k= −(b1 ± s (b1) t1− p/2 ) .
8.6.Метод множественной корреляции
На практике часто бывает необходимым исследовать корреляционную связь между многими (а не только двумя) величинами. В случае, когда необходимо установить зависимость величины Y от более чем одного параметра, обычно используют уравнения множественной регрессии следующего вида
|
|
|
|
y =b0 |
+ b1x1 + b2 x2 |
+... + bk xk . |
(8.42) |
Коэффициенты уравнения находят методом наименьших квадратов, т. е. определяют из условия
где yi = y (x1i , x2i
|
n |
|
|
2 |
|
|
S = |
∑ |
|
− y |
|
(8.43) |
|
|
y |
i |
= min , |
|||
|
|
|
|
i |
|
|
i =1
,..., xki ) . Условия минимума функции S следующие:
∂S |
= 0, |
∂S |
= 0, ... , |
∂S |
= 0 . |
(8.44) |
|
∂b |
∂b |
∂b |
|||||
|
|
|
|
||||
0 |
|
1 |
|
k |
|
|
Коэффициенты уравнения приближенной регрессии находят из решения системы (k + 1) нормальных уравнений, полученных из условий
(8.44).
Рассмотрим случай, когда величина Y линейно зависит от двух переменных X1 и X2. Пусть из опытов получена выборка точек (x1i, x2i, yi) объемом n. Найдем методом наименьших квадратов коэффициенты линейного уравнения регрессии
Тогда
∂ y
∂b0
y = b0 +b1 x1 +b2 x2 .
|
|
|
|
|
|
|
=1, |
∂ y |
= x , |
∂ y |
= x |
|
. |
∂b |
∂b |
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
(8.45)
(8.46)
Система нормальных уравнений, соответствующих условиям (8.44), принимает следующий вид:
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ y |
|
|||||
∑ |
2 |
yi − yi |
|
= 0 , |
||||
∂b0 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
i = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
26
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ y |
|
|
|
|||||
∑ |
2 |
yi − yi |
|
= 0 , |
(8.47) |
||||
∂b1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ y |
|
|
|
|||||
∑ |
2 |
yi − yi |
|
|
= 0 . |
|
|||
∂b2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом того, что yi = b0 + b1 x1i + b2 x2i и значений частных производных (8.46), после арифметических преобразований получаем
|
n |
n |
n |
|
b0n +b1∑x1i +b2 |
∑x2i = |
∑yi , |
|
|
|
i =1 |
i =1 |
i =1 |
|
n |
n |
n |
n |
|
b0 ∑x1i |
+b1∑x1i2 +b2 |
∑x1i x2i |
= ∑x1i yi , |
(8.48) |
i =1 |
i =1 |
i =1 |
i =1 |
|
n |
n |
n |
n |
|
b0 ∑x2i +b1∑x1i x2i +b2 ∑x2i2 = ∑x2i yi . |
|
|||
i =1 |
i =1 |
i =1 |
i =1 |
|
Решая полученную систему уравнений относительно b0, b1 и b2, находим наилучшую аппроксимацию для соотношения (8.45). Силу линейной связи между переменными Х1 и Х2 можно оценить на основании выборочного коэффициента корреляции
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(x1i − |
|
)(x2i − |
|
) |
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
|
|
|||||
r * (x |
, x |
2 |
) = |
i =1 |
|
|
|
|
|
. |
(8.49) |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
(n −1) |
s (x1) s (x2 ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
27