Нечаев Моделирование процессов ядерной технологии 2007

Следовательно, при рассмотрении нагрева массивного тела, об-

щее решение записывается в виде некоторой функции:
T = f(τ,x,a,α).	(5.3.1)

Поскольку функция f – неэлементарна, расчет ее следует проводить с использованием вычислительной техники или некоторых специальных приемов.

Прежде чем перейти к практическим приемам счета, рассмотрим физическую картину нагрева массивного тела, чтобы понять смысл получаемых в конце счета результатов.

В каждый момент времени на поверхность поступает (и тело

принимает) извне следующее количество тепла:
α·(T∞ – Tпов ).	(5.3.2)

В этот же момент в глубину тела уходит меньшее количество тепла:

λ·дТ/ дх.

(5.3.3)

За счет разности в потоках тепла в глубь тела и на поверхность температура последней непрерывно возрастает. Одновременно, конечно, растет поток и внутрь тела, увеличивается температура и внутренних участков, но несколько отстающими темпами. При бесконечном времени температуры печи, поверхности тела и его центра, естественно, сравниваются.

На практике за многие десятилетия сложились определенные приемы счета без вычислительной техники. Для этого используют метод безразмерных переменных и предварительно рассчитанные номограммы. Смысл безразмерных переменных в том, что для совершенно различных тел и процессов, если они будут описываться одними и теми же значениями безразмерных переменных, исследуемые явления будут подобными.

Вуравнении(5.3.1) всевеличиныимеютразмерность. Однакоодну безразмерную величину, в которую входят коэффициенты теплоотдачи и теплопроводности, и которую можно использовать для расчета, мы уже получили – это критерий Био Bi. Вторую безразмерную ха-

рактеристику – безразмерное время, или критерий Фурье Fo, получим из самого дифференциального уравнения нестационарной диффузии.

Смысл процесса получения критерия Bi сводится к замене дифференциалов в уравнении на сами переменные. Формально это выглядит как простое вычеркивание знаков дифференциалов. Такой прием носит название метода Гухмана. Таким образом, убирая знаки дифференциала из уравнения (5.1.10), получаем соотношение:

T/τ = a·T/L2 ,

(5.3.4)

откуда получаем критерий Фурье Fo :

61

Fo = τ ·a/L2,

(5.3.5)

в который вошел также и коэффициент температуропроводности а. Следующая безразмерная величина, а именно безразмерная ко-

ордината, естественным образом получается из отношения реальной координаты x к характерному размеру системы L ( например, толщине пластины). Смысл безразмерного времени и координаты в том, что для нестационарных процессов нагревов разных тел в одно и то же безразмерное время в одной и той же безразмерной ко-

ординате будет одна	и	та	же безразмерная	температура
θ, определяемая также по очевидному соотношению:
θ =	T∞ −T		= f(Fo, Bi, x/L),	(5.3.6)
	T	−T
	∞	o

в котором через Т∞ обозначена температура окружающей тело среды (стенок печи), а То есть начальная температура тел.

Для практических расчетов без средств вычислительной техники используют номограммы, в которых графически отражена функциональная зависимость безразмерной температуры θ от безразмерного времени Fo для различных значений критериев Био. Обсуждаемые функции различны для центра и поверхности тела. Отличаются они и для различных форм тела, например плоского и цилиндрического. В качестве характерного размера для плоских тел берут обычно половину его толщины (обычно нагрев бывает двусторонним). Для цилиндрических тел за характерный размер всегда выбирают его радиус. Т.е. имеем Bi = αR/λ. Номограммы для поверхности и центра цилиндрических тел, как примеры, приведены на рис. 5.3.1 и 5.3.2. Как видим, они обладают существенными различиями в численных значениях.

На практике обычно встречаются два типа задач.

В первом из них требуется определить время нагрева тела до заданной температуры Ткон; обычно за такое время выбирается время нагрева центра тела. Алгоритм расчета следующий.

♦Рассчитываем критерий Био для тела: Bi = α·L/λ и определяем соответствующую прямую на номограмме для центра тела.

♦Из Ткон рассчитываем требуемую безразмерную температуру:

θ = (T∞ –Tкон )/(T∞ – To)

(5.3.7)

♦Откладывая ординату θ на номограмме и проводя прямую до пересечения с линией номограммы для данного значения критерия Био, получаем абсциссу – значение безразмерного времени Fo.

♦ По формуле τ = Fo·L2/a рассчитываем обычноевремявсекундах.

62

Рис. 5.3.1. Номограмма соотношений безразмерных величин для поверхности цилиндра

63

Рис. 5.3.2. Номограмма соотношений безразмерных величин для центра цилиндра

64

Второй часто встречающейся задачей является определение временных количественных зависимостей нагрева тела на поверхности и в его середине. Здесь алгоритм расчета такой.

♦Рассчитываем критерий Био для тела: Bi = α . L/λ и определяем соответствующие прямые на номограммах для поверхности и центра тела.

♦Задаем набор значений естественного времени процесса τ, сек.

♦Вычисляем соответствующий набор безразмерных времен для поверхности и центра тела: Fo = τ .a/x2, которые задают абсциссы на номограмме.

♦По пересечению перпендикуляра к оси абсцисс с прямой, соответствующей значению критерия Био, находим ординаты – значения безразмерных температур θ для поверхности и центра тела.

♦Вычисляем обычные температуры по формуле: Т = T∞–θ. (T∞–Tо) для поверхности Тпов и центра тела Тц.

♦Строим графики временной зависимости температур для поверхности Тпов и центра тела Тц.

Пример. Слитки меди и никеля толщиной 300 мм нагреваются от начальной температуры 20 до 500°С. Температура в печи 550°С. Нагрев проводится с одной стороны. Коэффициент теплоотдачи в печи 100 [Вт/(м2К)]. Определить время нагрева медного и никелевого слитков до заданной температуры и перепад температуры по толщине слитка.

0. Проведем основные определения требуемых констант.

По справочнику физико-химических величин находим плотность меди, равную 8,92. 103 [кГ/м3], никеля 8,63. 103[кГ/м3]. Теплоемкость меди при средней температуре металла 260°С равна 407 [Дж/(кг. К)], никеля – 472 [Дж/(кг·К)]. Теплопроводность меди при средней температурe равна 376 [Вт/(м·К)], никеля – 57 [Вт/(м·К)]. При одностороннем нагреве за характерный размер принимаем

полную толщину слитка.

1. Вычисляем значения критериев Био.

a. Для меди имеем: Вi = (100·0,3)/376 = 0,08 << 0,25. б. Для никеля Вi = (100·0,3)/57 = 0,53 > 0,50.

2. Поскольку для нашего слитка меди Вi<0,25, время нагрева рассчитываем по уравнению для тонкого тела. Принимая для простоты поверхность нагрева равной 1 м2:

	τ =	0,3 8,92	1000 407 ln	550 −20	= 7,1 ч.
		100		550 −500
			3600
			65

Перепад температуры по толщине слитка при столь малом значении Вi ничтожно мал.

3. Расчет времени нагрева никелевого слитка следует проводить по формуле для массивного изделия.

Находим безразмерную температуру для нижней поверхности слитка: θ = (550 – 500)/(550 – 20) = 0,094.

Из номограммы находим критерий Фурье, который в данном случае равен 5,2.

Определяем коэффициент температуропроводности как

а = λ/(Cр·ρ) =		57	= 1,34·10	–5	[м2/с].
	492	8,63 1000

Из выражения для критерия Фурье находим время нагрева слитка:

τ	= 5,2·	0,32				= 9,7 [ч].
				−5
		1,34 10			3600

Нагрев никеля будет протекать медленнее меди.

Найдем температуру, которую будет иметь верхняя поверхность слитка Ni в конце процесса нагрева. Для этого из номограммы по значениям Вi и Fо находим θпов = 0,083. Температура верхней по-

верхности будет: Тпов = 550 – 0,083. (550 – 20) = 506°С. Таким обра-

зом, температура верхней поверхности слитка будет всего на 6°С выше температуры нижней поверхности, что связано со все-таки не очень большим значением критерия Био (0,53).

Контрольныевопросы

1.Выведите уравнение нестационарной теплопроводности, основываясь на законе Фурье.

2.В чем смысл коэффициента температуропроводности?

3.Каков физический смысл решения уравнения нестационарной теплопроводности (диффузии)?

4.Какие Вы знаете типы краевых условий? Где требуется начальное условие?

5.Напишите граничное условие теплоотдачи (массоотдачи) по Ньютону. В чем его недостаток?

6.Проиллюстрируйте использование метода Гухмана на примере введения безразмерного времени.

7.Как вводятся безразмерные время и температура?

8.Что характеризует критерий Фурье?

66

6. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ

6.1. Основныеопределения

Режимы течения жидкостей и газов. Пограничные слои. Приближение Лэнгмюра. Физический смысл слоев. Внешняя и внутренняя задачи. Вращающийся диск.

При течении среды вдоль неподвижной поверхности ее скорость u(x,у) по сечению потока не остается постоянной. Рассмотрим двухмерную задачу и направим ось X вдоль поверхности, а ось Y – перпендикулярно к ней. Слой среды, прилегающей к поверхности пластины (y = 0), неподвижен: u(x,0) = 0. Его толщина зависит от расстояния, пройденного средой от передней кромки пластины. Это условие является граничным условием, используемым для решения дифференциального уравнения движения среды. При увеличении y скорость возрастает от нуля до некоторого постоянного значения, равного скорости среды в ядре потока u. За толщину динамического пограничного слоя принимают расстояние y = δо , на котором достигается значение скорости, равное 0.99 от скорости в ядре потока.

Возрастание скорости в пограничном слое говорит о преобладающем влиянии в этом слое сил внутреннего трения (вязкости). За пределами пограничного слоя действие этих сил не оказывают существенного влияния, и инерционные силы преобладают над силами вязкости. Согласно допущению Ленгмюра, скорость в пограничном слое возрастает линейно с удалением от поверхности пластины или другого обтекаемого тела. Это, вообще говоря, справедливо только для малых толщин слоев; реальное распределение скорости – параболическое, но обычно этим пренебрегают, за исключением установившегося (стабилизированного) течения среды, когда уже нельзя говорить о приближении пограничного слоя.

Используя понятие толщины динамического пограничного слоя, можно определить понятие внешней задачи: в условиях внешней задачи толщина пограничного слоя значительно меньше расстояния до любой другой поверхности.

Во внутренней задаче при установившемся течении среды действие сил вязкости проявляется во всем потоке между ограничи-

67

вающими стенками. В этом случае на некоторой длине l гидроди-

намического начального участка пограничные слои смыкаются (рис. 6.1.1) и устанавливается стабилизированный профиль распределения скорости.

Рис. 6.1.1. Профиль скоростей в установившемся режиме течения жидкости:

а – ламинарный поток; б – турбулентный

Уравнение пограничного слоя можно получить из уравнения движения среды и уравнения сплошности при допущении малой толщины пограничного слоя по сравнению со значением координаты x вдоль неподвижной поверхности, когда можно опустить члены д2u/дx2, но следует оставить члены д2u/дy2. В противном случае понятие пограничного слоя теряет смысл и для определения поля скоростей необходимо решать строгие дифференциальные уравнения с соответствующими условиями однозначности, т.е. граничными и начальными условиями. Общим для всех случаев обтекания неподвижной поверхности будет условие прилипания, т.е. неподвижности среды у поверхности: u(0) = 0.

Решив соответствующее уравнение, для определения толщины пограничного слоя в зависимости от расстояния x от передней кромки неподвижной поверхности до текущей точки получим выражение:

δо(х) = A· (хν/u)0.5.

(6.1.1)

Экспериментально определенный коэффициент пропорциональности А для ламинарного продольного обтекания плоской пластины равен 5,6; для трубы А равно 2,44.

Отсюда можно легко получить формулу для расчета длины, на которой стабилизируется поток, т.е. длину lо, на которой имеет

смысл говорить о пограничном слое:
lо = 0,168·(D/2)2·u/ν.	(6.1.2)
68

Заметим, что при малых скоростях толщина пограничного слоя большая, и задача всегда будет внутренней, т.е. приближение пограничного слоя при малых скоростях не применимо.

Для вращающегося диска (6.1.1) можно переписать как:

δо = A· (r/wr )0.5 = A· (1/w )0.5.

(6.1.3)

Т.е. для него толщина пограничного слоя не зависит от расстояния от оси вращения. Вращающиеся диски очень эффективно используют для исследования кинетики гетерогенных процессов под на-

званием метод равнодоступной поверхности. Коэффициент А здесь равен 3,6.

Для метода Чохральского, где монокристаллы выращиваются из расплава с вращением не только кристалла, нижняя поверхность которого и является вращающимся диском, но и встречным вращением среды (тигля), коэффициент А равен 5,0; за скорость вращения берут угловую скорость вращения кристалла.

6.2. Диффузионныйитепловой пограничныеслои

Рабочие формулы в теории подобия. Соотношение толщин пограничных слоев для газов и жидкостей.

Если на твердой поверхности (ось Х), вдоль которой движется химически активная среда, протекает гетерогенная реакция, то концентрация реагентов у поверхности C|y=о=Спов может значительно отличаться от их концентраций в ядре потока – основном объеме среды. Эти концентрации в ядре потока сразу после внешней границы гидродинамического пограничного слоя при больших значениях критерия Пекле и больших скоростях движения среды остаются постоянными. В то же время внутри пограничного гидродинамического слоя концентрация меняется, в связи с чем можно говорить о диффузионном пограничном слое. Если поверхность и обтекающая среда имеют разные температуры, то можно говорить и о тепловом пограничном слое – естественно, когда он лежит внутри гидродинамического, и, конечно, только для внешней задачи, когда вообще имеет смысл говорить о пограничных слоях.

Можно считать, что в пределах диффузионного (теплового) пограничного слоя массообмен (теплопередача) идет только молекулярными механизмами по закону Фика (Фурье), а вне его – конвекцией. Т.е. внешние границы диффузионного или теплового погра-

69

ничных слоев лежат внутри или в крайнем случае на внешней границе гидродинамического слоя – там, где скорость движения среды уже имеет заметную величину и полностью определяет количественную меру переноса вещества или тепловой энергии. Естественно, что толщины диффузионного и теплового слоев связаны с толщиной гидродинамического слоя. Функционально эта связь выражается уравнением для диффузионного слоя:

δj(х) = A·δо(х)·(Dj/ν)–0.33,

а для теплового:

δт(х) = A·δо(х)·(а/V)–0.33,

где величина А зависит от вида и характера задачи. Для продольного обтекания пластины А равно 3; для вращающегося диска оно равно 1,6; для метода Чохральского А = 2,2.

Для газов значения толщин гидродинамического, теплового и диффузионного слоев близки по порядку величин, и чаще всего толщина гидродинамического слоя в 2-4 раза больше, чем толщина теплового или диффузионных слоев. Для жидкостей эта величина составляет обычно 5-10 раз по отношению к диффузионному слою. Но для теплового слоя в расплавах полупроводников картина обратная – тепловой пограничный слой значительно больше гидродинамического. Причина явления – очень большая теплопроводность расплавов полупроводников (и жидких металлов) за счет электронной составляющей.

Поскольку диффузионный и тепловой слои по своему физическому смыслу лежат внутри гидродинамического, то они могут существовать для внутренней задачи и на несколько больших расстояниях вдоль обтекаемого объекта, чем начальный гидродинамический участок, находясь внутри уже стабилизированного потока.

При стабилизированном параболическом профиле скорости толщина диффузионного слоя рассчитывается по уравнению:

δj(х)=0.94·(Vhx/U)-0.33·(Dj/v)-0.33 , (6.2.1)

где h – расстояние от пластины до ближайшей неподвижной стенки по нормали; величина U равна средней скорости движения среды в реакторе. Для теплового слоя в (6.2.1) Dj нужно просто заменить на коэффициент температуропроводности а.

Из (6.2.1) легко определить максимальную длину пробега газовой смеси вдоль реактора, на которой еще можно говорить о существовании теплового или диффузионного пограничного слоя. Т.е.,

70