Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010
.pdfконкретной теории поля; так обстоит дело в стандартной модели.
99.Задача решается аналогично предыдущей с заменой ϕ → ψ
→ ¯
иϕ ψ. С учетом явного вида лагранжиана дираковских частиц
|
¯ |
сохраняющимся током оказывается Jµ = eψγµψ. |
|
ψ(1) |
является изотопическим дубле- |
100. Пусть спинор ψ = ψ(2) |
том. Свободный лагранжиан спинорного поля имеет вид:
|
¯ |
¯ |
|
|
L0 = ıψγµ∂µψ − M ψψ. |
|
|
||
Здесь M – масса, общая для обеих частиц ψ(1,2). Построим лагран- |
||||
жиан, |
инвариантный |
относительно |
преобразований |
U (x) = e 12 τa Λa(x) (a = 1, 2, 3 – изотопический индекс; τa ≡ σa – изотопические матрицы, совпадающие с матрицами Паули; Λa – три произвольные функции координат). Совокупность таких преобразований образует группу SU (2), которая, в отличие от электромагнитной группы U (1), не является коммутативной, так как в экспоненте содержатся не коммутирующие между собой матрицы. Такие группы называются неабелевыми. Матрицы τa/2 ком-
мутируют так же, как и операторы проекций спина S = 1/2:
[τa/2, τb/2] = ı abcτc/2.
Для упрощения выкладок будем рассматривать инфинитези-
мальные |
(бесконечно |
малые) преобразования |
| |
Λ |
|
|
|
1 |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a| |
1 |
. Тогда |
|||||
U (x) = 1 + ı |
2 |
τaΛa(x), |
U †(x) = U −1(x) = 1 |
− |
ı |
2 |
τaΛa(x), |
||||||||||
|
|
|
1 |
τa |
Λa(x))ψ(x), ψU¯ †(x) = ψ¯(1 |
|
ı |
1 |
|
|
|
||||||
U (x)ψ(x) = (1 + ı |
2 |
− |
2 |
τaΛa(x)). Со- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
¯ |
1 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|||
ответственно δψ = ı |
2 |
τaΛa(x)ψ(x); δψ |
= −ı 2 |
ψ(x)τaΛa(x). Преоб- |
разования U (x) смешивают компоненты ψ(1) и ψ(2) друг с другом и умножают их на разные, а не на одинаковые, как в U (1), множители. Найдем, каковы должны быть свойства преобразования калибровочных полей Aaµ, чтобы по аналогии с группой U (1) ковариантная производная Dµψ = (∂µ + ıg 12 τaAaµ)ψ преобразовывалась так же, как ψ (g – константа взаимодействия калибровочных векторных полей Aaµ со спинорным дублетом ψ).
121
То есть потребуем, чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
δ(Dµψ) =ı |
|
|
τbΛb(Dµψ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
δ(Dµψ) =δ(∂µψ) + ı |
g |
δ(τaAa |
ψ) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=∂µ(δψ) + ı |
g |
τa(δAa )ψ + ı |
g |
τaAa δψ. |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
µ |
|
|
|
2 |
|
|
µ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
δ(Dµψ) = |
ı |
τa∂µΛaψ + |
ı |
τaΛa∂µψ + ı |
g |
τa(δAµa )ψ− |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
ı |
|
|
|
|
g |
|
||
− |
|
(τaAµa )(τbΛb)ψ = |
|
|
τbΛb |
(∂µ |
ψ + ı |
|
τaAµa ψ). |
|||||||||
4 |
2 |
2 |
Последнее равенство выражает инвариантность ковариантной производной относительно преобразования U (x). Отсюда следует, что
ıg |
τaδAµa |
= − |
ı |
τa∂µΛa + |
g |
(τaAµa )(τbΛb) − |
g |
(τbΛb)(τaAµa ) = |
||
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
4 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
ı |
τa∂µΛa − gı abc Aµa Λbτc. |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
Здесь всюду индексы a,b,c – изотопические и меняются от 1 до 3. При выводе использовались свойства коммутативности матриц τa. Тогда
δ(Aµ · |
τ |
1 |
|
τ |
|
τ |
|
|
|
) = − |
|
(∂µΛ) · |
|
− [Λ × Aµ] · |
|
, |
|
2 |
g |
2 |
2 |
здесь все векторы – изотопические.
Таким образом, калибровочное поле Aµ, в отличие от случая электродинамики, не только удлиняется на производную (−1g ∂µΛ), но и изотопически поворачивается. Этот поворот описывается слагаемым −[Λ × Aµ]. Появление изотопического поворота является обычным в случае классической механики, оно описывает преобразование вектора при вращениях.
Aµ → Aµ − 1g ∂µΛ(x) − [Λ × Aµ].
Такие поля впервые рассмотрены в 1954 году в работе Янга и Миллса и называются янг-миллсовскими полями.
122
6.Функции Грина
101.Рассмотрим подробно решение более сложного случая а). Случай б) для скалярных бесспиновых частиц легко упрощается на основании результата, полученного в случае а) (см. пояснения
вконце задачи).
а) Функция Грина свободного фермиона следующим образом представляется в виде интеграла Фурье:
S0(x2 − x1) = |
d4p |
(p)e−ı(p(x2 |
−x1)), |
(2π)4ı S0 |
где (p(x2 −x1)) = p0(t2 −t1) −p(x2 −x1), а S0(p) – функция Грина (пропагатор) фермиона в импульсном представлении и равна
pˆ + m S0(p) = −p2 − m2 + ıε
с хорошо известным фейнмановским доопределением «+ıε», которое однозначно задает обход полюсов функции Грина S0(x2 −x1). Покажем, что такое доопределение функции Грина приводит к правильной причинности: при t2 > t1 вклад в функцию Грина
дают частицы, а при t2 < t1 – античастицы (причем со знаком
(−)).
|
Запишем интеграл для S0(x2 − x1) в виде: |
|
||||||||||
S |
(x |
2 − |
x |
) = |
d3p |
eıp(x2 |
− |
x1) |
dp0 |
|
e−ıp0(t2 −t1)(p0γ0 − pγ + m) |
. |
(2π)3 |
|
|
||||||||||
0 |
|
1 |
|
|
2πı (p0 − (E − ı ))(p0 − (−E + ı )) |
|
Здесь p0(1,2) = ±E ı – два полюса сингулярной функции S0(p). Действительно, равенство нулю знаменателя S0(p) дает:
p2 − m2 + ıε = 0, p02 − p2 − m2 + ıε = p2 − E2 + ıε = 0. Отсю-
√ 0
да p0(1,2) = E2 − ıε или, разлагая корень с линейной точностью
по ε и переобозначая 2εE = , получим p0(1,2) = ±E ı . Иначе говоря, оба полюса ±E, лежащие на действительной оси при ε → 0
123
( → 0) и соответствующие значению 4-импульса свободной частицы p2 = m2 (E = p2 + m2), теперь «уходят» с действительной оси – полюс p0(1) оказывается в нижней полуплоскости комплексной переменной p0, а полюс p0(2) – в верхней. При этом интегрирование по действительной оси становится полностью определенным.
I. При t2 > t1 замкнем контур интегрирования по p0 в нижнюю полуплоскость. Интеграл по полуокружности бесконечно большо-
го радиуса CR исчезает, и интеграл по действительной оси равен вычету в полюсе p0(1) = E − ı со знаком (−), так как контур об-
ходится по часовой стрелке (в конечном выражении устремляем к нулю):
|
d3p |
|
Eγ |
pγ + m |
|
|
S0(x2 − x1) = |
|
e−ıE(t2 |
−t1)+ıp(x2−x1) |
|
0 − |
. |
(2π)3 |
|
2E |
||||
Величина в числителе (Eγ0−pγ+m) = (pˆ+m) = |
λ=±1 uλ(p)¯uλ(p) |
(см. задачу 80). Учитывая, что положительно-частотные решения уравнения Дирака, описывающие свободные частицы, имеют вид
(+)(x) = , получим для S0(x2 − x1) окончательное выражение через билинейную сумму по полному набору решений для частиц:
|
|
(+) |
¯(+) |
|
S0(x2 − x1) = |
ψp,λ |
(x2)ψp,λ (x1), t2 > t1. |
||
p,λ |
||||
|
|
|
Полученное соотношение доказывает утверждение задачи.
II. В случае t2 < t1 доказательство проводится аналогично. Теперь контур интегрирования CR в комплексной плоскости p0 замыкается в верхнюю полуплоскость. Интеграл по полуокружности бесконечно большого радиуса CR опять стремится к нулю, и срабатывает вычет в полюсе p0(2) = −E + ı (контур обходится против часовой стрелки). После интегрирования по p0 (с помощью соответствующего вычета в полюсе p0(2) = −E + ı ) в числителе оставшегося интеграла по d3p возникает выражение (−Eγ0 − pγ + m). Сделав в интеграле замену p → (−p) и имея в
124
виду инвариантность интегрирования по d3p по всему простран-
ству относительно этой замены, числитель приобретет вид (см. задачу 81) −(Eγ0 − pγ − m) = −(pˆ − m) = − λ=±1 vλ(p)¯vλ(p).
С учетом явного вида отрицательно-частотных решений, описы- |
|||||||||
вающих античастицы ψp,λ(−)(x) = |
vλ (p)eı(px) |
|
|||||||
√ |
|
|
|
, получим требуемый |
|||||
результат: |
|
|
|
|
2E |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0(x2 − x1) = − |
( |
) |
|
¯(−) |
(x1), |
t2 < t1. |
|||
ψp,λ |
− |
(x2)ψp,λ |
p,λ
б) Случай бесспиновых частиц рассматривается проще – в нем не возникает суммирования по поляризациям частиц. Функция Грина скалярной частицы в импульсном представлении, которая подставляется в фурье-разложение причинной функции Грина
1 |
|
|
G0(x2 − x1), имеет вид G0(p) = − |
|
и обладает теми же |
p2−m2+ıε |
полюсами, что и спинорная дираковская частица. Доказательство проводится аналогично.
102. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕp(+)(x2) = |
d3x1 |
|
|
|
|
d4k |
1 |
!× |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(2π)4 ı |
k2 − m2 + ıε |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
←→∂ e−ı(px1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
× e−ı(k(x2−x1)) ı |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∂t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2E |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= d3x1 |
|
d4k |
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
!× |
|
|
|
|
|||||||||||||
(2π)4 ı |
|
|
k2 − m2 + ıε |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(E + k0) e−ı(kx2)e−ı((p−k)x1 ) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
× |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
d4k |
δ(3)( |
|
|
|
|
|
) |
(−1)(E + k0)e−ık0(t2 −t1)+ıkx2−ıEt1 |
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
− k |
|
(k0 − ω + ıε)(k0 + ω − ıε)√ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2πı |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2E |
|
|||||||||||||||||||||||
где ω = |
|
. Здесь учтено, что |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
k2 + m2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
d3x1eı(p−k)x1 = (2π)3δ(3) (p − k). |
|
|
|
|
125
Интегрирование по d3k проводится с помощью δ-функции, при этом ω → E.
ϕp(+)(x2) = |
dk0 ( |
− |
1)(E + k0)e−ık0(t2 −t1)+ıpx2−ıEt1 |
|||
|
|
|
(k0 − E + ıε)(k0 + E − ıε) |
. |
||
2πı |
|
|
При t2 > t1 интеграл по k0 вычисляется по теореме о вычетах после того, как преобразуется в интеграл по замкнутому контуру интегрирования в плоскости комплексной переменной k0 – вдоль действительной оси и полуокружности бесконечного радиуса в нижней полуплоскости. Внутри этого контура подынтегральная функция имеет полюс в точке k0 = E − ıε. В результате находим:
ϕp(+)(x2) = |
e−ıEt2+ıpx2 |
= |
e−ı(px2) |
||||
√ |
|
|
√ |
|
. |
||
2E |
|
||||||
|
|
|
|
2E |
Таким образом, причинная функция Грина G(x2 −x1) является функцией распространения для состояний с положительной энергией. Аналогично проверяется второе соотношение, указанное в условии задачи.
103.Уравнение Клейна – Гордона с учетом взаимодействия
сэлектромагнитным полем, описываемым 4-потенциалом Aµ(x), имеет вид [(ı∂µ −eAµ)2 −m2]ϕ(x) = 0. Соответствующее уравнение для функции Грина (напомним, что ∂µ = ( ∂t∂ , − )) записывается в форме:
[(ı∂2µ − eAµ(x2))2 − m2]G(x2, x1) = ıδ(4)(x2 − x1).
Выделяя в левой части записанного выше уравнения оператор, отвечающий свободному движению, и перенося в его правую часть слагаемые, связанные с взаимодействием, получаем:
(∂2µ2 + m2)G(x2, x1) = −ıδ(4) (x2 − x1)−
− ıe[∂2µ Aµ + Aµ∂2µ]G(x2, x1) + e2Aµ(x2)Aµ(x2)G(x2, x1)
или
(∂2µ2 + m2)G(x2, x1) = −ıδ(4) (x2 − x1) − V (x2)G(x2 , x1),
126
где V (x2) = ıe[∂2µAµ(x2)+Aµ(x2)∂2µ +ıeAµ(x2)Aµ(x2)]. Последнее уравнение для G можно представить в интегральной форме:
G(x2, x1) = G0(x2 − x1) − ı d4xG0(x2 − x)[V (x)]G(x, x1 ).
Нетрудно проверить, что это интегральное уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению для G, подставив его в левую часть дифференциального уравнения и учитывая, что функ-
ция Грина свободной скалярной частицы G0(x2 − x1) удовлетворяет уравнению (∂2µ2 + m2)G0(x2 −x1) = −ıδ(4) (x2 −x1). Первому приближению по эффективному взаимодействию V (x) отвечает
замена G(x2 , x1) на свободную функцию Грина G0(x2 − x1):
G(1)(x2, x1) G0(x2 −x1) + d4xG0(x2 −x)[−ıV (x)]G0 (x −x1).
В функции V (x) имеется квадратичное по полю Aµ(x) слагаемое, которое соответствует двукратному взаимодействию. В требуемом приближении это слагаемое учитывать не следует, поэтому окончательно получаем:
G(1)(x2, x1) G0(x2 − x1)+
+ e d4xG0(x2 − x)[∂µAµ(x) + Aµ(x)∂µ]G0(x − x1).
Выбор причинной функции Грина свободного движения обеспечивает выполнение требований причинности приближенной функции Грина с учетом однократного взаимодействия.
104. Рассмотрим элемент S-матрицы (амплитуды вероятности) перехода скалярной частицы из состояния с импульсом p1 и энергией p10 = E1 > 0 в состояние с импульсом p2 и энергией p20 = E2 > 0 при однократном взаимодействии с электромагнитным полем Aµ(x):
Sp2,p1 = |
t2 lim |
|
d3x2ϕp(+)2 |
←→ |
||
(x2) ı ∂t2 |
ϕ(i)(x2). |
|||||
|
|
|
|
|
∂ |
|
→ ∞ t1 → −∞
127
←→
В определение S-матрицы входит оператор (ı ∂ ). Это cвязано
∂t2
с тем, что уравнение Клейна – Гордона содержит вторую производную по времени. Для решения такого уравнения необходимо задать не только начальное значение волновой функции в момент времени t1, но и ее производной в этот же момент. Функция ϕ(i)(x2) описывает волну, пришедшую в точку x2 пространствавремени Минковского в результате эволюции начального состояния ϕ(+)p1 , заданного в момент времени t1 → −∞. Согласно свойствам причинной функции Грина волновая функция ϕ(i)(x2) вычисляется по формуле:
ϕ(i)(x2) = |
d3x1G(x2 |
←→ |
ϕp(+)1 (x1). |
|
, x1) ı ∂t1 |
||||
|
|
|
∂ |
|
Подставляя в последнюю формулу причинную функцию Грина с учетом однократного взаимодействия, полученную в предыдущей задаче, находим:
ϕ(i)(x2) = |
d3x1G0(x2 |
←→ |
ϕp(+)1 (x1)+ |
|
− x1) ı ∂t1 |
||||
|
|
|
∂ |
|
+d4x d3x1G0(x2 − x)[e∂µAµ(x) + eAµ(x)∂µ]×
←→
ı∂× G0(x − x1 ϕ(+)(x1) =p)
∂t1 1
= ϕ(+)p1 (x2)+ d4xG0(x2 −x)[e∂µAµ(x)+ eAµ(x)∂µ]ϕ(+)p1 (x).
Полученный результат подставляем в исходное выражение для элемента S-матрицы:
Sp2,p1 = (2π)3 δ(3)(p2 − p1) + |
d3x2ϕp(+)2 |
←→ |
× |
||
(x2) ı ∂t2 |
|||||
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
×d4xG0(x2 − x)[e∂µAµ(x) + eAµ(x)∂µ]ϕ(+)p1 (x) =
= (2π)3 δ(3)(p2 −p1)+ d4xϕ(+)p2 (x)[e∂µAµ+eAµ∂µ]ϕ(+)p1 (x).
128
Первое слагаемое в правой части последней формулы соответствует свободному распространению частицы и обращается в нуль при p2 = p1. В этих условиях отлично от нуля только второе слагаемое:
|
|
|
|
eı(p2x) |
|
|
|
|
|
|
d4q |
|
|
|
|
|
||||||
Sp2,p1 = d4x √ |
|
|
e∂µ |
|
|
|
Aµ(q)e−ı(qx)+ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(2π)4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
2E2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
d4q |
|
|
|
|
|
e−ı(p1x) |
|
|
|
|
|
|||||||||
+ e |
|
|
|
Aµ(q)e−ı(qx)∂µ! |
|
|
√ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||
|
(2π)4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2E1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
eı(p2x) |
|
|
|
|
d4q |
(q + p1)µAµ(q)e−ı(qx)− |
|
|
|
|||||||||||
d4x √ |
|
−ıe |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(2π)4 |
|
|
|
||||||||||||||||
2E2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− ıe |
|
d4q |
|
! |
e−ı(p1x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1µAµ(q)e−ı(qx) |
√ |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2π)4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2E1 |
Здесь вместо потенциала Aµ(x) использовано его представление в виде 4-мерного интеграла Фурье. Такой подход означает, что рассматривается случай внешнего электромагнитного поля. В полученном выражении можно провести интегрирование по d4x:
d4xeı((p2 −q−p1)x) = (2π)4 δ(4)(p2 − q − p1),
и с помощью δ(4)-функции взять интеграл по d4q. В результате находим:
S |
|
|
= |
−ıe(p2 + p1)µAµ(q) |
, q = p |
2 − |
p |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
p2 |
,p1 |
|
|
√2E12E2 |
1 |
|
||||
Если |
внешнее |
|
поле не зависит |
явно от времени, то |
|||||||
Aµ(q) = |
2πδ(q0 )Aµ(q) = 2πδ(E2 − E1)Aµ(q). В случае испускания |
(поглощения) свободного фотона с 4-импульсом k и поляризацией ε(µσ) в выражение для элемента S-матрицы нужно подставить вместо Aµ(x) волновую функцию излученного или поглощенно-
|
εµ(σ) eı(kx) |
εµ(σ)e−ı(kx) |
||||
го фотона: Aµ(x) → |
√ |
|
(излучение) или Aµ(x) → |
√ |
|
|
2ω |
2ω |
129
(поглощение). В результате находим, например, амплитуду поглощения фотона заряженной скалярной частицей:
S |
|
|
= |
−ıe(p2 + p1)µεµ(σ) |
(2π)4 δ(4)(p |
2 − |
k |
− |
p |
). |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
p2 |
,k,p1 |
|
√2E22ω2E1 |
|
1 |
|
Следовательно, вершине однократного взаимодействия с внешним полем – испусканию или поглощению фотона скалярной частицей – отвечает фактор: −ıe(p2 + p1)µ. Остальные множители следуют из стандартных правил Фейнмана. Заметим, что свободная частица не может испустить реальный фотон, так как при этом нарушились бы законы сохранения энергии-импульса (аргумент δ-функции в последнем соотношении не обращается в нуль). Однако в случае испускания виртуального фотона или в случае, когда первичный или вторичный мезон виртуальный, такой процесс возможен. Вершине взаимодействия в этих случаях соответствует указанный выше фактор.
105. Указанный в условии задачи эффект можно учесть, если сохранить в выражении для приближенной функции Грина скалярной частицы слагаемое V (x), содержащее e2Aµ(x)Aµ(x) (см. также задачи 89 и 103). Это слагаемое дает следующий вклад
в функцию Грина с учетом взаимодействия с электромагнитным полем: G(1)(x2, x1) = ıe2 d4xG0(x2 −x)Aµ(x)Aµ(x)G0(x−x1). Амплитуда рассматриваемого процесса находится по аналогии с ре-
шением предыдущей задачи. В частном случае испускания в точке x фотона с 4-импульсом k2 и поляризацией ε(µλ) и поглощения в той же точке фотона с 4-импульсом k1 и поляризацией ε(µσ), нaxодим:
2ıe2εµ(λ) εν(σ)gµν |
|
|
− p1 − k1). |
Sp2,k2,p1,k1 = √2E22ω22E12ω1 |
(2π)4δ(4) (p2 |
+ k2 |
Из этого результата видно, что вершине взаимодействия в рассматриваемом процессе отвечает фактор 2ıe2gµν , где индексы µ и ν отвечают компонентам 4-векторов поляризации испущенного и
130