Гришин Зачет по аналитической геометрии.1 семестр 2009

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 18

1.

В прямоугольном параллелепипеде

рассматриваются векторы

,

и

, где M,

E, N и P – середины ребер

,

,

и

. Представить вектор

в виде линейной

комбинации векторов , и .

2.

В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны:

. Найти:

1) длину вектора

; 2) угол между вектором

и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной

на векторах ,

и .

3.Даны три вектора , и . Найти вектор , компланарный с векторами

и , перпендикулярный вектору

, если известно, что объем пирамиды, построенной на векторах

, и

равен 4.

4.

Прямые

и

являются диагоналями параллелограмма. Точки

и

лежат на противоположных его сторонах. Написать уравнения сторон параллелограмма, содержащих

точки M и N.

5.

Написать уравнение

плоскости, перпендикулярной вектору

, равноудаленной от

точек

и

.

6.Найти расстояние между параллельными прямыми и .

7.Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: 4.

8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

21

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 19

1.

В прямоугольном параллелепипеде

рассматриваются

векторы

,

и

, где M, Е и N –

середины ребер

,

и

соответственно.

Представить вектор

в виде

линейной комбинации векторов , и .

2.

В

прямоугольном

параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны:

. Найти:

1)

длину вектора

;

2) угол между вектором

и вектором ;

3) объем пирамиды, построенной на

векторах , и .

3.Даны три вектора , и . Найти вектор , перпендикулярный векторам

и , проекция которого на вектор

равна

.

4. Прямые

и

являются диагоналями квадрата со стороной

. Написать

уравнения сторон квадрата.

5.Написать уравнение плоскости, параллельной вектору , проходящей через точку и равноудаленной от точек и .

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и

.

7.Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: .

8.Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

22

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 20

1. В прямоугольном параллелепипеде рассматриваются векторы , и

, где E и M – середины ребер и . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов

,

и .

2.

В

прямоугольном

параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны:

. Найти:

1) длину вектора

; 2) угол между вектором

и вектором

3) объем пирамиды, построенной на

векторах , и .

3.

Три вектора

,

и

имеют

общее начало. Вычислить площадь

треугольника, вершины которого совпадают с концами этих векторов.

4.

Прямые

и

являются диагоналями параллелограмма с вершинами

и

. Написать уравнения сторон параллелограмма, если площадь его равна 16 .

5.

Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости

, проходящей через точку

и удаленной от начала координат на расстояние

.

6.Написать уравнение прямой, параллельной прямым и , лежащей в одной с

ними плоскости, все точки которой равноудалены от прямых и .

7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: . 8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

23

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 21

1.В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы , и , где E, M и N – середины ребер DB, BC и AC. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .

2.В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника

ABC – прямой, длины ребер равны: . Найти: 1) длину вектора 2) угол между вектором и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на векторах , и .

3.Три вектора , , и вектор имеют общее начало.

Найти объем пирамиды, вершины которой совпадают с концами векторов			.
4. В треугольнике АВС заданы уравнения стороны		и стороны			, а также

медианы . Найти уравнение стороны АС.

5. Заданы две параллельные плоскости		и				. Написать уравнение

плоскости, параллельной заданным, не лежащей между ними, и такой, что расстояние до одной из них в два раза больше, чем до другой.

6.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку такую, что каждая точка пары параллельных прямых и равноудалена от этой плоскости.

7.Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: .

8.Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

.

24

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 22

1.В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы , и , где M и E – середины ребер DB и AD. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .

2.В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника

ABC – прямой,

длины ребер равны:

. Найти: 1) длину вектора

2) угол

между вектором

и вектором 3) объем параллелепипеда, построенного на векторах

, и .

3. Три вектора

,

,

и вектор

имеют общее начало.

Найти параметр

, если известно, что объем пирамиды с вершинами в концах векторов

равен 3.

4.В треугольнике АВС заданы уравнения высот и , проведенных из вершин B и C, а также координаты вершины . Найти уравнение стороны ВС.

5.Написать уравнение плоскости, параллельной вектору , отсекающей на осях и отрезки, по длине равные 3 и 4 соответственно.

6. При каком значении прямые

и

пересекаются?

7.Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:

.

8.Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

.

25

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 23

1.В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы , и , где E и M –

центры тяжести треугольников АВС и DBC . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .

2.В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника ABC – прямой, длины ребер равны: . Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между вектором и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на векторах , и .

3.Три вектора , , имеют общее начало в точке О. Найти площадь полной поверхности пирамиды с вершинами в концах векторов , , и точке О.

4.

В треугольнике АВС заданы уравнения медианы

и высоты

,

проведенных из вершины A, а также координаты вершины

.

Найти уравнение стороны АВ.

5.

Заданы две параллельные плоскости

и

. Написать уравнение

плоскости, лежащей между ними, и такой, что расстояние до одной из них в два раза больше, чем до другой.

6.Найти расстояние от точки до прямой .

7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:						.

8.Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

.

26

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 24

1. В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы			,				и		,	где P, M и
N – середины ребер АС, AB и BC. Представить вектор в	виде линейной комбинации векторов								,	и .

2.В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника

ABC – прямой, длины ребер равны:						. Найти: 1) длину вектора	; 2) угол

между вектором и вектором ; 3) объем параллелепипеда, построенного на векторах , и .

3.Три вектора , , имеют общее начало в точке О. Найти вектор с началом в точке О, симметричный вектору относительно плоскости векторов и .

4. В треугольнике АВС прямая				является медианой и высотой, проведенной из вершины

A. Ось ОХ является прямой медианы, проведенной из вершины Найти уравнение АС.

5.Треугольная пирамида задана вершинами , , и . Написать уравнение

плоскости, проходящей через середины ребер AD и BD параллельно ребру CD.

6. Написать уравнение плоскости, каждая точка которой равноудалена от двух параллельных прямых и .

7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:				.

8.Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

.

27

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 25

1.В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы , и , где E – центр тяжести треугольника DBC . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .

2.В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника

ABC – прямой, длины ребер равны:						. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между

вектором и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на векторах , и .

3.Три вектора , , имеют общее начало в точке O. Вектор симметричен вектору относительно прямой, содержащей вектор . Вектор симметричен вектору относительно прямой, содержащей . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

4.Точки , и являются серединами сторон АВ, BC и АС треугольника АВС. Найти уравнения сторон треугольника.

5.Треугольная пирамида задана вершинами , , и . Написать уравнение плоскости грани ADC и найти двугранный угол при ребре DC.

6. Написать уравнение прямой, каждая точка которой равноудалена от трех точек , и

7.Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: .

8.Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

.

28

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 26

1.

В треугольной призме

рассматриваются векторы

,

и

, где E и

M – середины ребер

и

.

Представить вектор

в виде линейной комбинации векторов

, и .

2.

Сторона

основания

правильной

треугольной призмы

(см. задачу 1)

равна 1, а ее высота

равна 3. Найти:

1) длину вектора

;

2)

угол между вектором

и вектором

3) объем пирамиды,

построенной на

векторах

, и .

3.

Три вектора

,

,

имеют общее начало в точке O и концы в точках

A, B и C соответственно. Точка M – середина отрезка OC. Найти площадь треугольника АВМ.

4.Точки и являются серединами сторон АВ и АС треугольника АВС. Найти уравнение стороны BC, если заданы координаты вершины

5.При каком значении α плоскость отсекает от координатных осей треугольную пирамиду объема 25?

6. Написать уравнение плоскости такой, что каждая точка прямых										и

равноудалена от этой плоскости.

7.Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:

.

8.Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

29

Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр Вариант 27

1.

В треугольной призме

рассматриваются векторы

,

и

, где E и

M

– середины

ребер

и

, а N – центр

грани

. Представить

вектор

в виде линейной

комбинации векторов ,

и .

2.

Сторона основания правильной

треугольной призмы (см. задачу 1) равна 2, а

ее высота равна 4. Найти:

1)

длину вектора

; 2) угол между вектором

и вектором

; 3) объем параллелепипеда, построенного

на векторах ,

и .

3.Три вектора , , имеют общее начало в точке O и концы в точках A, B и C соответственно. Точки М и N – середины отрезков BC и ОС. Найти площадь треугольника AMN.

4. Точка – середина стороны АС треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, если заданы координаты вершин и .

5. При каких значениях	,	плоскость				проходит через точку		и

перпендикулярна плоскости ?

6.Треугольная пирамида задана своими вершинами , , и . Написать уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины D.

7.Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: .

8.Для заданных матриц и решить матричное уравнение: ,

30