ЛЕКЦИЯ 8
Линейная регрессия от одного параметра. Регрессионный анализ. Аппроксимация, параболическая регрессия. Оценка тесноты нелинейной связи, корреляционный анализ. Метод множественной корреляции.
8.1. Линейная регрессия от одного параметра
Пусть из опытов получена выборка точек (xi, yi) объемом n. Найдем методом наименьших квадратов коэффициенты линейного уравнения регрессии
|
|
|
y = b0 |
+b1 x . |
(8.1) |
Система нормальных уравнений уравнений (7.43) с учетом того, что
y (xi ) = b0 + b1 xi ,
принимает вид
n |
n |
|
|
∑yi − ∑ (b0 + b1xi ) = 0 , |
|
||
i =1 |
i =1 |
|
|
n |
n |
|
|
∑yi xi |
− ∑ (b0 + b1xi ) xi = 0 , |
(8.2) |
|
i =1 |
i =1 |
|
|
или после преобразования |
|
|
|
|
n |
n |
|
nb0 +b1∑ xi |
= ∑yi , |
|
|
|
i =1 |
i =1 |
|
n |
n |
n |
|
b0 ∑xi |
+b1∑ xi2 = ∑yi xi . |
(8.3) |
|
i =1 |
i =1 |
i =1 |
|
Решив систему уравнений, получим
|
|
n |
n |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
∑ yi |
∑ xi2 − ∑ xi |
∑ xi yi |
|
|
|||
b |
= |
i =1 |
i =1 |
|
i =1 |
i =1 |
, |
(8.4) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
n |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n ∑ xi2 |
− |
|
∑ xi |
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
i =1 |
|
|
|
|
16