Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010
.pdfгде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T max = |
(mK − mπ )2 − 4mπ |
2 |
≈ |
(mK − 3mπ )(mK + mπ ) |
≈ |
2 |
∆E. |
||
|
|
|
3 |
||||||
1 |
|
2mK |
|
2mK |
|
|
|||
Полученное |
распределение имеет |
максимум |
|
при |
T1 = 12 T1max ≈ 13 ∆E и обращается в нуль при T1 = 0 и T1 = T1max.
32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
G2A |
|
||||
|
|
= |
|
|
pE(∆E − E)2, |
||
|
dE |
2π3 |
|||||
p = |
|
– |
импульс электрона, E – его энергия, |
||||
E2 − me2 |
|||||||
= m |
n − |
m |
p ≈1,293 МэВ. |
||||
∆E |
|
|
|||||
33. |
|
|
|
|
|
|
dσ = |
|
|
|
|
|
|T |2 |
|
|
|
dF2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 (p1p2)2 − m12m22(2π)2 22 |
|||||||||
dF2 = |
|
d3k1d3k2 |
δ(4)(p1 |
+ p2 − k1 − k2), |
||||||
|
E1E2 |
|||||||||
где p1, p2 |
|
– 4-импульсы |
начальных частиц; k1, k2, E1, E2 – |
4-импульсы и энергии конечных частиц; m1, m2 – массы взаимо-
действующих частиц. Проведем расчет в ц-системе реакции, где |
||||||||||||||
сумма энергий первичных частиц есть √ |
|
= |
|
|
: |
|
||||||||
|
(p1 + p2)2 |
|
||||||||||||
s |
|
|||||||||||||
|
d3k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 = |
δ(√s − E1 − E2) = |
|
||||||||||||
E1E2 |
√s . |
|||||||||||||
= 4π |
E2 |
δ(√s − E1 − E12 − m12 + m22) = |
||||||||||||
|
|
k1dE1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πk1 |
При интегрировании учтено, что в ц-системе |k1| = |k2|. Интегрирование по телесному углу дает 4π. Подставляем F2 в формулу для сечения, и учитывая, что
1
k1 = 2√ [s − (m1 + m2)2][s − (m1 − m2)2], s
71
|
(p1p2) = |
1 |
(s − m12 − m22), |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(p1p2)2 |
|
− m12m22 = |
|
|
[s − (m1 |
+ m2)2][s − (m1 − m2)2] = √sk1, |
|||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
σ = |
|
|T |2 |
= |
|
|
|
|
|T |2 |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
16π(E10 + E20)2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
16πs |
|
|
|
|
|
E10 и E20 – энергии первичных частиц в ц-системе.
3.Матрицы Паули и Дирака. Следы
34.Запишем величину (σa)(σb) через проекции векторов и используем свойства матриц Паули:
σiaiσkbk = (δik + ı iklσl) = (ab) + ıσ[a, b].
35. Собственные функции оператора σ3 находятся из уравнения
σ3wλ = λwλ,
где λ = ±1, а wλ = a – двухкомпонентный спинор. Решая b
это уравнение с учетом условия нормировки wλ+wλ = 1, найдем:
1 |
0 |
wλ=1 = 0 , wλ=−1 |
= 1 . Далее прямым вычислением получим: |
σ+wλ=1 = 0; σ+wλ=−1 = 2wλ=1 ; σ−wλ=1 = 2wλ=−1; σ−wλ=−1 = 0.
= 2s, где s – оператор спина частицы, отвечающий спиновому квантовому числу s = 12 . Поэтому s3 = λ2 = ±12 – квантовые числа проекции спина на ось квантования.
36. σiσkσl = (δik +ı ikmσm)σl = δikσl +ı ikl − ikm mlj σj . Нетруд-
но убедиться, что произведение двух антисимметричных тензоров
72
выражается через следующий детерминант, составленный из символов δik:
|
|
|
|
δin |
δil |
δij |
|
|
ikm |
|
nlj = |
|
δ |
δ |
δ |
|
. |
|
δ kn |
δ kl |
δ kj |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
ml |
mj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая в этом выражении m = n, суммируя по повторяющемуся индексу и пользуясь цикличностью перестановки векторных индексов тензора mlj ( mlj = ljm), найдем:
= δilikm mlj δ
kl
δij
δkj = δilδkj − δij δkl.
Отсюда окончательно получаем:
σiσkσl = δikσl + δklσi − δilσk + ı ikl.
37.γ1 = γ1, γ2 = −γ2, γ3 = γ3, γ0 = γ0, γ5 = γ5. γ1T = −γ1, γ2T = γ2, γ3T = −γ3, γ0T = γ0, γ5T = γ5.
γ1† = −γ1, γ2† = −γ2, γ3† = −γ3, γ0† = γ0, γ5† = γ5.
38.Доказательство проводится элементарно:
а) принять во внимание явный вид γ-матриц; б) pˆ2 = 1/2(γµγν + γν γµ)pµpν = gµν pµpν = p2. 39. а) 2(AB);
б) 2Aµ.
42. а) 16(BC)(AD);
2 |
2 ˆ |
б) 4C |
A B; |
в) 0; |
|
г) 8(AB)(1 + γ5).
43. Произведение двух антисимметричных тензоров можно выразить через детерминант от метрических тензоров:
gµα |
gµβ |
gµρ |
gµτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gνα |
gνβ |
gνρ |
gντ |
. |
µνλσ αβρτ = gλα |
gλβ |
gλρ |
gλτ |
|
gσα |
gσβ |
gσρ |
gστ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73
Полагая здесь α = µ, β = ν и суммируя по повторяющимся индексам, найдем:
µνλσ µνρτ = 2gλτ gσρ − 2gλρgστ .
44. Пользуясь результатом задачи 43, найдем:
µνλσ µνλρ = −6gσρ
.
45. Предположим сначала, что все индексы µ, ν, λ различны, тогда исходное равенство сводится к виду:
γµγν γλ = ıd µνλσ γσ γ5 (µ = ν = σ).
Положим µ = 1, ν = 2, λ = 3, тогда с необходимостью m = 0. Проверим выполнение верхнего равенства: γ1γ2γ3 = −ıdγ0γ5. Пользуясь определением γ5, найдем, что это равенство выполняется при d = −1. Аналогично проверяются все остальные комбинации различных индексов µ, ν, λ. Далее домножим исходное равенство последовательно на gµν , gµλ и gνλ. Для коэффициентов a, b и c получится система уравнений:
|
|
4 = 4a + b + c |
|
2 = a + 4b + c |
|
|
− |
|
|
4 = a + b + 4c , |
|
|
|
|
|
|
|
откуда a = c = −b = 1. Окончательно искомое соотношение принимает вид:
γµγν γλ = gµν γλ + gνλγµ − gµλγν − ı µνλσ γσ γ5.
Нетрудно непосредственно проверить, что при любых конкретных значениях индексов µ, ν, λ это соотношение оказывается справедливым.
46. Задача решается аналогично задаче 45. A = C = −B = 2,
D = 0.
74
47.Доказательство следует из формулы задачи 45 при ее домножении справа на γλ и использовании свойств γ-матриц Дирака.
48.Пользуясь тем, что след произведения произвольного чис-
ла γ-матриц не меняется при их циклической перестановке и что
2 = ˜
γ5 I, находим:
Sp γµ1 γµ2 ··· γµ2n+1 = Sp γ5γ5γµ1 ··· γµ2n+1 = Sp γ5γµ1 ··· γµ2n+ γ5 =
= −Sp γµ1 ··· γµ2n+1 γ5γ5 = −Sp γµ1 ··· γµ2n+1 = 0
(n = 0, 1, ··· ; (2n+1) – нечетное целое число). Здесь использовано свойство антикоммутации матрицы γ5 со всеми матрицами γµ.
49. Для доказательства редукционной формулы достаточно
+ = 2 ˜
воспользоваться соотношением γµγν γν γµ gµν I и переместить матрицу γµ1 из начала выражения, стоящего под знаком следа, в его конец, последовательно переставляя ее со всеми остальными γ-матрицами, и затем применить свойство цикличности перестановок γ-матриц под знаком следа.
50.Доказательства легко проводятся с использованием результатов задачи 49.
51.а) При доказательстве используется соотношение задачи
47:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Sp γ5γµγν = |
|
Sp (γ5 |
γµγν − γ5γν γµ) + |
|
|
Sp (γ5 |
γµγν + γ5γν γµ) = |
||||||
2 |
2 |
||||||||||||
= |
1 |
ı µνλσ Sp γλγσ + |
1 |
2gµν Sp γ5 |
= |
1 |
ı µνλσ 4gλσ + gµν Sp γ5. |
||||||
2 |
2 |
2 |
Первое слагаемое в полученном выражении обращается в нуль, так как является произведением симметричного тензора на анти-
симметричный по индексам λ, σ, а второе равно нулю, поскольку
Sp γ5 = 0.
б) Доказательство следует из соотношения задачи 45 при домножении его на γ5γσ и взятия следа от обеих сторон полученного
выражения.
52. а) 4pµqν + 4pν qµ + 4(m2 − (pq))gµν ;
75
б) 8pµpν − 4(p2 + m2)gµν ; в) 0;
г) 16(ab)(ac) − 8a2(bc);
д) 4[(AB)(CD) + (AD)(BC) − (AC)(BD) + cd(AB) + bc(AD)+
+bd(AC) + ac(BD) + ab(CD) + ad(BC) + abcd]; е) 4a2b2[(cd)(ef ) + (cf )(de) − (ce)(df )];
ж) 16a2(bc).
4.Рeлятивистские волновые уравнения
53.Волновую функцию уравнения Клейна – Гордона удобно представить в виде: Φ(x, t) = ϕ(x, t) exp(−ı mt), где множитель
exp(−ımt) отвечает временной зависимости волновой функции покоящейся частицы. Подставляя эту форму в уравнение Клейна – Гордона, с учетом электромагнитного поля получим:
|
∂ϕ |
|
∂2ϕ |
|
∂ϕ |
|
2ım |
|
− |
|
− 2eA0(mϕ + ı |
|
) + e2A02ϕ = (p − eA)2ϕ. |
∂t |
∂t2 |
∂t |
Удерживая в левой части уравнения слагаемые, пропорциональные m, придем к обычному уравнению Шредингера:
ı |
∂ϕ |
= |
(p − eA)2 |
ϕ + eA0ϕ. |
|
∂t |
2m |
||||
|
|
|
При этом, естественно, считается, что энергия покоя частицы m превышает не только ее кинетическую, но и потенциальную энергию взаимодействия с полем: m |eA0|.
54. Для свободной частицы уравнение Клейна – Гордона имеет вид:
∂2ϕ(x, t) = ( − m2)ϕ(x, t). ∂t2
Стационарное решение этого уравнения представляется в виде ϕ(x, t) = e−ıp0tϕ(x), где функция ϕ(x) удовлетворяет волновому
76
уравнению:
ϕ(x) + (p02 − m2)ϕ(x) = 0,
решением которого является плоская волна ϕ(x) = eıpx. Подставляя это решение в уравнение для ϕ, найдем связь между энерги-
ей и импульсом свободной частицы, подчиняющейся уравнению Клейна – Гордона: p20 = p2 + m2 или p0 = ± p2 + m2 = ±E (где
на – |
|
|
2 |
+ m2 |
> 0 |
решений уравнения Клей- |
E = |
p |
|||||
|
|
|
). Полный набор |
|
Гордона для свободной частицы включает состояния как с положительной, так и с отрицательной энергией (частицы и античастицы).
55. Умножим уравнение Клейна – Гордона, записанное в виде
(ı ∂t∂ − eA0)2ϕ(x) − (−ı − eA)2ϕ(x) − m2ϕ(x) = 0,
(где x = (t, x)) на ϕ (x), а уравнение для комплексно-сопряженной функции ϕ – на ϕ(x). Из первого уравнения вычтем второе и
найдем: |
−ϕ ∂t2 !−2ıeA0 |
ϕ ∂t |
+ ϕ ∂t ! |
− ϕ ϕ −ϕ ϕ!− |
||||||||||||
− ϕ ∂t2 |
||||||||||||||||
|
|
∂2ϕ |
|
|
∂2ϕ |
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
∂ϕ |
|
||
−ıe ϕ ( A + A )ϕ + ϕ( A + A )ϕ ! = 0. |
||||||||||||||||
Далее, учитывая, что |
∂t − ϕ ∂t !, |
|
||||||||||||||
ϕ ∂t2 |
− ϕ ∂t2 |
= ∂t ϕ |
|
|||||||||||||
|
∂2ϕ |
|
|
∂2 ϕ |
|
|
∂ |
∂ϕ |
|
∂ϕ |
|
|||||
ϕ |
∂ϕ |
+ ϕ |
∂ϕ |
= |
|
∂ |
(ϕ ϕ), |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∂t |
|
|
∂t |
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
ϕ ϕ − ϕ ϕ = div [ϕ ϕ − ϕ ϕ],
77
ϕ ( A + A )ϕ + ϕ( A + A )ϕ = 2div (ϕ ϕA),
и домножая исходное уравнение на фактор e/2mi, получим уравнение непрерывности divj + ∂ρ∂t = 0 или ∂µjµ = 0; jµ – 4-вектор плотности электрического тока заряженных скалярных частиц. Плотность заряда при этом составляет:
ρ = 2mı |
ϕ ∂t |
− ϕ ∂t |
! − m A0ϕ |
ϕ, |
||||
|
e |
|
∂ϕ |
|
∂ϕ |
|
e2 |
|
а 3-вектор плотности тока:
|
ıe |
|
e2 |
|
j = |
|
[ϕ ϕ − ϕ ϕ] − |
|
ϕ ϕA. |
2m |
m |
Из выражения для ρ видно, что плотность вероятности ρe не является положительно определенной. Отметим также, что для ста-
ционарных состояний с положительной энергией
ϕ(x) = ϕ(x)e−ıEt и ρ = me (E − eA0)ϕ (x)ϕ(x). В сильных полях |eA0| > E плотность заряда ρ меняет знак. При отсутствии внеш-
него поля (Aµ = 0) для состояний с определенной энергией и импульсом имеем следующие решения с положительной и отрицательной энергией:
ϕ(+) = N (+)e−ıEt+ıpx, ϕ(−) = N (−)eıEt−ıpx, |
|||
p |
|
|
−p |
|
|
|
|
где E = |
|
|
> 0. В случае p = 0 (система отсчета, где |
|
p2 + m2 |
||
частица |
покоится) |
||
|
|
|
|
ϕ(+) = N (+)e−ımt, ϕ(−) = N (−)eımt. |
|||
0 |
|
0 |
Плотности заряда свободной частицы с положительной или отрицательной энергией составляют, естественно: ρ(+)p = eEm |N (+)|2,
ρ(−−p) = −meE |N (−)|2, причем в системе, где p = 0, ρ(0±) = ±e|N (±)|2. Соответственно векторы плотности электрического тока равны:
j(+)p = emp |N (+)|2, j(−−p) = −mep|N (−)|2.
78
Таким образом, 4-векторы j(+) = ( E ρ(+) |
, |
p |
ρ(+)) и |
|
|||
m 0 |
|
m 0 |
j(−) = ( mE ρ(0−), mp ρ(0−)) можно трактовать как плотности электрического тока свободных частиц с зарядами (±e), движущихся со скоростью v = Ep . При этом соблюдается правильный релятивистский переход от системы покоя частицы к л-системе, где частица движется со скоростью v:
(±) |
= |
|
ρ0(±) |
(±) |
= |
ρ0(±)v |
||
ρp |
√ |
|
, jp |
√ |
|
. |
||
1 − v2 |
1 − v2 |
Нетрудно видеть, что волновая функция античастицы с зарядом (−e), положительной энергией и импульсом p:
ϕ(+)p (x, −e) = ϕ (−−p)(x, e)
получается с помощью комплексного сопряжения волновой функции состояния с отрицательной энергией, зарядом (+e) и импульсом (−p). Последнее соотношение позволяет придать физический смысл решениям с отрицательной энергией как соответствующим античастицам.
56. Уравнение Клейна – Гордона в стационарном случае при p0 = 0 имеет вид ( − m2)ϕ(r) = 0 (аргумент x переименован в более привычный для трехмерного случая аргумент r). Это уравнение при m = 0 аналогично уравнению Лапласа для скалярного потенциала электростатического поля вне источников. При наличии точечного источника с зарядом g уравнение приобретает вид:
( − m2)ϕ = −gδ(3)(r).
Отметим, что в правой части этого уравнения отсутствует множитель 4π. Такая запись уравнения соответствует хевисайдовской системе единиц, которая используется в релятивистской квантовой механике. В этой системе единиц кулоновский потенциал поля
точечного заряда e имеет вид U (r) = 4πre , причем заряд e связан с обычным определением заряда e0 соотношением e2 = 4πe20 . Решение исходного уравнения Клейна – Гордона с источником легко
79
находится с помощью разложения в 3-мерный интеграл Фурье:
ϕ(r) = |
|
d3k |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(k)eıkr. |
|
|
|
|
|
|
(2π)3 |
|
|
|
|
||
Подставляя это разложение в исходное уравнение, найдем (с |
|||||||
учетом фурье-представления δ-функции δ(3)(r) = |
|
d3k |
eıkr) |
||||
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
(2π) |
||
|
|
|
|
g |
|||
фурье-образ решения исходного уравнения: ϕ(k) = |
k2+m2 |
. Под- |
|||||
ставляя ϕ(k) |
обратно в интеграл Фурье для ϕ(r) и имея в ви- |
ду, что в сферических координатах d3k = k2dkd(cos θ)dφ (здесь k ≡ |k|), получим:
|
g |
|
eıkr cos θk2dk |
|
|
|||
ϕ(r) = |
|
|
|
|
d(cos θ)dφ. |
|||
(2π)3 |
k2 + m2 |
|||||||
После интегрирования по угловым переменным в пределах |
||||||||
0 ≤ φ ≤ 2π и 0 ≤ θ ≤ π находим: |
|
|
||||||
ϕ( ) = |
g |
∞ kdk |
(eıkr − e−ıkr) |
. |
||||
|
|
|
|
|||||
r |
(2π)2 ır |
0 |
|
k2 + m2 |
Интегрирование по k можно провести от −∞ до ∞, если во втором слагаемом подынтегральной функции выполнить замену переменной k → −k:
|
g |
∞ |
eıkrkdk |
|
g |
" |
eıkrkdk |
|
ϕ(r) = |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
(2π)2 ır |
k2 + m2 |
(2π)2ır |
k2 + m2 |
|||||
|
|
−∞ |
|
|
|
C |
|
|
Этот интеграл вычисляется с помощью теоремы о вычетах. От интегрирования вдоль вещественной оси k можно перейти к интегрированию по замкнутому контуру в комплексной плоскости k, состоящему из вещественной оси и полуокружности CR в верхней полуплоскости. При стремлении радиуса полуокружности CR к ∞ вклад от интеграла по CR стремится к 0. Поэтому, вычисляя вычет в полюсе k = ım, находим:
g e−mr . 4πr
80