ЛЕКЦИЯ 12

Оптимизация методом крутого восхождения по поверхности отклика. Описание функции отклика в области, близкой к экстремуму. Композиционные планы Бокса-Уилсона. Ортогональные планы второго порядка, расчет коэффицентов уравнения регрессии. Метод последовательного симплекс-планирования.

12.1. Оптимизация методом крутого восхождения по поверхности отклика

Задача оптимизации сводится к опытному определению такого сочетания уровней k факторов (координаты точки в (k+1)-мерном факторном пространстве), при котором достигается максимальное (минимальное) значение выходного параметра y (или нескольких параметров), т. е. функция отклика системы

y = ϕ(x1, x2 ,..., xk )

принимает экстремальное значение.

Рассмотрим случай, когда на систему оказывают влияние только два фактора (х1 и х2 в безразмерном масштабе). Построим контурные сечения y = const поверхности отклика при k = 2 (рис. 3 а).

Рис. 3. Движение по поверхности отклика (а) к экстремуму в традиционном эксперименте и в методе крутого восхождения (б)

Поиск экстремальной точки поверхности отклика в традиционном эксперименте проводится следующим образом. В точке L с известным значением у фиксируется один из факторов, например х1, и начинается движение из этой точки вдоль оси х2. Движение по х2 продолжается до тех пор, пока не прекращается прирост y (рис. 3 б). В точке М с наилучшим значением выходного параметра фиксируется фактор х2 и начинается движение в направлении оси х1. В точке N со следующим

54

наилучшим значением y снова фиксируется х1 и начинается движение по х2 и т. д. Очевидно, что путь к экстремуму по ломаной кривой LMNR (рис. 3 б) не является оптимальным.

Кратчайшим, наиболее крутым путем достижения экстремума будет движение из точки L по градиенту перпендикулярно изолиниям y = const (на рис. 3 б этот путь показан пунктирной линией). Для рассматриваемого случая градиент функции отклика равен

					∂ϕ	→		∂ϕ		→
											(12.1)
					∂ x			∂ x
				grad ϕ =		i	+			j ,
					1				2
где	→	и	→	— орты координатных осей. Предполагается, что функция
	i		j

ϕ непрерывна, дифференцируема и не имеет особых точек.

Для реализации метода крутого восхождения Бокс и Уилсон предложили шаговый метод движения по поверхности отклика. В окрестности точки L ставится эксперимент для локального описания поверхности отклика линейным уравнением регрессии:

y = b0	+b1x1 +b2 x2 .	(12.2)

Движение из точки L начинается в направлении градиента линейного приближения

∂ y	= b	;	∂ y	=b .	(12.3)
1			2
∂ x1			∂ x2

Для случая, представленного на рис. 3 б, выборочные коэффициенты при линейных членах в окрестности точки L имеют разные знаки: b1 > 0, b2 < 0, поэтому при движении к максимуму функции отклика значение х1 увеличивается, а х2 уменьшается. Движение по градиенту линейного приближения продолжается до тех пор, пока не прекращается прирост y. В точке с наибольшим значением y (центр плана) ставится новая серия опытов и определяется новое направление движения по поверхности отклика. Такой шаговый процесс продолжается до достижения области, близкой к экстремуму.

При постановке опытов величина шага должна быть пропорциональна произведению коэффициента на интервал варьирования: bj ∆zj. Например, при движении из точки L следующий эксперимент ставится в точке со значениями x1 и х2, отличающимися от начальных на величины 2b1∆z1 и 2b2∆z2 соответственно. В общем случае направление градиента будет зависеть от выбранного интервала варьирования независимых факторов. При изменении в n раз интервала варьирования некоторого j-фактора величина шага для него меняется в n2 раз, так

55

как при этом в n раз изменяется и коэффициент регрессии bj. Инвариантными к изменению интервала остаются только знаки составляющих градиента. При увеличении числа рассматриваемых факторов более двух оптимизация методом крутого восхождения по поверхности отклика проводится аналогичным способом.

12.2. Описание функции отклика в области, близкой к экстремуму. Композиционные планы Бокса-Уилсона

В области, близкой к экстремуму, (или «почти стационарной области») функция отклика существенно нелинейна, поэтому для ее адекватного описания необходимо использовать нелинейные полиномы. В настоящее время для этой цели наиболее широко применяют полиномы второго порядка, для получения которых имеются хорошо разработанные планы эксперимента.

Для описания полиномом второго порядка эксперимента, реализованного для нахождения оптимальных условий процесса, число опытов N в плане должно быть не меньше числа определяемых коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка для k факторов

	k	k		k
	+∑bj x j + ∑buj xu x j +∑bjj x2j .
y = b0					(12.4)
	j =1	u, j	=1	j =1
		u ≠	j

Выборочные коэффициенты (12.4) являются оценками соответствующих коэффициентов уравнения теоретической регрессии:

k	k	k
my =β0 +∑βj x j + ∑		βuj xu x j +∑βjj x2j .	(12.5)
j =1	u, j =1	j =1
	u ≠ j

В зависимости от числа рассматриваемых факторов число коэффициентов l уравнения регрессии (12.4) определяется по формуле

	l = (k +1) + k +Ck2 = 2k +1+	k!		=	(k +1)(k + 2)	,	(12.6)
		2!(k −2)!			2

где Ck2 — количество сочетаний из k факторов по два, равное числу

эффектов парного взаимодействия.

В области, близкой к экстремуму, становятся значимыми эффекты парного взаимодействия и квадратичные эффекты. Поэтому то, что адекватное описание результатов эксперимента требует использования полиномов второго порядка, может служить признаком нахождения в почти стационарной области. Близость к этой области можно

56

также установить, поставив дополнительно к ПФЭ 2k или ДФЭ 2k-1 серию опытов в центре плана. Среднее значение результатов этих опытов является оценкой для свободного члена уравнения (12.5):

yo

→β0 .

(12.7)

Выборочный коэффицент b0, вычисляемый по формуле

b

=

1

N

x

y

,

(12.8)

∑

0i

i

0

N

i =1

оценивает сумму свободного и квадратичных членов:

k

b0 →β0 + ∑βjj .

(12.9)

j =1

Поэтому, чем больше разность

k

(b0 −

) → ∑βjj ,

yo

(12.10)

j =1

тем значимее квадратичные эффекты.

Для описания поверхности отклика полиномами второго порядка независимые факторы в планах должны принимать не менее трех разных значений. Эксперимент, в котором каждый из k факторов рассматривается на трех уровнях и реализуются все возможные сочетания уровней факторов, является ПФЭ типа 3k. В качестве примера в табл. 15 представлена матрица планирования ПФЭ 32.

Проведение ПФЭ 3k требует большого числа опытов, намного превышающего число определяемых коэффициентов l в уравнении (12.4) уже при k > 2:

k	2	3	4
3k	9	27	81
l	6	10	15

57

Таблица 15

Матрица планирования ПФЭ 32

№ опыта	х1	х2	y
1	–1	–1	y1
2	0	–1	y2
3	+1	–1	y3
4	–1	0	y4
5	0	0	y5
6	+1	0	y6
7	–1	+1	y7
8	0	+1	y8
9	+1	+1	y9

Сократить общее число опытов при условии получения несмешанных оценок для линейных эффектов и эффектов взаимодействия мож-

но с помощью композиционных планов Бокса-Уилсона. Ядро таких планов при k < 5 составляет ПФЭ 2k, и полуреплика от него при k ≥ 5.

Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным эксперименту, необходимо:

1)добавить 2k звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства. Координаты звездных точек в общем случае равны

(±α, 0,..., 0), ( 0, ±α,..., 0), ..., ( 0, ..., 0, ±α) ,

где α — расстояние от центра плана до звездной точки, или звездное плечо;

2) увеличить число экспериментов в центре плана n0.

Общее число опытов в матрице композиционного плана при k ≤ 4 составляет

N = 2k + 2k + n .	(12.11)
0

Рассмотрим построение композиционных планов на примере k = 2 (рис. 4). Точки 1, 2, 3, 4 образуют ПФЭ 22, точки 5, 6, 7, 8 являются звездными точками с координатами (±α,0) и (0, ±α) , координаты n0

опытов в центре плана нулевые — (0, 0).

Композиционный план второго порядка для двух факторов представлен в табл. 16, при этом в центре плана выполнена серия из трех опытов (№ 9–11).

58