Загребаев Методы матпрограммирования 2007

запишем задачу (4.88) в виде:

найти

z1

z2

+

min

ϕ1

z1,z2 a1

a2 ϕ2

при ограничениях

(z

−1)2

(z

2

−1)

2

= α,

1

+

1 δ1

1 δ2

0 ≤ z1 ≤1,

(4.89)

0 ≤ z2 ≤1.

Решение задачи. Решение задачи можно получить одним из ме-

тодов, изложенных в разд. 3.4. Однако в данном конкретном случае

легко

решить

задачу

графически.

Минимизируемая

функция

z1

z2

S = a

ϕ + a

ϕ

представляет собой прямую, уравнение связи

1

1

2

2

между переменными – либо эллипс при δ1 ≠ δ2 (см. рис. 4.7), либо

окружность при δ

= δ2 , область изменения переменных – квадрат

ODEL.

2,0

1

1,5

Относительныйреактивностизапас в первом реакторе, Z

1,0

D

M

E

*

z1

M1'

M1

0,5

O

S

L

S

0,0

z2*

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Относительный запас реактивности

во втором реакторе, Z2

Рис. 4.7. Решение оптимизационной задачи для системы двух реакторов с нелинейной зависимостью степени снижения мощности от запаса реактивности

281

Нетрудно видеть, что оптимальным решением являются координаты точки M (z1* , z2* ) касания прямой и эллипса, если точка ка-

сания принадлежит области изменения переменных – квадрату ODEL. Найдем координаты точки касания.

Уравнение касательной к эллипсу в точке (z1* , z2* ) примет вид

z (z* −1)			z	2	(z	*	−1)
1	1	+				2		= α.
	1 δ1				1	δ2

Условие совпадения углового коэффициента касательной с угловым коэффициентом целевой функции есть:

z1* −1 z*2 −1								= a		1		a			1	,
1	δ			1	δ	2				ϕ				2	ϕ
	1								1		1					2
откуда
	z*	−1			δ		a		δ		a	1
	1			=		2		2		1	1 =				.	(4.90)
	z*	−1			ϕ2					ϕ1			F
	2

Используя полученное соотношение (4.90) и условие связи между переменными

(z*	−1)2		(z*	−1)		2
1		+	2				= α
1	δ		1	δ	2
	1

получим оптимальное распределение относительных запасов реактивности

z*	=1 −	1		α
						;
1		F		δ2 + δ1 F 2
							(4.91)
				α
*	=1 −				2 .
z2				+ δ1 F
		δ2

Определим интервал изменения α, при котором точка касания M (z1* , z2* ) принадлежит области изменения переменных

282

0 ≤ z1 ≤1;

0 ≤ z2 ≤1.

Используя (4.91), получим, что

z

≥ 0 при

α

1

= α ≤ F

2δ

2

+ δ

1

;

1

z

2

≥ 0

при

α

2

= α ≤ δ

2

+ δ

1

F 2 .

Понятно,

что

z1 ≥ 0

и

z2 ≥ 0

одновременно

при

α = min (α1 , α2 ) .

Определим соотношение между α1 и α2

в зависимости от зна-

чения параметра системы F.

2δ

F 2δ

2

+ δ

(F 2

−1)(F 2δ

2

+ δ )

α

1

− α

2

= ∆α = F

2

+ δ

−

1

=

1

.(4.92)

1

F 2

F 2

Из выражения (4.92) видно, что при F > 1,

α1 > α2 . Ограниче-

нием в этом случае является условие α = α

2

, т.е. α ≤ δ

2

+ δ

F 2 :

при

F < 1,

α1 > α2

1

и

ограничением

является

условие

α ≤ δ

2

F 2 + δ ;

1

при

F = 1,

α1 = α2

ограничением

является

условие

α ≤ δ1 + δ2 =1 ,

которое выполняется всегда.

Следовательно, при

F = 1 точка касания при любом α принадлежит области изменения переменных и находится внутри нее.

На рис. 4.7 показан случай, когда параметр системы F > 1 (для

определенности изображена ситуация, когда

a1

a2

=1,

δ1

= 2 ).

ϕ

ϕ

2

δ

2

1

При α ≤ δ

2

+ δ

F 2 точка касания прямой и эллипса M (z* , z* )

1

1

2

принадлежит области изменения переменных – квадрату ODEL.

При α > δ2 + δ1

F 2

точка касания M1′ выходит за область изме-

нения переменных. Ближайшей к точке M1′ является точка М1 –

точка пересечения эллипса с осью z1. Координаты точки М1 и будут являться решением задачи.

283

Таким образом, решением задачи при параметре системы F > 1 является:

*

1

α

z

=1 −

;

F δ2 + δ1 F 2

1

α

*

2

z

2

=1 −

δ

2

+ δ

F 2

при 0 < α ≤ δ2

+ δ1 F

;

(4.93)

1

=1 − α − δ2 ;

*

z

1

δ1

*

= 0

при

δ2 + δ1

F

2

≤ α <1,

z

2

Решением задачи при параметре системы F < 1 будут:

1

α

z* =1 −

;

1

F

δ

2

+ δ

F 2

1

α

z* =1 −

δ

F 2

при 0 < α ≤ δ

F 2 + δ ;

(4.94)

2

2

+ δ

1

2

1

z* = 0;

1

z* =1 −

α − δ1

при

δ F 2 + δ ≤ α <1,

2

δ2

2

1

Если параметр системы равен единице, то оптимальным является распределение:

z1* = z 2* = 1 −

α

при 0 < α <1 .

(4.95)

Из выражений (4.93), (4.94) легко видеть, что

z* > z*		при	F > 1;
1	2
z* < z*		при	F < 1,
1	2

т.е. больший запас реактивности резервируется в реакторе с боль-

шим значением комплекса δϕa .

284

	На рис. 4.8 показаны фазовые диаграммы оптимального распре-
	деления запасов реактивности.
		1,5
	1	D		E
	Относительный запасреактивности в первом реакторе, Z	1,0
			F=2
		0,5
			F=1	F=0.5
		0,0		L
		O0,0	0,5	1,0	1,5
			Относительный запас реактивности
			во втором реакторе, Z2

Рис. 4.8. Траектории оптимальных распределений запасов реактивности в системе двух реакторов с нелинейной зависимостью ε(∆ρ)

Используя выражения для оптимальных распределений запасов реактивности, можно получить оптимальное распределение степеней снижения мощностей реакторов, с учетом того, что

ε* = (z* −1)2		и ε*	= (z* −1)2 .
1	1	2	2

Оптимальное распределение степеней снижения мощностей реакторов есть:

1) параметр системы F > 1

*

1

α

ε1

=

;

F δ2 + δ1 F 2

α

*

=

при

0

< α ≤ δ

+ δ

F

2

ε

2

2

2

1

;

δ2 + δ1

F

α − δ

2 ;

ε1* =

δ1

ε*

=

1

при

δ

+ δ

F 2

≤ α <1;

2

1

2

285

2) параметр системы F < 1

*

1

α

ε1

=

;

F 2 δ2

+ δ1 F 2

α

*

F

2

ε

=

при 0 < α ≤ δ

2

+ δ

;

2

2

δ2 + δ1

F

1

*

=1;

ε1

= α − δ1

ε*

при δ

F 2

+ δ

≤ α <1;

2

1

2

δ

2

3) параметр системы F = 1
		ε* = ε* = α		при	0 < α <1.
		1	2
На рис. 4.9 показаны фазовые диаграммы оптимальных степеней
снижения мощностей реакторов.
мощности		1,5
	1	D			E
Оптимальная степеньснижения	в первом реакторе, ε	1,0
		0,5
		0,0			L
		O0,0	0,5		1,0	1,5
		Оптимальная степень снижения мощности
			во втором реакторе, ε2

Рис. 4.9. Траектории оптимальных степеней снижения мощности в системе двух реакторов с нелинейной зависимостью ε(∆ρ)

286

Таблица 4.1

Оптимальные режимы эксплуатации системы двух реакторов

с нелинейной зависимостью ε(∆ρ)

при различных значениях

параметра системы

Пара-

Оптимальные

Оптимальные

метр

Степень снижения

траектории

режимы

сис-

запасов

степеней

темы

мощности АЭС

первый

второй

реактив-

снижения

F

реактор

реактор

ности

мощности

δ

2

+ δ F 2 ≤ α <1

OG

EG

полупико-

базис-

F > 1

1

вый

ный

F 2

GE

GO

полупико-

полу-

0 < α ≤ δ

2

+ δ

1

пико-

вый

вый

F = 1

0 < α <1

OE

EO

полупико-

полу-

пико-

вый

вый

δ2 F 2 + δ1 ≤ α <1

OT

ET

базисный

полу-

пико-

F < 1

вый

F 2

TE

TO

полупико-

полу-

0 < α ≤ δ

2

+ δ

1

пико-

вый

вый

В табл. 4.1 показан характер оптимальных режимов эксплуатации реакторов в зависимости от величины параметра системы F. Для определенности рассмотрены случаи F = 2, F = 1, F = 0,5. Как видно из таблицы, оптимальный режим эксплуатации реакторов может быть двух типов при F ≠ 1 и одного типа при F = 1. Если параметр системы не равен единице, то существует интервал снижения мощности АЭС, в пределах которого один из реакторов (а

именно тот, у которого величина комплекса δϕa меньше) работает

в базисном режиме, в то время как другой отрабатывает заданную степень снижения мощности АЭС. При параметре системы, равном единице, снижение мощности АЭС отрабатывается одновременно двумя реакторами во всем диапазоне изменения α (0 < α< 1), причем степени снижения мощностей реакторов равны. В системе ре-

287

	акторов с нелинейной зависимостью ε(∆ρ)					ни в одном из них не
	резервируется запас реактивности на полную остановку (за исклю-
	чением случая, когда требуемая степень снижения мощности АЭС
	равна нулю). Это объясняется тем, что запас реактивности, обеспе-
	чивающий заданную степень снижения мощности реактора, резко
	увеличивается при ε → 0 , что, в свою очередь, приводит к увели-
	чению потери энерговыработки.
	4.2.2. Максимально возможный эффект оптимизации
	Величина максимально возможного эффекта оптимизации оце-
	нивалась так же, как в разд. 2.3. Результаты расчетов для конкрет-
	ного случая, когда доли мощности реакторов одинаковы, приведе-
	ны на рис. 4.10.
	S%	60
	∆
	оптимизации	50				F=1
						F=2,F=0.5
		40				F=3)
	эффект	30
		20
	Максимальный
		10
		0
		0,0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
			Степень снижения мощности системы,α

Рис. 4.10. Зависимость величины максимально возможного эффекта оптимизации от степени снижения мощности системы реакторов с нелинейной зависимостью ε(ρ) при различных величинах параметра F

Как видно из рисунков, оптимизация дает тем больший эффект, чем больше параметр системы F отличается от единицы. Оптими-

288

зация системы наиболее существенна в области снижения мощности АЭС со 100 до 20 % номинальной.

Полученные результаты для реакторов с нелинейной зависимостью сводятся к следующим:

Характер оптимальных распределений запасов реактивности и оптимальных степеней снижения мощности определяется величи-

ной параметра системы F =	δ1a1		δ2 a2		.
	ϕ
			ϕ	2
	1

Оптимальный режим эксплуатации реакторов может быть двух типов при F ≠ 1 и одного типа при F = 1.

Больший относительный запас реактивности следует создавать в реакторе с большей величиной комплекса δϕa . Этот реактор в пер-

вую очередь вовлекается в переменный режим работы.

Эффект оптимизации наиболее существенен в диапазоне снижения мощности АЭС от 100 до 30 % и тем больше, чем больше параметр системы F отличается от единицы. Но даже в случае одинаковых реакторов ( F =1 ) эффект может быть существенным.

Например, из решения оптимизационной задачи для двух реакторов типа РБМК, следует что оптимальным является равномерное снижение мощности, а «антиоптимальным» – отработка переменного графика одним блоком.

При 50 % уровне снижения мощности АЭС максимально возможный эффект за компанию топлива составляет около ≈ 3 % от

энерговыработки системы, что соответствует ≈105 МВт сут

В целом, решение задачи по оптимизации распределения запасов реактивности в системе реакторов позволяет сделать следующие выводы.

1. Характер оптимального распределения запаса реактивности определяется величиной параметра системы F (для системы двух

реакторов	F =	δ1a1	δ2a2		) и зависит от степени снижения мощ-
		ϕ	ϕ	2
		1

ности системы. В переменный режим работы, как правило, в пер-

289

вую очередь вовлекается реактор с большей величиной комплекса

δϕa , иначе говоря, с худшим использованием топлива.

2.Возможный проигрыш от пренебрежения оптимизацией наиболее существенен в предполагаемом регулировочном диапазоне работы АЭС. Величина эффекта оптимизации тем больше, чем больше параметр системы отличается от единицы.

3.Решение рассмотренной задачи является также решением обратной задачи – об оптимальном распределении запасов реактивности с целью увеличения маневренных свойств системы (т.е.

уменьшения α) при заданной суммарной потере энерговыработки.

4.3. Формирование банковского портфеля максимальной доходности

4.3.1. Основные характеристики ценных бумаг

Одним из важных прикладных аспектов методов математического программирования и, в частности, нелинейного программирования является оптимизация банковской деятельности. Особое внимание уделяется оптимизации работы с ценными бумагами. В этой связи возникает актуальная задача формирования состава ценных бумаг банковского портфеля, обеспечивающих максимальную доходность банковских операций при работе с этими ценными бумагами при сохранении заданной величины риска. Таким образом, основными понятиями при решении данной задачи являются:

доходность банковского портфеля; риск банковских операций с ценными бумагами, входящими в

портфель.

Не вдаваясь в подробности банковских операций, рассмотрим основные характеристики ценных бумаг.

Банковский портфель представляет собой набор активов (пассивов), являющихся титулами собственности или иных благ (акции, векселя, валюта, ваучеры, аккредитивы и т.д.).

Ожидаемая доходность банковского портфеля, есть взвешенная средняя ожидаемой доходности каждого из активов, входящих в

290