= −2mI(m, n) + (2n − 1)I(m + 1, n − 1).
Решая полученное уравнение относительно I(m, n), получаем искомое рекуррентное соотношение:
I(m, n) = |
2n − 1 |
I(m + 1, n |
− |
1). |
(3.25) |
|
2m + 1 |
|
|
Применяя соотношение (3.25) n раз, приходим к равенству
(2n − 1)!!
I(m, n) = (2m + 1)(2m + 3 . . . (2m + 2n − 1)) I(m + n, 0) =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(2n − 1)!!(2m − 1)!! |
I(m + n, 0). |
|
(3.26) |
(2m + 2n − 1)!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно решению задачи 2281 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
(2m + 2n − 1)!! |
|
|
|
I(m + n, 0) = sin2m+2n x dx = |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
(2m + 2n)!! |
· |
2 |
|
и соотношение (3.26) дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
I(m, n) = |
(2n − 1)!!(2m − 1)!! |
|
π |
. |
|
|
|
(2m + 2n)!! |
· 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученную формулу можно преобразовать следующим образом. Так как при любом натуральном k
(2k)!! = (2 · 1)(2 · 2)(2 · 3) . . . (2 · k) = 2kk! ,
(2k − 1)!! = 1 · 3 · . . . · (2k − 1) =
= [1 · 3 · . . . · (2k − 1)][2 · 4 · . . . · (2k)] = (2k)!!
|
= |
1 · 2 · 3 · 4 · . . . · (2k − 1) · (2k) |
= |
(2k)! |
, |
|
2kk! |
2kk! |
|
|
|
|
|
∫π/2
то |
|
(2n)!(2m)! |
|
π |
|
I(m, n) = |
|
· |
= |
|
|
|
(2nn!)(2mm!)2m+n(m + n)! |
2 |
= |
π(2n)!(2m)! |
|
|
(3.27) |
|
. |
|
|
22n+2m+1(m + n)!m!n! |
|
|
Замечание. Использование формул Эйлера, как можно видеть, усложняет решение задачи. Сначала необходимо свести задачу к вычислению интеграла по отрезку [0; 2π]. Выполняя подстановку x = π − t, находим
∫π ∫π
sin2m x cos2n x dx = sin2m t cos2n t dt = sin2m x cos2n x dx,
|
0 |
π/2 |
|
|
π/2 |
|
следовательно, в силу аддитивности интеграла, |
|
π/2 |
1 |
π |
|
|
∫0 |
sin2m x cos2n x dx = |
∫0 |
sin2m x cos2n x dx. |
|
|
|
2 |
В силу π-периодичности подынтегральной функции и формулы (3.13) задачи 2265
|
π |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
sin2m x cos2n x dx = ∫π |
sin2m x cos2n x dx |
|
|
|
и, таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
1 |
2π |
|
|
|
|
|
I(m, n) = ∫0 |
sin2m x cos2n x dx = |
∫0 |
sin2m x cos2n x dx. |
|
|
|
|
4 |
|
Применяя формулы Эйлера и формулу бинома Ньютона, по- |
|
лучаем: |
|
|
∫0 |
( |
|
|
) ( |
|
) |
|
|
∫0 |
|
|
2i |
|
2 |
|
|
2π |
|
|
2π |
|
eix − e−ix |
|
|
2m |
|
eix + e−ix |
|
2n |
|
sin2m x cos2n x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
( 1)m |
2π |
2m |
|
∫ |
(∑(−1)kC2kmeikxe−i(2m−k)x)× |
= |
− |
22m+2n |
(∑2n )
×C2sneisxe−i(2n−s)x dx =
|
|
s=0 |
|
|
|
( 1)m |
2m 2n |
2π |
|
|
|
|
|
|
∑∑ |
0 |
ei(2k+2s)xe−i(2m+2n)xdx. |
|
|
= 22−m+2n k=0 s=0(−1)kC2kmC2sn |
∫ |
Согласно решению задачи 2288
2π |
{ |
0, |
если k + s ̸= m + n, |
ei(2k+2s)xe−i(2m+2n)xdx = |
∫0 |
2π, |
если k + s = m + n. |
Таким образом, во внутренней сумме, от нуля может быть отлично только слагаемое с индексом s = m + n − k, поэтому
|
2π |
|
π( 1)m |
2m |
|
|
|
|
0 |
|
|
∑ |
|
sin2m x cos2n x dx = 22m−+2n−1 |
|
∫ |
k=0(−1)kC2kmC2mn+n−k |
(наличие множителя C2mn+n−k гарантирует, что при k > m + n слагаемое, отвечающее отрицательному индексу s, отсутствует в сумме, так как по определению биномиальных коэффициентов величина Cnk = 0 при k < 0). Отсюда следует, что
I(m, n) = π(−1)m |
2m |
( 1)kCk |
Cm+n−k. |
|
|
|
∑ |
− 2m |
2n |
(3.28) |
|
22m+2n+1 |
k=0 |
|
|
|
|
|
В справочнике ([9], c. 617, которое после замены n на m
∑2m
(−1)kC2kmC2mn+n−k
k=0
ф-ла (20)) приведено тождество, и a на m + n принимает вид:
Cn Cm+n
= (−1)m m+n 2m+2n =
C22mn +2n
= |
(−1)m(2m)!(2n)! |
. |
(3.29) |
|
m!n!(m + n)! |
|
Если подставить (3.29) в (3.28), получим формулу (3.27). Впрочем этот факт можно представить по другому: из сравнения формул (3.27) и (3.28) следует тождество (3.29) для биномиальных коэффициентов.
|
π |
sin nx |
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
2291. |
|
dx. |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
Так как подынтегральная функция четна, то согласно задаче |
2258 |
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
sin nx |
|
1 |
sin nx |
|
|
|
∫ |
dx = |
∫ |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
2 |
sin x |
0−π
Сдругой стороны, эта же функция 2π-периодична и в соответствие с решением задачи 2265
|
π |
sin nx |
2π |
sin nx |
|
|
∫ |
dx = ∫ |
dx, |
|
|
|
|
|
|
sin x |
sin x |
|
−π |
|
|
0 |
|
|
|
следовательно, искомый интеграл
|
π |
sin nx |
|
1 |
2π |
sin nx |
|
|
∫0 |
dx = |
∫0 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
2 |
sin x |
Применяя формулу Эйлера, находим:
sin nx |
= |
einx − e−inx |
. |
(3.30) |
sin x |
|
|
eix − e−ix |
|
Суммируя геометрическую прогрессию с первым членом an−1 и знаменателем q = b/a, приходим к равенству
n∑−1 an−1−k bk = an − bn .
a − b
k=0
Полагая в этом равенстве a = eix, b = e−ix и учитывая (3.30), получаем
|
|
sin nx |
= |
n−1 |
ei(n−1−2k)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
и после интегрирования, имеем |
|
|
|
π sin nx |
|
1 n−1 |
2π |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
0 |
ei(n−1−2k)x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
sin x dx = 2 k=0 |
∫ |
|
|
|
|
1 n−1 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
k=0 |
∫ |
einxe−i(2k+1)x dx. |
(3.31) |
Если n четное число, то при любом целом k величина 2k+1 ≠ ≠ n и согласно решению задачи 2288 все интегралы, стоящие под знаком суммы в правой части равенства (3.31), равны нулю.
Если же n нечетно, то согласно решению той же задачи равны нулю все интегралы кроме одного, отвечающего индексу k = = (n−1)/2, причем этот интеграл равен 2π. Отсюда следует, что
|
|
π |
sin nx |
dx = { |
0, |
если n четное, |
|
|
∫0 |
|
|
sin x |
|
π, |
если n нечетное. |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
cos(2n + 1)x |
|
|
2292. |
|
|
|
dx. |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как подынтегральная функция четна, то согласно задаче 2258
|
π |
cos(2n + 1)x |
|
1 |
π |
cos(2n + 1)x |
|
|
∫ |
dx = |
∫ |
dx. |
|
|
|
|
|
cos x |
2 |
cos x |
|
0 |
|
|
|
−π |
|
|
С другой стороны, эта же функция 2π-периодична и в соответствие с решением задачи 2265
|
π |
cos(2n + 1)x |
2π |
cos(2n + 1)x |
|
|
∫ |
dx = ∫ |
dx, |
|
|
|
|
|
cos x |
cos x |
|
−π |
|
|
0 |
|
|
следовательно, искомый интеграл
π |
|
cos(2n + 1)x |
1 |
2π |
cos(2n + 1)x |
|
|
∫0 |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
dx. |
|
|
cos x |
2 |
cos x |
|
Применяя формулу Эйлера, находим: |
|
|
|
cos(2n + 1)x |
= |
ei(2n+1)x + e−i(2n+1)x |
. |
(3.32) |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
eix + e−ix |
|
|
Суммируя геометрическую прогрессию с первым членом a2n и знаменателем q = −b/a, приходим к равенству
∑2n (−1)ka2n−k bk = a2n+1 + b2n+1 .
a + b
k=0
Полагая в этом равенстве a = eix, b = e−ix и учитывая (3.32),
получаем
cos(2n + 1)x = ∑2n (−1)kei(2n−2k)x cos x
k=0
и после интегрирования, имеем
π |
cos(2n + 1)x |
1 |
|
∑ |
2π |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
∫ |
cos x |
|
dx = |
2 |
k=0(−1)k |
∫ |
ei(2n−2k)x dx = |
|
|
1 |
2n |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
0 |
ei(2n)xe−i(2k)x dx. |
(3.33) |
|
|
|
|
= 2 k=0(−1)k |
∫ |
Согласно задаче 2288 все интегралы, стоящие под знаком суммы в правой части равенства (3.33), кроме интеграла с индексом k = n, равны нулю, а оставшийся интеграл равен 2π. Следовательно,
∫π
cos(2n + 1)x dx = (−1)nπ. cos x
0
∫π
2293. cosn x cos nx dx.
0
С помощью формулы Эйлера и бинома Ньютона находим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ix + e |
|
ix |
n |
|
|
inx + e |
|
inx |
|
cosn x cos nx = ( |
e |
− |
) ( |
e |
− |
) = |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
1 |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2n+1 |
( |
Cnkei(n−k)xe−ikx) einx + e−inx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
1 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2n+1 |
|
( |
Cnkei(n−2k)x) einx + e−inx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
= |
|
2n+1 |
|
( |
Cnkei(2n−2k)x + |
|
|
Cnke−2ikx). |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
Заменяя в первой сумме индекс суммирования k на n − k и учитывая, что Cnn−k = Cnk, получаем:
|
|
|
|
n |
n |
|
1 |
|
∑ |
∑ |
cosn x cos nx = |
|
2n+1 |
( |
Cnn−ke2ikx + Cnke−2ikx) = |
|
|
|
|
k=0 |
k=0 |
|
|
|
|
n |
(e2ikx + e−2ikx). |
= |
1 |
∑ |
2n+1 |
k=0 Cnk |
Так как
e2ikx + e−2ikx = 2 cos 2kx,
167
то, окончательно, находим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosn x cos nx = |
|
1 |
∑ |
Ck cos 2kx. |
(3.34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя соотношение (3.34), получаем: |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
n |
|
|
π |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∫ |
cosn x cos nx dx = |
|
∫ |
dx + k=1 Cnk ∫ |
cos 2kx dx = |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∑ |
|
sin 2kx |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
= |
|
(π + Cnk |
|
|
|
|
) = |
|
. |
|
|
|
π |
2n |
|
|
2k |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2294. |
∫0 |
sinn x sin nx dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью формулы Эйлера и бинома Ньютона находим
|
|
|
|
|
|
|
( |
2i |
) |
n |
( |
2i |
) |
|
|
|
|
sinn x sin nx = |
eix − e−ix |
|
|
|
einx − e−inx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
1 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(2i)n+1 |
( |
Cnk(−1)kei(n−k)xe−ikx) einx − e−inx = |
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
1 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(2i)n+1 |
( |
(−1)kCnkei(n−2k)x) einx − e−inx |
= |
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
= |
(2i)n+1 |
|
( |
(−1)kCnkei(2n−2k)x − |
(−1)kCnke−2ikx). |
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
Заменяя в первой сумме индекс суммирования k на n − k и учитывая, что Cnn−k = Cnk, получаем
sinn x sin nx =
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
= |
|
( |
|
(−1)n−kCnn−ke2ikx − (−1)kCnke−2ikx) = |
|
|
(2i)n+1 |
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
((−1)ne2ikx − e−2ikx). |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2i)n+1 k=0(−1)kCnk |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Пусть n четно, тогда (−1)n = 1, учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
e2ikx − e−2ikx = 2i sin 2kx, |
|
|
|
|
|
а слагаемое с индексом k = 0 равно нулю, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
sinn x sin nx = |
(−1)kCnk sin 2kx. |
|
|
(3.35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2i)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
Интегрируя соотношение (3.35), получаем |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
cos 2kx |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
k=1(−1)kCnk (− |
) 0 |
|
sinn x sin nx dx = |
|
|
|
= 0. |
(2i)n |
|
2k |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Пусть n четно и n = 2m − 1, тогда (−1)n = −1. Учитывая
равенство
e2ikx + e−2ikx = 2 cos 2kx,
получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
sinn x sin nx = |
(−1)m+1 |
|
n ( |
− |
1)kCk cos 2kx. |
(3.36) |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
k=0 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя (3.36), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
( |
|
1)m+1 n |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
0 |
|
|
sinn x sin nx dx = |
− |
2n |
|
|
|
|
cos 2kx dx = |
∫ |
|
|
k=0(−1)kCnk |
∫ |
|
|
|
|
π |
|
n |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
( |
1)m+1 |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
∫ |
dx + k=1(−1)kCnk ∫ |
cos 2kx dx = |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
− |
1)m+1 |
|
n |
|
|
sin 2kx |
|
π |
( |
|
1)m+1π |
= |
|
2n |
(π + k=1(−1)kCnk |
|
|
|
2k |
|
|
0 ) = |
|
− 2n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом получаем следующую формулу: |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
n = 2m, |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinn x sin nx dx = |
|
|
m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
(−1) |
|
|
|
π |
, n = 2m |
− |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно убедиться, что эту |
формулу можно записать более |
компактно: |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
sinn x sin nx dx = |
|
π |
sin |
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
Найти интегралы (n – натуральное число):
∫π
2295. sinn−1 x cos(n + 1)x dx.
0
По формуле косинуса суммы
∫π
sinn−1 x cos(n + 1)x dx =
0
∫π
= sinn−1 x(cos nx cos x − sin nx sin x)dx =
|
0 |
|
|
|
|
= ∫0π sinn−1 x cos nx cos x dx − ∫0π sinn x sin nx dx. |
(3.37) |
Интегрируя по частям, получаем: |
|
|
|
|
π |
π |
|
n |
|
|
|
|
|
∫0 |
sinn−1 x cos nx cos x dx = ∫0 |
cos nx d ( |
sin x |
) = |
|
n |
|