Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010
.pdfЭффективная область, в которой волновая функция пионов (потенциал пионного поля), испускаемых точечным источником, существенно отлична от нуля, имеет радиус ref f ≈ m1 , равный комптоновской длине волны пиона, что по порядку величины совпадает с радиусом действия ядерных сил r ≈ 1, 4 · 10−13 см.
57. Стационарное решение уравнения Клейна – Гордона с по-
ложительной энергией с учетом электростатического поля следует искать в виде: Φ(r, t) = ϕ(r)e−ıEt. Подставляя это выражение
в уравнение Клейна – Гордона с учетом электромагнитного поля Aµ = (A0 = −Zre , 0), получим для ϕ(r):
|
Ze2 |
2 |
|
(− + m2)ϕ(r) = E + |
! ϕ(r) |
||
r |
(заряд e измеряется в обычных (гауссовских) единицах).
Это уравнение допускает разделение переменных в сферических координатах: ϕ(r) = R(r)Ylm(θ, φ). Радиальная волновая функция R(r) подчиняется уравнению:
|
|
|
2 |
Ze2 |
E |
|
|
l(l + 1) |
|
Z2 |
|
4 |
− (m2 − E2)!R(r) = 0, |
||||||||
r + |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
e |
||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
d |
|
2 d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где r = |
|
|
|
|
|
|
(r |
|
|
). |
Введем |
|
новую переменную ρ = βr |
||||||||
|
|
r2 |
|
dr |
|
dr |
|
||||||||||||||
(β2 = 4(m2 − E2)) и новую функцию f (r) = R(r)r. Для f (r) по- |
|||||||||||||||||||||
лучим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d2 |
l(l + 1) |
|
|
Z2e4 |
|
λ |
|
|
1 |
!f (r) = 0, |
||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
− |
|
||||||
|
dρ2 |
|
|
|
|
|
|
ρ2 |
|
|
ρ |
4 |
где λ = 2Ze2E > 0.
β
По аналогии с решением задачи в случае нерелятивистского атома водорода представим f (r) в виде:
f (r) = e−ρ2 ρs+1F (ρ),
где F (ρ) →const при ρ → 0 и растет степенным образом при ρ → ∞. Подставляя указанную выше замену в уравнение для
81
f (r) и переходя к пределу ρ → 0, найдем значения параметра s как решения квадратного уравнения:
s2 + s − (l2 + l − Z2e4) = 0, s = −1/2 ± (l + 1/2)2 − Z2e4.
Функцию F (ρ) можно представить в виде ряда:
∞
F (ρ) = anr ρnr ,
nr =0
а затем получить реккурентные соотношения для вычисления коэффициентов anr этого ряда. Из условия экспоненциального убывания функции f (r) при r → ∞ необходимо потребовать, чтобы полученный ряд обрывался на некотором значении nr по аналогии с хорошо известным решением для нерелятивистского атома водорода. Функция F (ρ) является полиномом степени nr при выполнении условия λ = nr + s + 1. Чтобы обеспечить выполнение неравенства λ > 0, следует выбрать решение для s с положительным знаком перед квадратным корнем. Тогда энергия состояния:
m
E = √1 + Z2e4λ−2 .
Если Ze2 1 , то можно разложить выражение для E в ряд по степеням Ze2 и положить, как обычно, nr + l + 1 = n. С точностью до слагаемых, пропорциональных (Ze2)4, находим:
E ≈ m 1 − |
( |
Ze2)2 |
(Ze2)4 |
|
n |
|
3 |
!. |
|
|
− |
|
|
− |
|
||||
|
2n2 |
2n4 |
l + 1/2 |
4 |
Первое слагаемое в полученной формуле представляет энергию покоя пиона, второе – соответствует обычным уровням энергии атома водорода, а третье – характеризует «тонкую структуру» уровней энергии и снимает вырождение по l состояний с заданным значением главного квантового числа n (l ≤ n − 1, n = 1, 2, . . .). Отметим, что энергия связи пиона в π-мезоатоме
оказывается в m раз больше, чем в обычном атоме (me – масса
me
82
электрона). Соответственно, боровский радиус π-мезоатома в 1s- состоянии aπ = mme ( Za ), где a – боровский радиус обычного атома водорода. Таким образом, в π-мезоатомах пион оказывается существенно ближе к ядру по сравнению с электронами в обычных атомах и может проводить значительную часть времени внутри ядра, что является причиной его быстрого поглощения ядром атома в результате сильного ядерного взаимодействия пионов с нуклонами.
58. Уравнение Дирака для свободной частицы имеет вид:
(ıγµ∂µ − m)ψ(x) = 0.
Пусть при собственном преобразовании Лоренца
xµ = aµν xν |
|
|
|
(1a) |
xν = aµν xµ |
|
|
|
(1b) |
(aµν aρν = gµρ |
в |
силу |
инвариантности |
интервала |
ds2 = (dx)2 = gµν dxµdxν = gµν dxµdxν = (dx )2.) Волновая (полевая) функция в новой системе отсчета ψ (x ) выражается через волновую (полевую) функцию ψ(x) с помощью линейного преобразования: ψ (x ) = S(a)ψ(x), где S(a) – четырехмерная неособенная матрица, зависящая только от коэффициентов преобразования aµν и не зависящая от координат пространства-времени. Очевидно, существует матрица обратного преобразования S−1(a)ψ (x ) = ψ(x). На основании принципа релятивистской ковариантности уравнение Дирака в преобразованной системе отсчета должно иметь тот же вид, что и исходное уравнение:
(ıγµ∂µ − m)ψ (x ) = 0.
Используя выражение ψ (x ) через ψ(x) и ∂µ через ∂µ:
∂µ = ∂xν ∂ = aµν ∂ν , ∂xµ ∂xν
находим:
(ıγµaµν ∂ν − m)Sψ(x) = 0.
83
Домножим это уравнение слева на S−1 и сравним получившийся результат
[ıS−1γµSaµν ∂ν − m]ψ(x) = 0
с исходным уравнением. Чтобы получившееся уравнение совпадало с исходным уравнением Дирака, достаточно потребовать выполнения соотношения: S−1γµSaµν = γν или
S−1γρS = aρν γν . |
(2) |
Последнее соотношение следует рассматривать как условие, налагаемое на матрицу преобразования S.
Рассмотрим соотношение, эрмитовски сопряженное по отношению к (2): (aρν γν )† = S†γρ†(S−1)†. Домножим это равенство на матрицы γ0 слева и справа и используем следующие свойства
матрицы γ0: γ0γα†γ0 = γα и γ0 = γ0† = γ0−1. Тогда находим: |
|
aρν γν = (γ0S†γ0)γρ(γ0S†γ0)−1 = S−1γρS. |
(3) |
Последнее равенство есть следствие условия (2). Равенство (3) |
|
можно переписать в виде: (γ0S†γ0)γρ = S−1γρS(γ0S†γ0) или |
|
(Sγ0S†γ0)γρ − γρ(Sγ0S†γ0) = 0. |
(4) |
Матрица Sγ0S†γ0 согласно (4) коммутирует со всеми матрица-
ми γρ. Следовательно, она выражается через единичную матрицу |
|
с постоянным коэффициентом A: Sγ0S†γ0 = AI˜ или |
|
Sγ0S† = Aγ0. |
(5) |
A = A , так как матрица γ0 эрмитова и матрица Sγ0S† также эрмитова. Соотношение (2) показывает, что матрица S может быть заменена на матрицу S = kS, где k =const, тогда обратная матрица (S )−1 = k−1S−1. Произвольность постоянной k позволяет отнормировать матрицу S таким образом, чтобы ее определитель равнялся единице: det S = 1 (det S† = 1). Определитель произведения матриц равен произведению определителей, поэтому из
84
(5) следует, что A4 = 1, а A = ±1. Матрица S по своему смыслу несингулярна, следовательно, матрица SS† имеет действительные
и положительно определенные собственные значения. В этом случае след этой матрицы Sp S†S > 0. Согласно (5) S†γ0 = Aγ0S−1,
поэтому S†S = S†γ0γ0S = Aγ0S−1γ0S = Aγ0a0ν γν (см. (2)). В ре-
Sp † = Sp ( ˜ − ) = 4
зультате S S A a00I a0kγ0γk Aa00 . Отсюда следует, что A = 1 если a00 > 0, и A = −1, если a00 < 0. Коэффициент a00 < 0, если только преобразование (1a) содержит отражение времени. По условию задачи преобразование (1a) не содержит изменения знака времени, поэтому A = 1. Итак, матрица S должна быть такой, чтобы удовлетворялись соотношения (2) и условие γ0S† = S−1γ0 (см. (5)). Существование такой матрицы следует из того, что матрицы γρ = S−1γρS = aρν γν удовлетворяют тем же
соотношениям антикоммутации, что и матрицы γρ. В силу (1a):
γργν + γν γρ = aρσ γσ aνλγλ + aνλγλaρσ γσ = 2aνλaρσ gλσ = 2gρν .
Поэтому можно выбрать γν = γν . Приведем также закон пре-
образования ψ x . Так как ψ x Sψ x , то ψ x ψ x S ;
¯( ) ( ) = ( ) [ ( )]† = †( ) †
¯ ( ) = ¯( ) † = ¯( ) −1 = ¯( ) −1
ψ x ψ x γ0 S γ0 ψ x S γ0γ0 ψ x S .
59. При повороте системы координат вокруг оси z на угол φ
преобразуются лишь координаты x и y. Новые координаты x и y выражаются через старые по следующим формулам:
x = x cos φ + y sin φ = a1µxµ = a10t − a1kxk = −a11x − a12y;
y = −x sin φ + y cos φ = a2µxµ = a20t − a2kxk = −a21x − a22y.
Поэтому отличные от нуля коэффициенты собственного пре-
образования Лоренца в данном случае имеют вид: a11 = − cos φ, a12 = − sin φ, a21 = sin φ, a22 = −cos φ, a00 = 1, a33 = −1 . Установим, что биспинор ψ(x) преобразуется при этом по закону
ψ (x ) = Sψ(x), |
где |
S = exp ( 1 |
γ1γ2φ). |
Соответственно, |
||||||
S−1 = exp ( |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
1 γ1γ2φ). Разложим S в ряд Тейлора по φ: |
|||||||||
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
∞ 1 |
(γ1γ2)n |
|
φ |
n |
|
(1) |
||||
n=0 n! |
2 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
Используя свойства матриц Дирака γ1 и γ2, нетрудно показать, что (γ1γ2)2k = (−1)k , (γ1γ2)2k+1 = (−1)k γ1γ2, где k = 0, 1, 2 . . ..
Тогда сумму (1) можно представить в виде:
∞ |
k |
|
φ |
|
|
2k |
|
|
|
∞ |
|
k |
|
|
φ |
|
|
2k+1 |
φ |
|
|
|
φ |
|
|||
S= |
(−1) |
|
|
|
+γ γ |
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
= cos |
+γ γ |
sin |
|
. |
|||||||||
k=0 |
(2k)! |
2 |
|
1 |
|
2 k=0 |
(2k + 1)! |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответственно, S−1 = cos φ2 − γ1γ2 sin φ2 . Матрица S должна |
|||||||||||||||||||||||||||
удовлетворять соотношению (см. задачу 58): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
S−1γµS = aµν γν . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||
Так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1µγµ = −a11γ1 − a12γ2 = γ1 cos φ + γ2 sin φ, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
S−1γ1S = γ1 cos2 |
|
φ |
|
|
|
φ |
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
+ γ1γ2γ1 sin |
|
cos |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
−γ1γ1γ2 sin |
φ |
cos |
φ |
− γ1γ2γ1γ1γ2 sin2 |
φ |
= γ1 cos φ + γ2 sin φ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
a2µγµ = −a21γ1 − a22γ2 = −γ1 sin φ + γ2 cos φ, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
S−1γ2S = γ2 cos2 |
|
φ |
|
|
|
φ |
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
+ γ1γ2γ2 sin |
|
cos |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
−γ2γ1γ2 sin |
φ |
cos |
φ |
− γ1γ2γ2γ1γ2 sin2 |
φ |
= γ2 cos φ − γ1 sin φ. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
Таким образом, соотношение (2) удовлетворяется. Проверим со-
отношение γ0S† = S−1γ0: |
|
|
! |
|
|
− γ1 |
γ2 sin 2 |
! |
|
|||||
γ0 |
cos 2 |
+ γ2†γ1† sin 2 |
= γ0 cos |
2 |
= |
|||||||||
|
|
φ |
|
|
|
φ |
|
φ |
|
|
φ |
|
|
|
= |
cos 2 |
− γ1γ2 sin 2 |
! |
γ0 = S−1γ0. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
φ |
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86
Нетрудно видеть, что γ1γ2 = −ıΣ3 = |
−ı |
σ |
0 |
. Поэтому |
03 |
σ3 |
S = diag (e−ıφ/2 , eıφ/2, e−ıφ/2 , eıφ/2) и det S = 1. Матрицу S мож-
но также представить в виде |
|
, |
|||
S = exp −ıφ 23 |
|
= exp φ |
2 |
||
|
Σ |
|
|
σ12 |
|
где σ12 = 12 (γ1γ2 − γ2γ1).
60. Указанное в условии задачи преобразование имеет вид:
t = |
t |
− vx |
, x = |
x − vt |
. |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
√1 − v2 |
|
√1 − v2 |
||||||
Вводя обозначения ch χ = |
√ |
1 |
|
, sh χ = |
|||||
1−v |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
v |
|
, это релятивист- |
1−v |
2 |
||
|
|
|
ское преобразование можно трактовать как поворот на мнимый
угол ıχ в плоскости |
(t, x) пространства-времени Минковского: |
t = t ch χ − x sh χ, x |
= −t sh χ + x ch χ. Коэффициенты преоб- |
разования, отличные от нуля, равны соответственно: a00 = ch χ, a01 = sh χ, a10 = −sh χ, a11 = −ch χ, a22 = a33 = −1. Покажем, что в этом случае матрица преобразования биспиноров Дирака
имеет вид:
S = exp |
|
χγ1γ0 |
. |
|
|
|
|
|
(1) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разложим S в ряд Тейлора по χ: |
|
|
||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
χ |
$ |
n |
|
|
|
S = n=0 n! (γ1γ0)n |
# 2 |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя свойства матриц γ0 и |
γ1, |
нетрудно показать, что |
||||||||
(γ1γ0)2k = 1, |
|
(γ1γ0)(2k+1) |
= γ1γ0, |
где |
k = 0, 1, 2, . . . . Тогда |
S = ch(χ/2) + γ1γ0 sh(χ/2).
Проверим выполнение следующих условий, которым должна
удовлетворять матрица преобразования S:
S−1γµS = aµν γν , γ0S† = S−1γ0, det S = 1 (см. задачу 58). Очевидно, что S−1 = ch(χ/2) − γ1γ0 sh(χ/2). Тогда:
87
S−1γ0S = γ0 #ch2 |
χ |
|
|
χ |
|
|
|
|
|
χ |
χ |
|||||||||||||||||
|
+ sh2 |
|
$ − 2γ1 sh |
|
ch |
|
|
= |
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= γ0 ch χ − γ1 sh χ = a0µγµ; |
|||||||||
S−1γ1S = γ1 ch χ − γ0 sh χ = a1µγµ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
S = |
|
ch χ2 |
|
|
|
0 |
χ |
|
0 |
χ |
|
−sh χ2 |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
ch |
2 |
|
sh 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
det |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
sh |
χ |
−ch |
χ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
χ |
− |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
sh |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
ch |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 χ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= #ch |
|
|
− sh |
|
|
|
$ |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
# |
χ |
|
|
|
|
|
|
|
χ |
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|||||||
γ0S† = γ0 |
ch |
2 |
+ (γ0γ1)† sh |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= #ch |
|
χ |
(γ1γ0) sh |
|
|
$γ0 = S−1γ0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
Таким образом, матрица (1) удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на матрицу искомого преобразования.
61. Бесконечно малое собственное преобразование Лоренца имеет следующий вид:
xµ = xµ + λεµν xν ,
где |λ| 1, εµν – вещественные параметры преобразования. Из условия инвариантности интервала ds2 = (dx )2 = (dx)2 находим с точностью до слагаемых порядка λ:
(dx )2 = (dxµ + λεµν dxν )2 = (dx)2 + 2λεµν dxµdxν =
= (dx)2 + λ(εµν + ενµ)dxµdxν .
Инвариантность интервала имеет место, если εµν = −ενµ. Таким образом, коэффициенты бесконечно малого произвольного собственного преобразования Лоренца имеют вид:
aµν = gµν + λεµν . |
(1) |
88
Будем искать матрицу S(a) в форме |
|
˜ |
(2) |
S = I + λT, |
|
где I˜ – единичная матрица. Очевидно, что S−1 |
= I˜ − λT , так |
как в этом случае условие SS−1 выполняется с квадратичной точностью по λ. Матрица S должна удовлетворять соотношению S−1γµS = aµν γν (см. задачу 58). Подставляя в него выражения (1) и (2), находим условие, которому должна удовлетворять матрица
T :
˜ |
˜ |
+ λT ) = (gµν + λεµν )γν = γµ + λεµν γν . |
(I |
− λT )γµ(I |
|
Или с точностью до слагаемых λ2: |
γµ + λ(γµT − T γµ) = γµ + λεµν γν ,
откуда вытекает, что γµT − T γµ = εµν γν . Из требования det S = 1 |
|||||||
˜ |
= 1 вытекает условие Sp T = 0. |
||||||
или det (I + λT ) = 1 + λ Sp T |
|||||||
Матрица T = 41 ερν σρν , где σρν |
= 21 (γργν − γν γρ), удовлетворяет |
||||||
всем требуемым условиям. Действительно, |
|||||||
1 |
|
1 |
|
||||
γµT − T γµ = |
|
ερν [γµσρν − |
σρν γµ] = |
|
ερν (γµγργν − γργν γµ) = |
||
4 |
4 |
||||||
1 |
ερν (2gρµγν − 2gνµγρ + γµγργν − γµγργν ) = εµν γν , |
||||||
= |
|
||||||
4 |
|||||||
Sp T = 1 ερν Sp σρν = 0. Таким образом, S = 1 + λ ερν σρν при |
|||||||
4 |
|
|
|
|
4 |
|λ| 1. При произвольных значениях λ: S = exp( λ4 ερν σρν ). Частные случаи собственных преобразований Лоренца рассмотрены в
задачах 59, 60. |
|
|
|
|
62. |
Рассмотрим |
свободное |
уравнение |
Дирака |
(ı |
∂ |
γ0 + ı γ − m)ψ(x) = 0. При инверсии координат ı → −ı , |
|||
∂t |
|||||
ψ(x) |
→ |
ψ (x ) = P ψ(x), где ψ (x ) = ψ (t, x), ψ¯ (t, |
x) = ψ¯(x)γ0P †γ0; |
||
|
|
|
− |
− |
здесь P – матричный опеpaтор. Уравнение Дирака при преобразовании инверсии переходит в уравнение:
(ı ∂t∂ γ0 + ı γ − m)ψ (x ) = 0
89
или
∂
(ı ∂t γ0 − ı γ − m)P ψ(x) = 0.
Для того чтобы полученное уравнение соответствовало исходному уравнению Дирака, матрица P должна удовлетворять условиям:
P −1(ı ∂t∂ γ0 − ı γ − m)P = (ı ∂t∂ γ0 + ı γ − m).
Отсюда P −1γ0P = γ0, P −1P = 1, P −1γP = −γ или γP = −P γ. Нетрудно видеть, что требуемым условиям удовлетворяет матрица P = γ0. Таким образом, ψ (t, −x) = γ0ψ(t, x),
I |
0 |
, то верхние и ниж- |
а ψ¯ (t, −x) = ψ¯(x)γ0 . Так как γ0 = 0 |
−I |
ние компоненты биспинора ψ(x) по-разному преобразуются при инверсии координат.
|
¯ |
|
63. Рассмотрим уравнение Дирака для ψ(x): |
|
|
¯ |
¯ |
(1) |
ı∂µψ(x)γµ + mψ(x) = 0. |
Совершим в (1) транспонирование и сделаем замену t → −t. Получим:
−ıγµT (µ)∂µψ¯T (x ) + mψ¯T (x ) = 0, |
|
(2) |
|
где x = ( t, x), коэффициент (0) |
= 1, (i) = |
− |
1 для i = 1, 2, 3. |
− |
|
|
|
Далее умножим (2) слева на унитарную матрицу T , удовлетворя- |
|||
ющую условиям |
|
|
|
T γµT −1 = γµ (µ). |
|
|
(3) |
(Кстати, такую матрицу нетрудно построить, она должна коммутировать с γ0, γ1 и γ3 и антикоммутировать с γ2 на основании свойств транспонирования матриц Дирака (см. задачу 37). Матрица, удовлетворяющая этим условиям, имеет вид T = γ3γ1γ0.) Из (2) и (3) следует, что функция
( ) = ¯T ( ) (4)
ψ x T ψ x
90