Нечаев Моделирование процессов ядерной технологии 2007

	потоки	Qвнутр	Qвнешн
	Тепловые	Qистин
			ТN
	Tсреды		(истинная)	Тпечи
		Температура кожуха (итерационная)

Рис. 3.3.1. Зависимость тепловых потоков в стенке печи и в окружающей среде от температуры кожуха

Из рис.3.3.1 видно, что при произвольном значении температуры ТN один поток (внутренний или внешний) будет завышен, а другой занижен по сравнению с истинным значением. Следовательно, их полусумма будет всегда ближе к искомой величине. Основываясь на этом факте, можно предложить следующий алгоритм решения нашей системы уравнений, близкий по смыслу к широко известному методу половинного деления.

0.Задаемся некоторыми значениями (нулевым приближением) для Тi(0), в том числе и для ТN(0).

1.Выполняем пункты 1 - 4 из алгоритма для решения первой краевой задачи, описанного выше, где определяем величину пото-

ка Qвнутр в стенке печи (и, естественно, новые, улучшенные значения температур внутри стенки).

2.Вычисляем по формуле (3.3.3) величину потока Qвнешн во внешнюю среду.

3.Если mod((Qвнутр – Qвнешн)/Qвнутр) < eps ( eps около 2 %),

то команда «Конец счета» (нашли решение третьей краевой задачи);

иначе выполнить команду «Значение потока взять посередине двух рассчитанных величин»:

Qвнутр = (Qвнутр – Qвнешн)/2.

41

4. Из (3.3.1) вычисляем следующее итерационное значение температуры стенки TN(m):

TN = Qвнутр/(α·FN ) + Tсреды.

5. Идем в начало цикла, т.е. к пункту 1 данного алгоритма.

Пример программы расчета на языке "Паскаль

Program Тeplo_1;				uses CRT;
N		Var	: byte;	{ число слоев}
a, b, h, R			: array [1..10] of extended;
F, T			: array [1..11] of extended;
Q,	Qn,	A0,	Eps, Tfurn, Ts, Lambd, Fs, Rs,
C,	C1,	A1	: extended;
i, k, x, y			: byte;
BEGIN		Clrscr;

WRITELN (' ВВОД данных для расчета многослойной теплоизоляции ');

write(' УКАЖИТЕ требуемую температуру печи Т [Цельсий] = '); readln(Tfurn);

write(' УКАЖИТЕ площадь поверхности стенки печи F, кв.м : '); readln(F[1]);

write (' УКАЖИТЕ число теплоизолирующих слоев N = '); readln(N);

for i:=1 to N do begin

writeln (' УКАЖИТЕ характеристики слоя N ',i:1,': ');

write	('	Его толщину, Метров : '); readln(h[i]);
writeln ('		Коэффициенты уравнения a + b*T температурной');
writeln ('		зависимости Теплопровoдности, Вт/м/К ');
write	('	a = '); x:=wherex; y:=wherey; read(a[i]);

gotoxy(x+5, y); write(' b*E3 = '); readln(b[i]); b[i]:=b[i]*1E-3; write (' Площадь его внешней поверхности F, кв.м : ');

readln(F[i+1]);

end;

write (' УКАЖИТЕ параметр А внешней стенки : '); read(Alf); write (' Степень ее черноты, eps : '); readln(Eps);

textbackground(7); Clrscr; textcolor(2);

writeln (' Исходные данные для расчета : '); textcolor(0); writeln (' Печь с температурой ',T[1] :5:0,' град. Цельсия,'); writeln (' площадью стенки ',F[1]:4:2 ,' кв.м');

writeln (' теплоизолирована ',N:2,' слоями'); writeln (' с характеристиками : ');

42

for i:=1 to N do begin

T[i+1]:=T[1]/2;

write ('	F[',i:1,'] =',F[i+1]:5:2,' h =',h[i]:4:2);
writeln('	a =',a[i]:5:3,' b =',b[i]*1.E3:5:3);
end;

write (' Степень черноты Eps =',Eps:4:2,' Параметр А =',A0:5:2); x := wherex+3; writeln;

write (' ВВЕДИТЕ Температуру окружающей среды : ');

y := wherey;
readln(Ts);
gotoXY(1,y); Clreol; textcolor(2);
gotoXY(x,y-1);
writeln ('Т среды = ',Ts:4:0,';');
textcolor(11);
writeln(' Итерации :');
textcolor(1);
k := 0; { Нулевое приближение }
Q := 100.0;	Qn := 1000.0;	T[n+1] := Ts+50.;

C := (Ts+273.0)*(Ts+273.0); C := C*C;

WHILE abs(Q-Qn) > 1 do

Begin {Начало итераций для решения III краевой задачи } k:=k+1;

{Начало блока расчета потока и температур внутри стенок печи

–решения первой краевой задачи}

Rs:=0;

FOR i:=2 to N+1 do begin

Lambd := a[i-1] + b[i-1]*(T[i-1]+T[i])/2;

Fs	:= (F[i-1]+F[i])/2;
R[i]	:= h[i-1]/Fs/Lambd; { теплов. сопротивл. i-того слоя }
Rs	:= Rs + R[i];

end;

{ Вычисляем значение потока в стенке: }

Q := (T[1] – T[N+1])/Rs; textcolor(11); write(k:2); textcolor(1); { Блок расчета новых значений температур }

FOR i := 2 to N+1 do begin

T[i] := T[i-1] – Q*R[i]; write(' T',i-1:1,'=',t[i]:6:2); end;

{Конец блока расчета потока и температур внутри стенок печи

–решения первой краевой задачи}

43

{ Блок расчета потока в окружающую среду с кожуха } C1 := sqr(sqr(T[N+1]+273));

A1 := A0*sqrt(sqrt(T[N+1]-Ts));

A1 := A1+ 5.67E-8*eps*(C1 – C )/( T[N+1] -Ts );

Qn := A1*(T[N+1]-Ts)*F[N+1];
writeln('	Qвнутр= ', Q :6:2,' Qнар= ', Qn :6:2);
{ Итерация половинным делением }
Q := (Q+Qn)/2;
T[N+1] := Q/A1/F[N+1] + Ts;
y := wherey;		{ textcolour:= 3;}
gotoxy(1,y);		{ textcolour(0); }
End; { Конец итераций для III краевой задачи }
textcolor(14);		writeln( ' Решение : ');	textcolor(0);
writeln('	Tпечи = ',T[1]:6:0,' Град Цлс');
for i := 2 to N do
writeln('	T',i-1:1,'	= ',T[i]:6:0,' Град Цлс');
writeln('	Tстенки = ',T[N+1]:6:0,' Град Цлс,		Q = ',q:6:0, ' Ватт');
write ('	Нажмите любую клавишу для завершения работы');
readkey;		END. { всей задачи }

Контрольныевопросы

1.Опишите принципиальную схему устройства нагревательной

печи.

2.Что такое теплопроводность?

3.Что такое теплоизоляторы? Приведите примеры.

4.Дайте определение стационарного состояния.

5.Дайте определение математической модели. Структура математической модели.

6.Напишите закон Фурье.

7.Сформулируйте смысл граничного условия 1-го рода.

8.Дайте определение метода простых итераций.

9.Опишите алгоритм решения первой краевой задачи.

10.Раскройте определение граничного условия 3-го рода. 11.Дайте обоснование граничного условия Ньютона. 12.Поясните, в чем разница граничных условий при охлаждении

водой и воздухом.

13.Покажите сущность метода половинного деления.

14.Опишите общий алгоритм решения третьей краевой задачи.

44

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В ВАКУУМНЫХ УСТАНОВКАХ

4.1. Основныезаконытеплообменаизлучением

Закон Кирхгофа. Закон Ламберта. Точечный источник – закон квадратов расстояний. Закон Стефана. Предельный переход уравнения теплообмена по Стефану в условие Ньютона. Угловые коэффициенты. Правила: замыкаемости, взаимности, невогнутости.

Закон Кирхгофа устанавливает связь между излучательной и поглощательной способностями серых тел. Для его обоснования поставим мысленный эксперимент. Представим две бесконечно большие плоскопараллельные пластины, температуры которых одинаковы и не меняются во времени. Т.е., они находятся в стационарном состоянии теплового равновесия. Пусть одна из пластин является абсолютно черным телом, излучающим тепловой поток с плотностью qо = = σоT 4, а другая – серым телом с коэффициентом поглощения "А", и, следовательно, поглощающее поток с мощностью

qпогл = А. qо = A. σоT 4.

(4.1.1)

В свою очередь серое тело, естественно, излучает свой тепло-

вой поток с плотностью
qизл = ε . σоT 4 .	(4.1.2)

Поскольку мы рассматриваем стационарное состояние, количество получаемого и излучаемого тепла должно быть равно – ведь температура серого тела не меняется. Т.е., qпогл = qизл , и из (4.1.1), (4.1.2) сразу следует, что А = ε. Это и есть формулировка закона Кирхгофа: степень черноты серого тела тождественно равна его коэффициенту поглощения.

Из закона Кирхгофа сразу следует и другое правило: коэффици-

ент отражения серого тела R равен (1 – ε).

На практике принимается, что шероховатые поверхности (а таких на практике большинство) излучают тепло или рассеивают тепловое излучение в пределах полусферы во всех направлениях равноправно (закон Ламберта). Однако плотность излучения каждого элемента поверхности зависит от угла ϕ между нормалью к излучающему элементу dF и рассматриваемым направлением. Действительно, из рис. 4.1.1 ясно, что видимая площадь поверхности –

45

именно с которой мы принимаем излучение – изменяется в зависимости от угла зрения на нее по закону косинусов:

qϕ = qn. cos(ϕ).

Рис.4.1.1. Излучение поверхности по закону Ламберта а – двумерная картина; б – трехмерный вариант

Теплообмен излучением между твердыми телами

В электрических печах сопротивления излучение от нагревательных элементов служит основным механизмом нагрева полезного объекта, а также вспомогательной оснастки – стен, свода, пода, держателей и т.п. Для определения режима работы в замкнутом пространстве печи надо решать задачу теплообмена между разными поверхностями, находящимися в различных положениях относительно друг друга – под разными углами. В целях получения практических способов расчета излучаемой энергии, попадающей на ту или иную поверхность, вводится понятие углового коэффициента.

Рассмотрим процесс передачи теплоты в электрической печи сопротивления с арочным сводом, на котором смонтированы нагревательные элементы (рис.4.1.2).

Весь поток излучения свода Q распределяется между стенками Q1 и Q3 подом Q2 и сводом Q4, излучающим "сам на себя". Очевидно:

Q1 + Q3 + Q2 + Q4 = Q.

Поделим в последнем выражении левую и правую части на Q, и тогда получим:

Q1/Q + Q3/Q + Q2/Q + Q4/Q = 1, (4.1.3)

где Q1/Q, Q3/Q, Q2/Q, Q4/Q выражают доли излученной сводом энергии, попадающие на каждую из поверхностей. Эти величины называются угловыми коэффициентами и обозначаются ϕ41, ϕ43, ϕ42, ϕ44 соответственно. Таким образом, угловым коэффициентом

46

называется доля лучистой энергии, попадающая на рассматриваемую поверхность от другой поверхности.

Рис. 4.1.2. Схема излучения арочного свода

Переписав (4.1.3) с использованием введенных обозначений, получаем первое свойство угловых коэффициентов – правило за-

мыкаемости: ϕ41 + ϕ43 + ϕ42 + ϕ44 = 1,

N

или, в общем виде: ∑ ϕij =1 , j=1

т.е. сумма угловых коэффициентов излучения поверхности i на все N поверхностей в замкнутой системе равна 1. Это, вообще говоря, специфическая для теплообмена излучением форма записи закона сохранения энергии. Из этого же закона следует и другое правило для угловых коэффициентов – правило взаимности. Оно формулируется так: если две поверхности площадями F1 и F2 излучают друг на друга и имеют угловые коэффициенты соответствен-

но ϕ12 и ϕ21, то в стационарных условиях справедливо равенство:

F1. ϕ12 = F2. ϕ21 ,

где ϕ12 – угловой коэффициент излучения с поверхности 1 на поверхность 2; ϕ21 – угловой коэффициент излучения с поверхности 2 на поверхность 1.

Из закона косинусов легко получить правило невогнутости: плоские и выпуклые тела не излучают сами на себя (ϕ > π/2). Например, для системы двух плоскопараллельных пластин имеем:

для первой пластины:	ϕ11 + ϕ12	= 1;
для второй пластины:	ϕ21 + ϕ22	= 1;
Но, так как ϕ11 = ϕ22 = 0, то	ϕ12 = ϕ21 = 1.
	47

4.2. Лучистыйтеплообменприналичииэкранов

Экранная изоляция. Плоскопараллельные системы. Коаксиальные цилиндры. Приведенные коэффициенты. Физическая и математическая модели теплообмена при наличии экранов.

Экранная изоляция. Покажем теперь, что если основным механизмом теплообмена является излучение, весьма эффективным средством теплоизоляции являются теплоотражающие экраны. При очень высоких температурах и в вакууме этот способ является вообще практически единственным реальным способом уменьшения теплопотерь. Экраны часто изготавливаются из плотного графита или тонких листов молибдена, а также других металлов в зависимости от температуры внутри камеры и технологических требований к чистоте процесса. Тепловой поток, доходящий до внутренних стенок камеры, отводится от них с охлаждающей водой, пропускаемой внутри кожуха. Охлаждение водой вакуумных печей необходимо, чтобы вакуумные уплотнения оставались работоспособными.

Для простоты рассуждений примем, что степени черноты поверхностей и экрана равны между собой (ε1 = ε2 = ε3 = ε). При отсутствии экрана плотность теплового потока между двумя плоскопараллельными бесконечными поверхностями с температурами Т1 и

Т2 равна:

qо = ϕ12·ε·σ·T14 – ϕ21· ε·σ· T24 = ε·σ·(T14 – T24),

поскольку для плоских поверхностей ϕ12 = ϕ21 = 1.

Допустим теперь, что между нашими поверхностями помещена очень тонкая металлическая пластина – тепловой экран. Он приобретает некоторую температуру Тэ и изменяет величину плотности потока до значения q1. В стационарном состоянии, когда температура экрана становится постоянной во времени, плотности тепловых потоков с первой поверхности на экран и с экрана на вторую равны:

Q1 = ε·σ·(T14	– Tэ4) = ε·σ·(Tэ4 – T24).	(4.2.1)
Откуда имеем : 2Tэ4	= T14 + T24, или
Q1 = ε·σ·(T14 – 0.5·(T14 + T24) = 0.5·ε·σ·(T14 – T24).		(4.2.2)
	48

T.e. один экран вдвое уменьшил поток энергии. Проведя аналогичные расчеты для случая n экранов, получим, что тепловые потери снизятся в n+1 раз. Если сделать экраны из более светлого вещества (εэ < εпов), то уменьшение потока с горячей поверхности, т.е. снижение величины потерь, будет еще значительней.

Для плоскопараллельных пластин положение экрана между ними не вошло в конечное выражение для теплового потока и, следовательно, не влияет на величину снижения тепловых потерь. Объясняется это тем, что угловые коэффициенты здесь не зависят от координаты, ибо тождественно равны единице. В общем случае эффективность экрана зависит от положения экрана в пространстве

иплощади его поверхности.

Вкачестве примера рассмотрим очень часто встречающуюся на практике систему из двух концентрических (коаксиальных) цилиндров большой длины.

Для пространства между цилиндрами запишем правило замыкаемости для обеих поверхностей:

ϕ11	+ ϕ12	= 1;	(4.2.3)
ϕ21	+ ϕ22	= 1.	(4.2.4)

Но из правила невогнутости ϕ11 = 0 – выпуклая поверхность не

излучает сама на себя. Тогда имеем:
ϕ12 = 1,	(4.2.5)

т.е. все излучение с внутренней поверхности уходит на внешнюю. По правилу взаимности F1. ϕ12 = F2. ϕ21, и, подставляя сюда (4.2.5), получаем для доли излучения внешнего цилиндра, попа-

дающей на внутренний:

ϕ21 = F1/F2	(4.2.6)
или, для коаксиальных цилиндров:
ϕ21 = D1/D2 ,	(4.2.7)
где D – диаметры цилиндров.

Наконец, из (4.2.4) и (4.2.7) имеем для излучения внутренней

поверхности самой на себя:
ϕ22 = 1 – D1/D2 .	(4.2.8)

Рассмотрим теперь систему из коаксиальных цилиндров, выполненных из разных материалов, т.е. имеющих разные степени черноты. Для них тепловой поток с одной поверхности i на другую j, при произвольных степенях черноты, рассчитывается по при-

49

кладной формуле:
Qij = 5.67. εпр. Fi. [(0.01. Ti)4	– (0.01. Тj)4]	[Вт],
Qji = 5.67. εпр. Fj. [(0.01. Tj)4	– (0.01. Тi)4]	[Вт],

где εпр – приведенная степень черноты, зависящая от степени черноты материалов εi и εj и взаимных угловых коэффициентов луче-

испускания ϕij и ϕji : εпр =				1					.
	(1/ ε	i	−1)ϕ	+(1/ ε	j	−1)ϕ	ji	+1
			ij

Если обменивающиеся теплом поверхности плоскопараллельны и бесконечны, то все излучение с каждой поверхности полностью

попадает на другую, и ϕij = (ϕ12)= ϕji = (ϕ21)= 1.
Если цилиндр i находится внутри цилиндра	j, то ϕij = 1,
ϕji = Di/Dj,. Для двух цилиндров, следовательно,	выражение для
расчета приведенной степени черноты имеет вид:

	εпр =				1				.
			1		1		D
	(			−1) +(		−1)	i	+1
			εi		ε j		D j

Тепловой поток от внешней поверхности нагревателя высотой Н и диаметром Dн к внутренней стенке рабочей камеры диаметром Dс, температура которой Тс (при ее охлаждении водой может быть принята равной 320–340 К), в отсутствие экранов рассчитывается по следующей формуле: Qнс = Снс. [(0.01. Tн)4 – (0.01. Тс)4],

где

Снс =

5.67 πDнH

.

1

(

−1) + (

1

−1)

Dн

+1

ε

ε

н

с

D

c

Поместим теперь между стенкой и нагревателем систему из N цилиндрических экранов, имеющих одинаковую с нагревателем высоту Н. Теплопередача в теле каждого экрана осуществляется теплопроводностью. Изготавливают экраны в большинстве случаев малой толщины и из материалов с высокой теплопроводностью. Это позволяет при расчетах считать экраны математическими поверхностями и принимать температуры внешней и внутренней поверхностей экранов равными. При этом число объектов, обменивающихся теплом, в нагревательной системе станет равным N+2. В стационарных условиях работы установки температуры нагревате-

50