Загребаев Методы матпрограммирования 2007

4.4.2. Корреляционная функция формирующего фильтра второго порядка

Используя свойства корреляционной функции формирующего фильтра, полученные в предыдущем разделе, найдем в явном виде выражение для корреляционной функции случайного процесса на выходе стационарного формирующего фильтра второго порядка при M (S, τ) =1.

В этом случае уравнение формирующего фильтра имеет вид

d 2	y(t) + a	d	y(t) + a		y(t) = ξ(t) .	(4.162)
dt 2		dt
	1			0

На основании свойства (4.154), корреляционная функция случайного процесса y(t) на выходе формирующего фильтра (4.162),

удовлетворяет уравнению:

	d 2	K		(t , t		) + a				d		K		(t , t			)	+ a			K		(t , t			) = 0; t > t					.
	dt 2
			y	1	2			1 dt1					y	1		2				0		y	1		2			1		2
1
Пусть λ1 , λ2 – корни характеристического уравнения
		2	+ a λ + a						= 0 ;				λ		=		1		− a ±				a	2		− 4a			(4.163)
		λ															2											.
				1			0							1,2							1		1				0

Тогда фундаментальное решение будет иметь вид:

1) действительные корни характеристического уравнения

	Φ1 (t) = eλ1t ;	Φ2 (t) = eλ2t ;	(4.164)
2)	кратные корни характеристического уравнения
	Φ1 (t) = eλt ;	Φ2 (t) = teλt ;	(4.165)
3)	комплексные корни характеристического уравнения
	Φ1,2 (t) = eα1t (cos jβ ± sin jβ) .		(4.166)

Получим значение корреляционной функции для каждого вида корней характеристического уравнения.

311

1. Случай действительных корней. В этом случае, согласно соотношениям (4.159) и (4.160), определитель Вронского и импульсная переходная функция будут иметь вид

∆(τ) =

eλ1τ

eλ2τ

= e

(λ +λ

)τ

(λ2 − λ1 ) ;

(4.167)

λ1eλ2τ λ2eλ1τ

1

2

G(t, τ) =

−1

eλ1t

eλ2t

=

eλ1(t−τ) − eλ2 (t−τ)

= k(t, τ) .

e(λ1

+λ2 )τ (λ2 − λ1 )

eλ1τ

eλ2τ

λ1 − λ2

(4.168)

Подставляя в формулу (4.149а) выражение для импульсной переходной функции (4.168) и учитывая, что для стационарного случайного процесса корреляционная функция зависит только от разности моментов времени ∆t , получим:

K у (∆t) =	[λ2 exp (λ1∆t) − λ1 exp (λ2 ∆t)]	.	(4.169)
	2a1a0 (λ2 − λ1 )

2. Случай кратных корней. Для случая кратных корней определитель Вронского и импульсная переходная функция будут иметь вид

∆(τ) =

eλτ

τeλτ

= e2λτ ;

(4.170)

λeλτ

eλτ (1 + λτ)

G(t, τ) =

−1

eλt

teλt

=

− eλ(t+τ) (t − τ)

= (t − τ)e

λ(t−τ)

= k(t, τ) .

e2λτ

eλτ

τeλτ

e2λτ

(4.171)

Соответствующая корреляционная функция будет равна:

	1			λ∆t
K у (∆t) = exp (λ∆t)			−			.	(4.172)
	2a a	0		2a a	0
	1			1

3. Случай комплексно-сопряженных корней. Определитель Вронского, импульсная переходная функция и корреляционная функция, соответственно, будут иметь вид

312

∆(τ) =		aατ (cosβτ + j sin βτ)	aατ (cosβτ − j sin βτ)		=
		aατβ(α + j)(cosβτ + j sin βτ)	aατβ(α − j)(cosβτ − j sin βτ)

			= −2 jβe2ατ ;
G(t, τ) =	−1		eατ (cosβt + j sin βt)
	− 2 jβe2ατ		eατ (cosβτ + j sin βτ)

(4.173)

	eατ (cosβt − j sin βt)	=
	eατ (cosβτ − j sin βτ)

	=		eα(t−τ) sin (β(t − τ))					;
					β
K у (∆t) = eα(∆t)			1		cos (β∆t) −	α		1
		2a		a		β		2a	a
				0 1					0 1

(4.174)

sin (β∆t) . (4.175)

Нетрудно показать, что, вне зависимости от вида корней характеристического уравнения, дисперсия стационарного случайного процесса y(t) на выходе формирующего фильтра будет одинако-

вой:

K y (0) = σ2y =	1	.	(4.176)
	2a1a0

4.4.3. Задача идентификации коэффициентов формирующего фильтра как задача нелинейного программирования

Как правило, для моделирования случайных процессов используются стационарные формирующие фильтры вида (4.162). При этом возникает задача идентификации коэффициентов формирующего фильтра, на выходе которого наблюдается стационарный случайный процесс y(t) , корреляционная функция K y (∆t) которого

близка корреляционной функции K(∆t) моделируемого случайного процесса.

Вкачестве меры близости корреляционных функций истинного

имодельного случайных процессов выбран квадратичный критерий вида

313

	∞
	J (a0 , a1 ) = ∫(K(τ) − K y (a0 , a1 , τ))2 dτ.	(4.177)
	0
На	практике корреляционная функция истинного процесса
K(∆t)	задается в виде таблиц или графиков. В этом случае инте-

гральный критерий (4.177) удобно заменить суммой квадратов невязок между корреляционными функциями истинного и модельного процессов:

N
J (a0 , a1 ) = ∑(K(i) − K y (a0 , a1 , i))2 .	(4.178)

i=1

Очевидно, вид критерия (4.178) зависит от типа корней характеристического уравнения λ1 и λ2 , определяемых по формуле

(4.163):

1) действительные корни

T

T

2

λ2

exp

λ1i

− λ1 exp

λ2i

T

N

N

N

J (a

, a ) =

∑

K

i

−

;

2a a

(λ

− λ

)

0

1

зад

N

0

2

1

i=0

1

(4.179)

2) кратные корни

T

2

N

T

T

1

λi

N

J (a0 , a1 ) = ∑

Kзад

i

− exp

λi

−

;

(4.180)

N

2a a

i=0

N

2a a

1

0

1

0

3) комплексно-сопряженные корни

N

T

α(∆ti)

1

T

J (a0 , a1 ) = ∑

Kзад i

− e

cos βi

−

N

i=0

N

2a0 a1

α

1

T

2

−

sin

βi

,

(4.181)

β

2a

a

N

0

1

314

где N, T – общее число точек и полный интервал времени вычисления корреляционной функции; α, β – действительная и мнимая

части корней характеристического уравнения.

Очевидно, задача минимизации критерия (4.178) является задачей нелинейного программирования без ограничений. Методы решения таких задач подробно описаны выше.

В конкретном случае данная задача нелинейного программирования решается двумя методами:

методом Ньютона – Гаусса; методом покоординатного спуска с одномерной минимизацией

по каждой координате.

Ниже приведены алгоритмы решения задачи этими методами.

4.4.3.1. Алгоритм решения задачи методом Ньютона – Гаусса

Метод Ньютона – Гаусса предназначен для решения задач нелинейного программирования с квадратичным критерием, вида

(4.178) [63], [4].

В основе данного метода лежит линеаризация нелинейной функции K y (a0 , a1 , i) относительно оценок параметров на преды-

дущем шаге итерационного процесса. Основная итерационная формула имеет вид

ˆ

ˆ

т

( j)Φ( j))

−1

Φ

т

( j)e( j) ,

(4.182)

c( j) = c( j −1) + (Φ

где

ˆ

a0

( j)

– вектор оцениваемых коэффициентов на

j -м

c

( j) = a

( j)

1

шаге итерационного процесса;

Φ( j)

– матрица производных,

вы-

численная в точке оценки на предыдущем шаге итерационного процесса:

315

∂K у (a0 , a1 ,1)
				∂a0
					...
Φ( j) =					...
	∂K			(a
			у		0	, a , N)
						1
				∂a0

∂K

у

(a

0

, a

,1)

1

∂a1

...

; (4.183)

...

∂K

(a

, N )

у

0

, a

1

∂a

a0

=a0

( j−1),

1

a

=a ( j−1)

1

1

e( j) – вектор невязок между истинным значением корреляционной функции K(i) и корреляционной функцией K y (a0 ( j −1), ,

a1 ( j −1), i) , соответствующей случайному процессу на выходе формирующего фильтра на ( j −1) -м шаге итерационного процесса:

K(1) − K y (a0					( j −1), a1		( j −1),1)
								(4.184)
e( j) =	− K		(a		M	−1), a	.
K(1)		y		0	( j		( j −1),1)
						1

На рис. 4.11 приведена структурная схема решения задачи методом Ньютона – Гаусса.

Забегая вперед, можно отметить, что использование метода Ньютона – Гаусса обеспечивает очень быструю сходимость критерия к нулю (за две – три итерации) при задании начальных приближений вблизи точки оптимума. В противном случае, может наблюдаться расходимость итерационного процесса.

Учитывая это, можно предложить следующий способ задания начальных приближений.

Воспользуемся формулой расчета дисперсии случайного процесса на выходе формирующего фильтра (4.176). Допуская, что дисперсия модельного и истинного процесса совпадают, выразим начальное приближение коэффициента a0 (0) как функцию на-

	чального приближения коэффициента a1(0)			и значения дисперсии
	исходного процесса.	1
	a0 (0) =		,	(4.185)
		2a (0)σ2
		1

где σ2 – значение дисперсии исходного процесса.

316

Рис. 4.11. Алгоритм решения задачи, метод Ньютона – Гаусса

317

Пусть значения корреляционной функции исходного процесса и корреляционной функции модельного процесса также совпадают на конце интервала расчета t f корреляционных функций, т.е.

K(t f ) = K y (t f ) .	(4.186)
Здесь K(t f ) , K y(t f ) – заданная и модельная	корреляционные

функции, соответственно.

Учитывая (4.185), запишем значение корней характеристического уравнения (4.163), как функции одного параметра a1(0) :

1) действительные корни характеристического уравнения:

	− a	±	a2	−	2
1			1		a1K	(0)
λ1,2 (a1 ) =								, D > 0;	(4.187)
			2

2) кратные корни характеристического уравнения:

λ	1	(a ) = λ	2	=	− a1	, D = 0;	(4.188)
		1		2

3) комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения:

		− a			±		a2	−	2
	1					1			a1K (0)
λ1,2 (a1 ) =													, D < 0;
						2
α(a )	= −		a1		;	β(a ) =				2			− a2 .	(4.189)
1	2					1				a1K(0)			1

Подставляя (4.187) – (4.189) в формулы расчета корреляционных функций (4.169), (4.172), (4.175) при ∆t = t f и принимая во

внимание (4.186), для различных типов корней характеристического уравнения получим:

318

1) для действительных корней характеристического уравнения:

K(t f ) − K (0)

[λ2 (a1 ) exp (λ1 (a1 )t1 ) − λ1 (a1 ) exp (λ2 (a1 )t1 )]

= 0 ;

(λ2 (a1 ) − λ1 (a1 ))

(4.190)

2) для кратных корней характеристического уравнения:

K(t f ) − K(0) exp (λ(a1 )t f

)(1 − λ(a1 )t f ) = 0 ;

(4.191)

3) для комплексно-сопряженных

корней характеристического

уравнения:

K(t

) − K(0)e

α(a )t

f

cos (β(a )t

) −

α(a )

sin (β(a )t

)

= 0 . (4.192)

f

1

f

1

f

1

β(a1 )

1

Разрешая уравнения (4.190) – (4.192) относительно a1(0) ( a0 (0) определяется по формуле (4.185)) получим значения a1 (0), a0 (0) ,

которые могут быть использованы в качестве начальных приближений.

4.4.3.2. Алгоритм решения задачи методом покоординатного спуска

Как было отмечено в предыдущем разделе, метод Ньютона – Гаусса оказывается чувствителен к заданию начальных приближений. Неудачное задание начальных приближений часто приводит к расхождению итерационного процесса.

Вэтой связи, методом более устойчивым к выбору начальных приближений является метод покоординатного спуска, подробно рассмотренный в гл. 3.

На рис. 4.12 приведена структурная схема решения задачи определения коэффициентов формирующего фильтра с использованием этого метода.

Вкачестве метода одномерной оптимизации при нахождении точки экстремума по каждой координате используется метод «золотого сечения», также рассмотренный в гл. 3.

319

Рис. 4.12. Блок-схема алгоритма метода покоординатного спуска (один цикл)

320