Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010
.pdf16. Возведем в квадрат соотношение, следующее из закона сохранения 4-импульса процесса: p1 + k1 − k2 = p2 (p1, p2 – 4- импульсы начального и рассеянного нуклонов; k1, k2 – то же для пионов). Раскрывая получившиеся инварианты в л-системе, находим для cos θπ выражение (θπ – угол вылета вторичного пиона):
cos θπ = E1E2 + M (E2 − E1) − m2 .
|k1||k2|
Здесь E2, |k2| = E22 − m2 – энергия и импульс рассеянного пиона, |k1| = E12 − m2 – импульс падающего пиона. Из соотношения (p1 −p2 + k1)2 = k22 получим для косинуса угла вылета вторичного нуклона:
cos θN = M E2N − M E1 + E2N E1 − M 2 ,
|p2||k1|
где E2N , p2 = E22N − M 2 энергия и импульс вторичного нуклона.
17. В ц-системе углы вылета нейтрино θ10 и антинейтрино θ20 связаны соотношением θ20 = π −θ10. Связи между углами вылета в л-системе и ц-системе определяются преобразованиями Лорен-
ца: |
|
|
|
|
cos θ1,2 = |
|
cos θ10,20 + v |
||
|
1 + v cos θ10,20 |
|
||
или |
|
|
|
|
cos θ10,20 |
= |
cos θ1,2 − v |
. |
|
|
|
|
1 − v cos θ1,2 |
В ц-системе (системе покоя Z0 ) распределение по углам вылета нейтрино (антинейтрино) изотропно, т.е.:
dN1,2 = dΩ10,20 = 1 d(cos θ10,20).
4π 2
61
Используя преобразования Лоренца, найдем распределение по углам вылета для нейтрино (антинейтрино) в л-системе:
dN = |
(1 − v2)dΩ1,2 |
, |
|
4π(1 − v cos θ1,2)2 |
|||
|
|
где dΩ1,2 = 2πd(cos θ1,2). Угол разлета между нейтрино и антинейтрино в л-системе α = θ1 + θ2, cos α = cos θ1 cos θ2 −sin θ1 sin θ2. Подставляя в последнее равенство связь между углами в ц- и
л-системах, получим:
cos α = 2v2 − 1 − v2 cos2 θ10 . 1 − v2 cos2 θ10
Откуда |
следует, |
|
|
|
|
|
|
cos θ |
|
= |
1 |
( |
1−2v2 |
) ctg2 α . |
||||||||
Значит: |
|
|
|
|
|
|
|
что |
|
|
|
|
10 |
|
± − |
|
v |
2 |
||||
dN = |
|
(1 − v2) dΩ |
|
|
= |
|
|
(1 − v2) dΩ |
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8πv sin |
3 |
2 |
v |
2 |
− cos |
2 |
2 |
|
8πv sin3 α2 |
sin2 α2 |
− MEZ2 |
|
|||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
Угол α ограничен условием sin |
α > |
MZ |
и изменяется в пре- |
|||||||||||||||||||
делах 2 arcsin |
E |
|
< α < π, dΩ |
= |
2 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2πd(cos α). Скорость v дви- |
|||||||||||||||||||||
|
|
MZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жения л-системы относительно ц-системы дается соотношением:
v = p/E = |
1 − MZ2 /E2. |
|
18. |
Согласно формуле распределения событий по углу разлета |
|
|
|
частиц в л-системе, полученной в задаче 17, распределение со-
бытий по углу разлета γ-квантов концентрируется вблизи минимального угла разлета αmin = 2 arcsin mE , где E, m – полная энер-
гия и масса распадающейся частицы. Так как mπ0 = 135 МэВ, а mη = 549 МэВ, то способ идентификации распадов π0 → 2γ и η → 2γ очевиден: эффективные углы разлета квантов от распадов π0 существенно меньше, чем от распадов η, при условии, что энергия π0 и η одна и та же и заметно отличается от массы покоя каждой частицы.
19. В системе отсчета, где распадающийся тяжелый мезон покоится, энергия каждого из пионов Eπ = M/2, а импульс
62
pπ = Eπ 2 − m2. В ц-системе электрон-позитронной пары ско-
рость v каждого из тяжелых мезонов составляет v = 1 − M 2/E2 . Из формулы преобразования Лоренца следует, что энергия пиона в ц-системе реакции e+e−-аннигиляции равна:
E + vp cos θ
Eπ = π √ π ,
1 − v2
где угол вылета пиона в системе покоя тяжелого мезона θ меняется в пределах 0 ≤ θ ≤ π. Следовательно:
Eπmax,min = √π1± v2 |
= 2 E 1 ± |
1 − |
M 2 |
|
1 − |
E2 |
|
. |
||||
|
E vpπ |
1 |
|
|
4m2 |
|
|
M 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−
20. Обозначим массы нейтрона и Λ+c -гиперона m и M . При расчете массой мюона можно пренебречь, так как M mµ. Пусть 4-импульсы нейтрино, нейтрона, мюона и очарованного бариона есть q, p1, k и p2. Запишем закон сохранения 4-импульса процесса
ввиде (q + p1 − p2) = k. Возводя обе стороны этого соотношения
вквадрат с учетом того, что в л-системе нейтрон покоится, получим для cos θ ( θ – угол вылета Λ+c в л-системе относительно направления движения первичного нейтрино) выражение:
cos θ = |
1 |
(2Eν E + 2mE − 2mEν − m2 − M 2), |
2Eν √E2 − M 2 |
где Eν и E – энергии нейтрино и очарованного бариона в л-системе. Эта формула определяет зависимость cos θ от энергии Λ+c . Дифференцируя полученное выражение по E, найдем, что экстремальное значение cos θ соответствует энергии E, равной:
2M 2
Em = 2mEν + m2 + M 2 (Eν + m).
Тогда из формулы для cos θ вытекает, что
cos θm = |
1 |
(M 2 − m2)(4Eν2 |
+ 2mEν − M 2 + m2). |
2M Eν |
63
Легко проверить, что полученное выше выражение при любых допустимых значениях Eν не превышает 1. Следовательно, θm – максимальный угол вылета Λ+c в л-системе. Более удобным
является соотношение для угла вылета Λ+: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin θ |
|
= |
m |
|
1 |
− |
(M 2 − m2)(s − M 2) |
, |
||
m |
M |
(s − m2)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
где s = m2 + 2mEν . При s → ∞ sin θm → m/M .
21. В системе покоя W -бозона поперечный импульс распадного лептона (пренебрегая его массой) составляет:
k = mW sin ϑ ,
2
где ϑ – угол вылета лептона в этой системе относительно вектора скорости W в л-системе. При переходе к л-системе составляющая импульса, перпендикулярная к направлению скорости v W -бозона, в соответствии с преобразованиями Лоренца не преобразуется. Поэтому можно сразу в формуле для изотропного рас-
пределения лептонов в ц-системе dN = 1 d(cos ϑ ) перейти к пере- |
|||||
|
|
|
2 |
||
менной k . Из соотношения для k : |
|||||
|
± |
|
|
|
|
|
− mW2 |
||||
cos ϑ = |
1 |
4k2 |
|||
|
. |
Таким образом, получим:
|
1 |
|
d(cos ϑ ) |
|
|
|
|
4k dk |
|
|||||
dN = |
2 |
|
dk |
|
dk |
|
= |
. |
||||||
|
|
4k2 |
|
|||||||||||
|
|
|
m2 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
− mW |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выводе учтено, что связь между cosϑ и k двузначна, что приводит к дополнительному множителю 2. Полученная выше формула представляет значительный интерес, поскольку содержит прямое указание на возможность измерения массы W -бозона при наблюдении лептонов, образующихся в процессе W → l + νl.
64
При k ≈ mW /2 должен наблюдаться максимальный выход лептонов. Регистрируя поперечный импульс таких лептонов, можно сделать заключение о массе W -бозона. Отметим, что этот эффект носит чисто кинематический характер и никак не связан с динамикой образования и распада W -бозона.
22. а) Доказательство проводится на основе закона сохранения
4-импульса в процессе столкновения.
б) Начальная энергия E0 сталкивающихся электронов в ц-
системе |
определяется |
переменной s = (p1 + p2)2 = 4E2, где |
||||||
|
√ |
|
|
|
|
0 |
||
E0 = |
s |
. Физическая область изменения переменной s ограни- |
||||||
|
|
|||||||
2 |
|
4m2. Импульс электрона в ц-системе p0 |
||||||
чена неравенством s ≥ |
||||||||
также определяется переменной s: p0 = |
|
s/4 − m2 |
. Угол рассея- |
|||||
ния в ц-системе определяется |
переменной t: |
|||||||
|
|
|
|
θ
t = (p1 − p3)2 = −2p20(1 − cos θ) = −4p20 sin2 2 .
Физическая область изменения переменной t при заданном значении s: −s + 4m2 ≤ t ≤ 0. Переменная t определяет передаваемый
при рассеянии квадрат 4-импульса. Переменная u также выражается через p0 и угол рассеяния: u = (p1 − p4)2 = −4p20 cos2 θ/2 и,
как и t, определяет переданный 4-импульс одному из вторичных электронов.
2.Фазовый объем
23.Обозначим 4-импульсы распадающейся и вторичных ча-
стиц через pA, p1 и p2, а их массы – mA, m1 и m2. Элемент фазового объема вторичных частиц имеет вид:
dF2 = d3p1d3p2 δ(4) (pA − p1 − p2). E1E2
Проведем все интегрирования в системе покоя частицы A
65
(p2 = −p1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
d3p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d p2δ |
|
|
|
(p1 + p2) = |
|
|
|
|||||||||||||
dF2 = E1E2 δ(mA − E1 − E2) |
(3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d3p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
δ(mA − E1 − E2), |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E E |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где E2 = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
E12 − m12 + m22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dF2 |
|
|
|
|
|
p dE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
1 |
δ(mA − E1 − E2) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dΩ1 |
|
E2 |
|
|
|
E2 |
d(E1+E2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dE1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
p |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(m1 + |
m |
)2 |
|
|
|
|
|
|
m |
)2 |
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
1 |
− |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
− |
(m1 − |
2 |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
E1 |
+ E2 |
|
|
mA |
|
2 |
|
|
|
|
mA |
|
|
|
|
|
|
|
|
mA |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
| 1| |
определяется из закона |
||||||||||||||||||
Величина модуля 3-импульса p |
= p |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сохранения энергии mA = |
|
|
|
p 2 |
+ m12 + |
|
|
|
p 2 + m22 |
. При инте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
грировании |
использованы |
|
|
|
формулы: |
|
|
|
|
d3p |
= p 2dp dΩ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
= p1E1dE1dΩ1. Интегрирование по E1 проведено с помощью δ- функции. Таким образом, угловое распределение продуктов распада согласно модели фазового объема в системе покоя частицы A оказывается изотропным. Этот результат справедлив в общем случае, если все частицы бесспиновые или неполяризованные.
24. Энергия вторичной частицы E1 в л-системе распада A → 1 + 2 связана с углом ее вылета в системе покоя частицы A формулой преобразования Лоренца:
E1 = E1 + p1vA cos θ1 ,
1 − vA2
где vA – скорость частицы A; E1, p1, θ1 – энергия, импульс и угол вылета частицы 1. Согласно решению задачи 23, угловое распределение вторичных частиц в системе покоя частицы A изотропно:
1 = 4π .
66
dW dE1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1min |
E1max |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
|
|
|||||
Это распределение отнормировано на единицу. Совершая в |
||||||||||||||||||||||
нем |
замену |
переменной |
в соответствии с формулой для E1 |
|||||||||||||||||||
cos θ1 |
|
→ E1, находим: d(cos θ1) = |
1 − vA2 |
/(p1vA)dE1. Тогда энер- |
||||||||||||||||||
гетический спектр в л-системе приобретает вид: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dw |
= |
|
1 − vA2 |
mA |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dE1 |
2p1vA |
2p1pA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где p = (1/2mA) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; pA – |
|||||||||||
|
|
[mA2 |
− |
(m1 |
+ m2)2][mA2 |
− |
(m1 |
− |
m2)2] |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
импульс частицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
. Полученный в л-системе спектр носит посто- |
янный характер, так как правая часть равенства не зависит от E1. Согласно формуле преобразования Лоренца для E1 энергия E1 меняется в пределах:
|
= |
E |
EA |
− |
p |
pA |
|
|
|
E |
EA + p |
pA |
= E |
|
|
E |
1 |
|
1 |
|
≤ |
E |
≤ |
1 |
|
1 |
|
, |
|||
|
mA |
|
|
|
mA |
|
|
||||||||
1min |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1max |
|
|||||
которые |
отвечают |
значениям |
θ1 = 0 |
и |
θ1 = π. |
Здесь |
EA = mA/ 1 − vA2, pA = mAvA/ 1 − vA2.
Поэтому спектр имеет вид, представленный на рис. 4. При pA → 0 спектр сужается, а его амплитуда стремится к бесконечности. Это отвечает фиксированной энергии частицы 1 в системе покоя A. С ростом pA спектр расширяется, а его амплитуда падает. Ступенчатый характер энергетического спектра вторичных
67
частиц – признак двухчастичного распада нестабильных частиц
Aс фиксированным 3-импульсом pA.
25.F2 = 2π(1 − µ2/m2), где m и µ – массы пиона и мюона.
26.F2 = 2π 1 − 4m2/M 2, где M и m – массы каона и пиона.
27.
dF2 |
|
|
4π |
E12 − mπ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
δ(mΛ |
− |
E1 |
− |
E12 |
− |
mπ 2 |
+ mp2), |
||||||
dE1 |
|
|||||||||||||||
E12 + mp2 − mπ 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
то есть спектр содержит одну линию:
E1 = mΛ2 + mπ 2 − mp2 .
2mΛ
28. Проведем расчет в системе покоя распадающегося мюона. Пренебрежение массой электрона оправдано, так как энерговыделение в распаде ∆E ≈105 МэВ, и электрон рождается преимущественно ультрарелятивистским. Вероятность распада вычисляется согласно формуле:
dw = |
8 |
|
G2µ4 |
|
d3p1d3p2d3p3 |
δ(4)(p1 + p2 + p3 − p). |
3 |
|
(2π)524µ |
|
E1E2E3 |
Здесь p1, p2, p3, E1, E2, E3 – 4-импульсы и энергии электрона, нейтрино и антинейтрино соответственно. Вычислим сначала интеграл по фазовому объему нейтрино и антинейтрино:
F2 = |
d3p2d3p3 |
δ(4)(p2 + p3 − q), q = p − p1. |
E2E3 |
3
Этот интеграл безразмерный. Так как dEp и δ(4)(p) являются релятивистскими инвариантами, то можно вычислить этот интеграл в ц-системе нейтрино и антинейтрино (p2 + p3 = 0):
|
d3p |
δ(E2 +E3 −q0) |
d p3 |
δ |
(3) |
(p2 |
+p3) = 4π dE2δ(2E2 −q0) = 2π. |
E2E3 |
|||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
68
Здесь q0 – энергетическая компонента 4-импульса q. Тогда для дифференциальной вероятности распада находим:
dw = |
8 |
|
G2µ4 |
|
d3p1 |
. |
3 |
|
|
||||
|
|
(2π)424µ E1 |
Проинтегрируем это выражение по переменным, связанным с электроном:
|
d3p |
µ/2 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|||
1 |
= 4π |
dE1E1 = |
|
πµ2. |
||
E1 |
2 |
(Пределы интегрирования по E1 обсуждались в задаче 3.) Окончательно для полной вероятности распада в единицу вре-
мени получим:
w = G2µ5 .
192π3
Временем жизни τ называется величина, обратная полной ве-
роятности распада в единицу времени в системе покоя нестабильной частицы: τ = w−1 = 192π3 1010(mp/µ)5( /mpc2), откуда
τ ≈ 2, 2 · 10−6 с. 29.
dw G2µ3 dE1 = 24π3 E1,
где 0 ≤ E1 ≤ µ/2.
30.Задача решается аналогично задаче 28. Массой электрона при расчете можно пренебречь, так как энерговыделение в про-
цессе составляет mπ − me ≈139 МэВ и велико по сравнению с массой электрона: F3 = π2m2π .
31.Задача сводится к вычислению фазового объема трех частиц с одинаковой массой:
dF3 = |
d3p1d3p2d3p3 |
δ(4)(p − p1 − p2 − p3), |
E1E2E3 |
69
где p – 4-импульс каона, а p1, p2, p3 – 4-импульсы пионов. Вычислим
F2 = |
d3p2d3p3 |
δ(4)(q − p2 − p3), |
E2E3 |
где q = p − p1.
Интегрирование проведем в ц-системе пионов 2 и 3:
F2 = |
|
|
2 E3 |
|
|
δ( q2 −2E2) = 4π 2E2 = 2πv2 = 2π |
1 − q2π |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p dE2dΩ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
4m2 |
|
|||||||||
как p |
|
= |
|
p и m2 = m3 = mπ ; E2 |
= √q2 |
, p2 |
|
|
|
|
|
mπ 2. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
q2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь учтено, что в указанной системе q0 |
= |
|
|
q2, E3 = E2, так |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
покоя каона: |
||||||||||||
Дальнейшие вычисления проведем в системе |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
dF3 |
= F2p1dE1 dΩ1 = 8π2p1 |
|
|
|
|
|
|
dE1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 − |
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4mπ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, что q2 = (p − p1)2 = mK 2 + mπ |
2 − 2mK E1, находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8π2 |
|
|
|
|
|
|
mK2 − 3mπ2 − |
2mK E1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dF3 |
= |
|
|
E12 − mπ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
dE1 |
|
mK2 + mπ2 − 2mK E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Так |
|
|
как |
|
энерговыделение |
|
|
в |
|
|
распаде |
|
составляет |
∆E = mK − 3mπ ≈ 74 МэВ и примерно вдвое меньше, чем масса покоя пиона, то пионы можно считать нерелятивистскими. Тогда формула для энергетического распределения упрощается – следует положить E1 = mπ + T1 и считать T1 mπ :
|
= |
8π2√ |
|
|
|
. |
dF3 |
2mπ T1 |
|
(mK − mπ )2 − 4mπ 2 − 2mK T1 |
|||
dT1 |
|
|
|
|||
|
|
|
(mK − mπ ) |
Нормированное на единицу энергетическое распределение пионов записывается в виде:
dw = 8 T1(T1max − T1) , dT1 π(T1max)2
70