Если на каждом уровне выполнено разное число опытов, выборочная дисперсия фактора А рассчитывается по формуле

1

k

B2

k

2

1

sA2

=

∑

i

−

∑Bi

,

(9.17)

k -1

i =1

ni

N

i =1

а выборочная дисперсия, характеризующая влияние случайных факторов, по формуле

k	k
sош2 = ∑ fi si2	∑ fi ,	(9.18)
i =1	i =1
где fi = ni – 1. Число степеней свободы sош2 равно fош = N – k.
Если дисперсия sA2 значимо отличается от дисперсии sош2		, т. е. вы-

полняется неравенство (9.15), то дисперсия фактора А оценивается по формуле

	σ2A ≈	k −1		(sA2	− sош2	).	(9.19)
		N −1

9.2. Двухфакторный дисперсионный анализ

Рассмотрим влияние на результаты опытов двух факторов А и В. Фактор А исследуется на k уровнях (i = 1, 2, …, k), фактор В — на m уровнях ( j = 1, 2, …, m). Пусть при каждом сочетании уровней факторов выполнено n параллельных опытов (q = 1, 2, …, n). Тогда общее число опытов равно N = nkm. Обозначим через yijq результат q-го опыта, выполненного на i-уровне фактора А и j-уровне фактора В.

Предположим, что результат каждого опыта можно представить следующим образом:

yijq = µ +αi +βj +αiβj +εijq ,

(9.20)

где µ — общее среднее (суммарный эффект во всех опытах); αi и βj — эффекты, обусловленные влиянием фактора А на i-уровне и фактором В на j-уровне соответственно; εijq — случайная ошибка опыта, распределенная нормально с нулевым математическим ожиданием и диспер-

сией σош2 ; αiβj — эффект взаимодействия факторов. Величина αiβj характеризует отклонение среднего в (ij)-серии опытов от суммы первых трех членов в ур-и (9.20), а соответствующую ей дисперсию σ2AB можно оценить только при наличии параллельных опытов.

32

При отсутствии параллельных опытов (табл. 3) или в случае, если эффектом взаимодействия факторов пренебрегают, для описания результатов экспериментов используется линейная модель

yij = µ +αi +βj + εij .	(9.21)
	Таблица 3

Исходные данные для двухфакторного дисперсионного анализа без параллельных опытов. Факторы А и В исследуются на 3 уровнях

Уровни

Уровни фактора А

фактора В

а1

а2

а3 (аk)

Средние:

b1

y11

y21

y31 (yk1)

1'

y

b2

y12

y22

y32 (yk2)

'2

y

b3 (bm)

y13

y23

y33 (ykm)

3' (

'm )

y

y

Средние:

3 (

k )

––

y

y

y

1

2

y

Обозначим через yi и y'j средние по столбцам и по строкам:

m

k

∑yij

∑yij

i =

j =1

,

'j =

i =1

,

(9.22)

y

y

m

k

а через

— среднее всех опытов:

y

1

k

m

1

k

y =

∑∑

yij =

∑

y

i

.

(9.23)

km

k

i =1 j =1

i =1

Рассмотрим влияние факторов А и В на рассеяние средних по столбцам и по строкам соответственно относительно общего среднего. Рассеяние в средних по строкам не зависит от фактора А, так как все его уровни усреднены, и определяется влиянием фактора В и случайных факторов.

Тогда с учетом того, что дисперсия среднего в k раз меньше дисперсии случайной ошибки единичного измерения, имеем

σ2B +	σош2	≈	1		m	(		'j −		)2 .	(9.24)
					∑				y
							y
	k		m −1
					j =1

Аналогичным образом можно показать, что

33

σ2A +	σош2	≈	1		k	(		i −		)2 .	(9.25)
					∑				y
							y
	m		k −1
					i =1

Таким образом, чтобы оценить дисперсии факторов А и В, необходимо знать дисперсию случайной ошибки.

Оценить влияние случайных факторов при отсутствии параллельных опытов можно следующим образом. Рассеяние результатов опытов в i-столбце относительно его среднего обусловлено влиянием фактора В и фактора случайности:

s2

=

1

m

(y

−

)2

≈ σ2

+ σ2 .

(9.26)

∑

y

i

i

m

−

1

ij

B

ош

j =1

Равенство (9.26) станет более точным, если использовать средне-

взвешенное значение дисперсии по всем столбцам:

k

σ2B +σош2

≈

1

∑si2 .

(9.27).

k

i =1

Вычитая (9.24) из (9.27), получим

σ2

−

σош2

≈

1

k

s

2

−

1

m

(

'

−

)2 ,

(9.28)

y

y

∑

1∑

ош

k

k

i

m −

j

i =1

j =1

или после арифметических преобразований

2

1

k

m

'

2

2

2

σош ≈ (k −1)(m −1)

(m −1)∑si

−k∑(y j − y)

sош. (9.29)

i =1

j =1

Полученную оценку для дисперсии случайной ошибки с числом сте-

пеней свободы fош = (k – 1)(m – 1) обозначим через

sош2 . Определим

также следующие выборочные дисперсии:

sA2 =

m

k

(

i −

)2 ≈ mσ2A + sош2 ,

(9.30)

∑

y

y

k −1

i =1

sB2 =

k

m

(

'j −

)2 ≈ kσ2B + sош2

(9.31)

y

y

m −1∑

j =1

с числом степеней свободы fA = (k – 1) и fB = (m – 1).

34

Проверка нулевой гипотезы о незначимости влияния факторов А и В проводится по критерию Фишера: если

sA2

≤ F

( f

A

, f

ош

) и (или)

sB2

≤ F

( f

B

, f

ош

) ,

(9.32)

sош2

1− p

sош2

1− p

то влияние фактора признается незначимым (αi = 0 и (или) βj = 0). Если одно (или оба) из неравенств (9.32) не выполняется, то влия-

ние соответствующего фактора (факторов) значимо. Определить, какие именно средние различны, можно по критерию Стъюдента.

Рассмотрим теперь случай, когда при каждом сочетании уровней факторов А и В выполнено n параллельных опытов (u = 1, 2, …, n), что дает возможность оценить влияние взаимодействия этих факторов на результаты опытов.

Так, например, в табл. 3 вместо одного значения y11 появится серия значений y111, y112, …, y11n . Обозначим через yij среднее в ячейке

(среднее серии параллельных опытов):

n

yij = 1n ∑yiju (9.33)

u =1

Тогда

i =

1

m

ij ,

'j =

1

k

ij ,

(9.34)

y

∑

y

y

∑

y

m

k

j =1

i =1

km ∑∑

k

∑

y =

1

k

m

ij =

1

k

i

(9.35)

i =1 j =1

y

i =1

y

и дисперсии s2A и sB2 рассчитываются по формулам (9.30) и (9.31).

В качестве оценки дисперсии воспроизводимости используем средневзвешенное значение дисперсий результатов в каждой ячейке

							k	m
sош2		=	1			∑∑sij2 ,					(9.36)
			mk
						i =1		j =1
где
sij2 =		1			n		(yiju −			ij )2 .	(9.37)
					∑				y
	n	−1
					u =1

35

Число степеней свободы дисперсии sош2 равно fош = mk (n – 1).

Введем также выборочную дисперсию, характеризующую влияние взаимодействия факторов

k m

m

(k −1)(m −1)

∑∑

∑

(yij − yi )2

(y'j − y)2

sAB2 ≈

n

− k

, (9.38)

i =1 j =1

j =1

с числом степеней свободы fAB = (k – 1)(m – 1).

Проверка значимости влияния факторов и их взаимодействия проводится по критерию Фишера, но неодинаково для моделей с фиксированными и случайными уровнями:

1. Для модели с фиксированными уровнями выборочные дисперсии s2A , sB2 и s2AB сравниваются с оценкой дисперсии воспроизводимости sош2 . Если выполняются неравенства

(s2

s2

)> F

(f

A

, f

ош

),

(s2

s2

)> F

(f

B

, f

ош

),

A

ош

1− p

B

ош

1− p

(s2

s2

)> F

(f

AB

, f

ош

),

(9.39)

AB

ош

1− p

то влияние факторов и их взаимодействия значимо.

2. Для модели со случайными уровнями проверка значимости взаимодействия факторов проводится так же, как и для для модели с фиксированными уровнями. Влияние факторов значимо, если выполняются следующие неравенства:

(s2	s2	)> F	(f	A	, f	AB	),
A	AB	1− p
(s2	s2	)> F	(f	B	, f	AB	).	(9.40)
B	AB	1− p

36