решеток, по формам элементарных ячеек и по симметрии и подразделяющихся на 7 кристаллографических сингоний. Эти решетки были названы решетками Бравэ. Любую кристаллическую структуру можно представить с помощью одной из решеток Бравэ. Для выбора ячейки Бравэ используют три условия:

1)симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла, точнее, наиболее высокой симметрии той сингонии, к которой относится кристалл. Ребра элементарной ячейки должны быть трансляциями решетки;

2)элементарная ячейка должна содержать максимально возможное число прямых углов или равных углов и равных ребер;

3)элементарная ячейка должна иметь минимальный объем.

Эти условия должны выполняться последовательно, т.е. при выборе ячейки первое условие важнее второго, а второе важнее третьего.

По характеру взаимного расположения основных трансляций или по расположению узлов все кристаллические решетки разбиваются, по Бравэ, на четыре типа:

примитивные (P), базоцентрированные (C, B или A), объемно-центрированные (I) гранецентрированные (F).

			Таблица 1.4
Распределение ячеек Бравэ по сингониям
Сингонии	Ячейки	Сингонии	Ячейки
	Бравэ		Бравэ
Триклинная	P	Тетрагональная	P
			I
Моноклинная	P	Ромбоэдрическая	R
	C	(тригональная)
Ромбическая	P	Гексагональная	P
(орторомбическая)	C	Кубическая	P
	I		I
	F		F

В примитивной ячейке узлы решетки располагаются только в вершинах ячейки, а в сложных ячейках имеются еще дополнитель-

74

ные узлы. В объемноцентрированной I-ячейке − один узел в центре ячейки, в гранецентрированной F-ячейке по одному узлу в центре каждой грани, в базоцентрированной C (A, B)-ячейке − по одному узлу в центрах пары параллельных граней.

Распределение ячеек Бравэ по сингониям показано в табл. 1.4.

1.3.6. Пространственные группы

Пространственной группой кристалла называются всевозможные преобразования кристаллического пространства, которые переводят каждую его точку и каждое направление в эквивалентные им точки и направления.

Элементы этой группы осуществляют преобразования вида

r′ = Rr + t, (1.97)

где R − одна из операций поворота (собственного или несобственного); r − операция переноса (трансляции). Обычно это преобразование записывают в виде

r′ = {R/t} r.

(1.98)

При detR = +1 элементы {R/t} описывают винтовое движение, им отвечают винтовые оси симметрии; при detR = −1 эти элементы описывают отражение в плоскости со смещением в направлении вектора трансляции t, им отвечают плоскости скользящего отра-

жения.

При неравных нулю трансляциях t преобразования {R/t}, очевидно, нелинейны. Тем не менее, они образуют группу, если под произведением двух элементов понимать их повторное применение, определяемое выражением 1.97:

r′ = {R2/t2}{R1/t1} r = {R2/t2}(R1r + t1) =

= R2(R1r + t1) + t2 = R2R1r + R2t1 + t2,

откуда

{R2/t2}{R1/t1} = R2R1 + R2t1 + t2.

(1.99)

Единичным элементом пространственной группы является {E/O}, где E − тождественное преобразование пространства, O − трансляция на нулевой вектор.

С помощью соотношения (1.98) легко получить, что элементом, обратным {R/t}, является преобразование вида

75

{R/t}–1 = {R–1/ − R–1t}.

(1.100)

Преобразования {E/t}, отвечающие параллельному переносу пространства на вектор решетки, образуют группу бесконечного порядка, называемую трансляционной. Очевидно, что трансляционная группа является подгруппой пространственной группы. В кристаллическом пространстве возможно существование 14 различных трансляционных групп, которые изоморфно отображаются на четырнадцать уже описанных решеток Бравэ.

Преобразования, включающие трансляцию, являются открытыми элементами симметрии. Любая точка преобразуется этими элементами в бесконечную совокупность точек.

Винтовой осью симметрии называется совокупность оси симметрии и параллельного ей переноса, действующих совместно.

Различают правые и левые винтовые оси. В случае правой винтовой оси перемещение вдоль оси сопряжено с вращением по часовой стрелке, а в случае левой − против часовой стрелки. Винтовая ось обозначается двумя цифрами, например 31. Большая цифра указывает порядок оси. Частное от деления цифры, стоящей в индексе (1), на большую (3), т.е. 1/3, дает величину переноса t/3 вдоль оси трансляции, где t − период трансляции вдоль этой оси (рис. 1.44).

Рис. 1.44. Действие поворотной оси 3 (а) и винтовых осей симметрии 31 (б) и 32 (в)

Например, оси 21 соответствует поворот на угол αn = 180о и смещение на 1/2 периода трансляции; эту ось можно считать как право-, так и левовращающей.

76

Рассмотрим преобразование произвольной точки r(x,y) под действием винтовой оси 21 вдоль оси a2, точка r переходит в r′:

x′			−1 0		0 x			0			− x
			0	1	0									,
y′		=				y		+ 1/ 2			= y +1/ 2
			0	0					0			− z
z′					−1 z

а после повторной операции получим

x′′			−1 0		0 x′			0			x			0
			0	1	0											,
y′′		=				y′		+ 1/ 2			= y		+	1
			0	0					0
z′′					−1 z′						z			0

что соответствует трансляции вдоль a2.

Плоскостью скользящего отраже-

ния называется совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельной ей трансляции. Плоскость скользящего отражения a (b, c) типа соответствует отражению в плоскости и последующей трансляции на t = a/2 (или b/2, c/2). Возможны и операции скользящего отражения n-типа (клиноплоскости), когда трансляцион-

	ная компонента		расположена	вдоль	Рис. 1.45. Плоскость
	диагонали грани		t = (a + b)/2,	или t =	скользящего отражения
					в ОЦК ячейке
	= (a + c)/2, или t		= (b + c)/2 (рис. 1.45).
	Наконец,	операции скользящего отражения с t = (a ± b)/4, t =
	= (a ± c)/4,	t = (b ± c)/4, t = (a ± b ± c)/4 соответствует алмазная

плоскость скольжения d − типа.

Плоскость скользящего отражения, перпендикулярная a2 c трансляцией в направлении a3, соответствует преобразованию

x′y′ =z′

	1	0	0 x			0				x
	0	−1 0					0			y
				y		+			=		,
	0	0	1
				z		1/ 2			z +1/ 2

а после повторной операции получим

77

x′′y′′ =z′′

	1	0	0 x′			0				0
	0	−1 0					0			0		,
				y′		+			=
	0	0	1							1
				z′		1/ 2

что соответствует трансляции в направлении a3.

Исследование возможных комбинаций открытых и закрытых элементов симметрии, проведенное одновременно и независимо русским кристаллографом Е.С. Федоровым и А. Шенфлисом, привело к установлению 230 пространственных групп симметрии.

В 73 симморфных пространственных группах точечные группы являются подгруппами пространственных групп, в несимморфных пространственных группах точечные группы не являются подгруппами пространственных групп из-за наличия винтовых осей или плоскостей скользящего отражения.

Правильной системой точек называется совокупность симметрично эквивалентных позиций (точек), связанных между собой симметричными преобразованиями пространственной группы. Правильную систему точек можно получить из одной точки, повторив ее при помощи всех операций, свойственных данной пространственной группы.

Понятие правильной системы точек для пространственной группы играет такую же роль, как понятие простой формы для точечной группы. Правильная система точек характеризует геометрические законы пространственного расположения структурных единиц в кристалле.

Как и для простой формы, для правильной системы точек существуют понятия общей и частной систем. Частная правильная система точек получается, если исходная точка лежит хотя бы на одном из элементов симметрии или отстоит на равных расстояниях от одинаковых элементов симметрии. Общая правильная система точек получается, если исходная точка (а значит, и все остальные, ей симметрично эквивалентные) не соприкасается ни с одним из элементов симметрии и лежит не на равных расстояниях от одинаковых элементов симметрии.

Кратностью правильной системы точек называется число точек в элементарной ячейке, симметрично эквивалентных друг другу.

78

Кратность аналогична числу граней простой формы. У точек общей правильной системы кратность выше, чем у частной.

Вмеждународном символе пространственной группы на первом месте всегда стоит буква, обозначающая тип решетки, далее − порождающие элементы симметрии, каждый на определенном месте. Нарушение порядка записи меняет смысл символа.

Всимволе пространственной группы кубической сингонии на первой позиции указан тип ячейки Бравэ, а на третьей позиции всегда стоит цифра 3, означающая четыре оси третьего порядка вдоль направлений <111>. Буквы или цифры, стоящие на второй позиции перед цифрой 3, определяют плоскости или оси, параллельные направлениям <100>, а на четвертой − параллельные <110>.

Вструктуре алмаза вдоль <100>проходит плоскость d, а в <110> плоскости n и m; выбирая из них более простые m, записываем пространственную группу алмаза как Fd3m. Пространственная группа для меди − Fm3m, а для вольфрама − Im3m.

Антисимметрия. А. В. Шубников ввел в учение о симметрии новое понятие антисимметрии. Преобразование антисимметрии вводится для объектов, обладающих свойством изменения знака. Как указал Шубников, такие физически реальные объекты, как электрон и позитрон, фотографические негатив и позитив, требуют введения в учение о симметрии понятия противоположно равных, или антиравных, фигур. Антиравными считаются фигуры геометрически равные, но имеющие разный знак.

Спомощью представлений о черно-белой симметрии магнитные свойства кристаллов хорошо описываются с помощью 90 магнитных точечных групп.

Добавление элементов антисимметрии к обычным элементам симметрии пространственных групп позволило вывести 1651 шубниковскую группу.

Дальнейшим развитием учения о симметрии является теория многоцветных (беловских) пространственных групп, названных так по имени автора этой идеи Н.В. Белова.

Двухмерная кристаллография. В двухмерной кристаллогра-

фии возможны поворотные оси 1, 2, 3, 4, 6 порядков, четыре синго-

нии: косоугольная (а1 ≠ а2, γ ≠ 90°), прямоугольная (а1 ≠ а2, γ = 90°),

79

гексагональная (а1 = а2, γ = 120°) и квадратная (а1 = а2, γ = 90°). В каждой из сингоний существует примитивная ячейка P и только в прямоугольной − центрированная C решетка Бравэ. Комбинации поворотных и трансляционных элементов симметрии дают 17 пространственных групп.

Несоразмерные кристаллы и квазикристаллы. Наряду с трехмерной (3D) и двухмерной (2D) кристаллографией существует четырехмерная (4D) кристаллография. В 4D кристаллографии появляются запрещенные в 3D кристаллографии оси симметрии 5, 8, 10 и 12 порядков, число решеток Бравэ возрастает до 64, точечных групп − до 227, а число пространственных групп достигает 4895.

Прямая и обратная решетки кристаллов обладают трансляционной симметрией и симметрией точечных групп. В последние годы рассматривают трансляционно-упорядоченные структуры, разделяющиеся на периодические структуры (кристаллы) и квазипериодические структуры в зависимости от того, являются ли их обратные решетки периодическими или квазипериодическими. В свою очередь, квазипериодические структуры разделяют на несоразмер-

ные кристаллы и квазикристаллы. Несоразмерные кристаллы − квазипериодические структуры с кристаллографической группой симметрии, а квазикристаллы − квазипериодические структуры с некристаллографической точечной группой. Примером квазикристаллов могут быть покрытия Пенроуза с осью симметрии 5-го порядка (двумерные квазикристаллы) или недавно открытые икосаэдрические сплавы алюминия с марганцем (икосаэдр − двацатигранник с шестью осями 5-го порядка).

Экспериментальное определение элементов симметрии.

Атомное строение определяется по дифракции и рассеянию рентгеновских лучей, электронов и нейтронов. Кристаллы с их трехмерными периодическими структурами являются естественными дифракционными решетками для рентгеновских лучей, поскольку длины волн рентгеновского излучения и межатомные расстояния в кристаллах по порядку величины соизмеримы. Дифракционные максимумы возникают во всех направлениях, отвечающих уравне-

нию Вульфа−Брэгга

80

2dsinθ = nλ,

(1.101)

где d − межплоскостное расстояние, θ − угол скользящего отражения Вульфа−Брэгга, n − порядок отражения, λ − длина волны рентгеновских лучей, электронов или нейтронов.

В методе Лауэ на монокристалл, ориентированный под определенным углом по отношению к лучу, падает пучок немонохроматического («белого») излучения, в котором содержится непрерывный спектр длин волн. Этот метод используется для определения ориентировки и элементов симметрии монокристаллов. По совпадению точек первого и второго рода можно определить сингонию кристалла, а по симметрии лауэграммы − порядок поворотных осей.

Интенсивность дифракционного отражения от плоскости (hkl), в соответствии с правилом Фриделя, совпадает с интенсивностью от-

ражения от плоскости ( hkl ), т.е. симметрия дифракционного пространства выше симметрии кристалла на центр симметрии. Таким образом, кристаллы, принадлежащие к кристаллическим классам, различающимся наличием или отсутствием центра симметрии, дают рентгенограммы с одной «рентгеновской симметрией» и относятся к одному лауэвскому классу.

В методе вращения кристалл вращается вокруг оси кристаллографической зоны, перпендикулярной падающему монохроматическому пучку, что позволяет определить период идентичности вдоль оси вращения. Сравнение периодов идентичности вдоль направлений <100>, <110>, <111> дает возможность определить тип решетки Бравэ.

Поликристаллические материалы изучают методом Дебая−Шерера, когда поликристалл облучается монохроматическим излучением.

На первом этапе рентгеноструктурного анализа определяют геометрию решетки исходя из геометрии дифракционной картины. На втором этапе по интенсивности дифракционных отражений появляется возможность определения структуры кристалла, т.е. расположения атомов в элементарной ячейке.

По интенсивности рассеянного рентгеновского излучения изучают скорости распространения упругих волн, анизотропию и ве-

81