укажите координату положения равновесия тела х0 и начальную фазу φ0. Можно ли в этом случае величину х назвать смещением?
1.3.Точка совершает колебания и х(t) = A cos(ωt + φ0). В некоторый момент t1 фаза колебаний φ = 0,2π. Каково смещение х(t1), если за период точка проходит путь s = 40 см?
1.4.Подвешенный на пружине шарик выводят из положения равновесия двумя способами: 1) резким ударом сообщают ему скорость, направленную вертикально вниз; 2) шарик оттягивают вниз и отпускают. Определить начальную фазу колебаний, если колебания описываются функци-
ей x(t) = Acos(ωt + φ0) и момент t = 0 совпадает с началом движения шарика. Ось 0х направлена вертикально вниз.
1.5.Рассмотрите задачу 1.4 в случае, если колебания шарика описываются функцией х(t) = A sin(ωt + φ0).
1.6.Каков закон движения точки, если за время τ = 1 мин она совершает п = 120 колебаний с амплитудой А = 10 см? В момент t = 0 точка двигалась в направлении оси 0х и смещение составляло х(0) = 5 см.
1.7.За какую часть периода η тело, совершающее гармонические колебания, проходит: 1) весь путь от среднего положения до крайнего;
2)первую половину этого пути; 3) вторую половину этого пути?
1.8.Точка колеблется с частотой ν = 0,5 Гц и амплитудой А = 10 см. За какое время τ точка проходит путь s = 1 см, начиная из среднего положения?
1.9.Точка совершает колебания по закону: х(t) = 5 cos2t (х – в санти-
метрах, t – в секундах). Запишите выражения для проекции cкорости υx(t), проекции ускорения ах(t) и найдите амплитудные значения этих величин.
8
Постройте один под другим графики функций х(t), υx(t), ах(t). На какую величину отличаются фазы колебаний смещения, скорости и ускорения?
1.10. Шарик на нити совершает малые колебания с угловой амплитудой αm. Период колебаний Т, начальная фаза φ0 (смещение х(t) описывается синусоидой). Запишите зависимость угла отклонения нити от времени α(t) и зависимость угловой скорости нити от времени ω(t).
1.11. Круговая частота колебаний математического маятника ω0 в n = 10 раз больше максимальной угловой скорости нити маятника ωm. Найдите угловую амплитуду αm колебаний нити маятника.
1.12.Определите максимальную величину тангенциального ускорения аτmах, с которым движется шарик на нити, совершающий колебания с угловой амплитудой αm = 0,1 рад.
1.13.По условию задачи 1.10 найдите зависимость модуля полного ускорения шарика от времени а(t).
1.14.Амплитуда колебаний конца ножки камертона А = 1 мм, а часто-
та колебаний ν = 500 Гц. Напишите зависимости х(t), υх(t), ах(t). Каковы наибольшие значения скорости и ускорения? В каких положениях достигаются эти значения?
1.15.Подвешенное на пружине тело совершает вертикальные колеба-
ния. Максимальное значение скорости тела υт = 0,4 м/с, максимальное ускорение аτ = 4 м/с2. Определите амплитуду и круговую частоту колебаний тела.
1.16.Постройте графики зависимостей υх(х), ах(х), полученных в при-
мер 1.3.
1.17.В момент t0 координата материальной точки, совершающей гармонические колебания с частотой ω0, равна х0, а скорость равна υ0. Получите зависимость координаты этой точки от времени x(t).
1.18.Два одинаковых математических маятника имеют общую точку подвеса. Одному маятнику толчком сообщили некоторую скорость, а затем через Т/6 (Т − период колебаний) второму маятнику сообщили толчком такую же по величине скорость, но в противоположном направлении. Через какое время τ после начала движения первого маятника оба маятника столкнутся?
1.19.На горизонтальной плите лежит груз. Плита начинает совершать
вертикальные колебания с частотой ω0 и амплитудой А из положения равновесия. Скорость плиты в момент начала колебаний направлена вверх. При каком условии груз начнет подскакивать? На какую высоту Н от начального положения плиты подскочит груз после своего отрыва от ее поверхности?
9
2. Причины колебательного движения
Гармонические колебания тела происходят под действием сил, пропорциональных смещению тела из положения равновесия и направленных к этому положению.
Примером таких сил являются упругие силы – силы, возникающие при упругой деформации.
В общем, это могут быть силы любой природы – так называемые квазиупругие силы, для которых справедливо соотношение
Fx = − kx,
где k – коэффициент квазиупругой силы, x – проекция смещения из положения равновесия.
Подстановка квазиупругой силы в уравнение второго закона Ньютона дает значение собственной частоты колебаний ω0 системы путем сравнения с уравнением гармонических колебаний
aх = − ω02 х.
Собственная частота ω0 пружинного маятника (и горизонтального, и вертикального)
ω0 = mk ,
где k – жесткость пружины, m – масса маятника.
Собственная частота ω0 малых колебаний математического маятника (при небольших амплитудах отклонениях нити от вертикали)
ω0 = |
g |
, |
|
l |
|||
|
|
где l – длина нити маятника, g – ускорение свободного падения.
Примеры решения задач
Одним из методов для нахождения собственной частоты ω0 колебаний системы является метод, основанный на применении второго закона Ньютона. Последовательность действий в этом методе такова:
1)написать уравнение на основе закона Ньютона;
2)привести его к виду max = − kx;
10