Михайлов Аналитическая геометрия Учебно-методическое пособие по курсу высшей математики для вечернего фак. 2009

Теорема 3.2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть три вектора a,b и c

линейно зависимы. Докажем их компланарность. По определению линейной зависимости в линейной комбинации

									(3.9)
				a	b	c 0
хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть									0 . То-
гда из соотношения (3.9) следует
									(3.10)
				c	a	b ,
где		,		. Следовательно, вектор				принадлежит плос-
							c
кости, в которой лежат векторы						и		так как получен их
					a		b ,

сложением. Компланарность векторов доказана.

2. Достаточность. Доказательство линейной зависимости компланарных векторов вытекает непосредственно из следствия 1 теоремы 3.1. Оговаривается при этом отсутствие в тройке векторов

		коллинеарных и нулевых, так как в этом случае линейная
a,b и	c

зависимость векторов оказалась бы их тривиальным следствием.

	Следствие 1. Три некомпланарные вектора			и		трехмер-
		a,b			c
	ного пространства линейно независимы.
	Доказательство. Интуитивно ясно, что вектор				,	не парал-
				c
			не может быть
	лельный плоскости, содержащей векторы a и b ,

представлен линейной комбинацией двух остальных, т.е. это – частный случай следствия 2 теоремы 3.1.

Теорема 3.3. Любые четыре вектора трехмерного пространства линейно зависимы.

Для доказательства теоремы в соответствии со следствием 1 теоремы 3.1 достаточно убедиться в том, что в системе векторов

a, b, c, d любой из векторов может быть представлен линейной комбинацией остальных. Приведем эти векторы к общему началу.

			можно по-
Построив параллелепипед на векторах a,	b и	c
70

добрать значения коэффициентов		,	и	так, чтобы вектор d
оказался диагональю параллелепипеда. Тогда очевидно, что
d	a	b		c .

Аналогичное представление можно получить для любого вектора из четырех. Теорема доказана.

При этом из рассмотрения исключаются тривиальные случаи наличия среди четырех векторов компланарных, коллинеарных и нулевых.

Определение 3.7. Три линейно независимых вектора			об-
	a,b и	c
разуют базис трехмерного пространства, если любой вектор
			d

может быть представлен линейной комбинацией этих векторов. Любая тройка некомпланарных векторов образует базис трех-

мерного пространства.

В соответствии с этим определением для любого вектора d

найдутся такие вещественные числа		,	и	, что будет справед-
ливо равенство
				.	(3.11)
d	a	b	c

Принято называть равенство (3.11) разложением вектора d по

				относи-
базису a, b, c а числа	, и координатами вектора d
тельно данного базиса.
		по базису		единст-
Теорема 3.4. Разложение вектора d			a, b, c

венное.

Доказательство проведем методом «от противного». Допустим,
что существует второе разложение вектора d
				(3.12)
d	a	b	c .
Вычтем второе разложение из первого. Получим в итоге
				(3.13)
a		b	c 0 .

Из линейной независимости базисных векторов следует что, коэффициенты разложения, представленные круглыми скобками, обращаются в нуль, то есть:

0,

0,

0.

(3.14)

Единственность разложения доказана.

71

Теорема 3.5. При сложении двух векторов d1								и d2 их коорди-
наты относительно любого базиса
						a,b, c складываются. При ум-
ножении вектора d1			на число		все его координаты умножаются
на это число.
Доказательство. Пусть
d1	1 a	1	b	1 c ,	d2	2 a	2	b	2 c .

Тогда в силу свойств 1–7 линейных операций будут справедливы соотношения:

d1	d2	1	2	a	1	2	b	1	2 c ,	(3.15)
	d1		1	a		1	b	1	c .	(3.16)
Теорема доказана.
3.3. Вектор в декартовой прямоугольной
			системе координат
Определим проекцию вектора					a	M1M 2		на ось Ox. Проекции
точек М1 и М2	на ось Ох – точки М1х					и М2х. Это точки пересечения
с осью Ох плоскостей			1 и	2 , проведенных через точки М1 и М2

перпендикулярно оси Ох (рис. 3.3). Проекцией вектора ПрOx M1M 2 на ось Ох называется величина отрезка М1хМ2х:

ПрOx M1M 2 X x2 x1 .

(3.17)

Здесь х1 и х2 – координаты точек начала и конца отрезка М1хМ2х.

Рис. 3.3

72

С другой стороны, если перенести вектор М1М2 (оставляя его параллельным исходному положению) до совмещения точек M1 и

M1x то проекцию вектора M1M 2

можно представить так:

ПрOx M1M 2

M1M 2

cos .

(3.18)

Проекция вектора a M1M 2 на ось Ох

ПрOxa

X

x2

x1

a

cos

.

(3.19)

на оси Оу и Оz:

Аналогично представляются проекции вектора a

ПрOy a

Y

y2

y1

a

cos ,

(3.20)

ПрOz a

Z

z2

z1

a

cos .

(3.21)

В трехмерном пространстве принято использовать базис из трех

взаимно ортогональных векторов единичной длины	i , j	и k , кото-

рые являются ортами осей декартовой прямо-угольной системы координат. Такой базис называется ортонормированным.

	Вектор a может быть разложен по базису									i , j , k , то есть
				a	X	i	Y	j	Z	k .	(3.22)
	Коэффициенты разложения Х,
Y,	Z, опрелены	однозначно, так
как равны проекциям вектора
						a
на	оси координат. Если			совмес-
тить начало вектора
			a с началом
координат (рис. 3.4), то					вектор
						на
a	OA . Проекции вектора a
оси координат равны величинам
отрезков OAx ,OAy ,OAz .
	В соответствии		с правилами							Рис. 3.4
сложения векторов
			OA		OAx	OAy		OAz .			(3.23)
	С учетом соотношений (3.19), (3.20) и (3.21) можно записать:
	a	x2	x1	i	y2		y1	j	z2	z1	k
						73

a

i

cos

j cos

k cos

a

ea ,

(3.24)

где ea

– орт вектора

a . Разложение орта по базису

i ,

j , k

имеет

вид

cos .

(3.25)

ea

i

cos

j cos

k

В соответствии с теоремой Пифагора для трехмерного случая

1

cos2

cos2

cos2

,

(3.26)

e

a

а также

X 2

Y 2

Z

2

x

x 2

y

y

2

z

z 2

.

(3.27)

a

2

2

2

1

1

1

Принято называть cos

, cos

и cos

направляющими косину-

сами вектора

,

и

– углы между вектором и осями Ox, Oy

a ,

и Oz .

cos

X

,

X 2

Y 2

Z 2

cos

Y

,

(3.28)

X 2

Y 2

Z 2

cos

Z

.

X 2

Y 2

Z 2

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 752, 757, 763, 781, 784,

785.

Вопросы для повторения

1.Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Системы аксиом для операций сложения векторов и умножения вектора на число.

2.Линейная зависимость векторов – определение. Теорема о линейной зависимости векторов и еѐ следствия.

3.Базис трехмерного пространства – определение. Разложение вектора по базису и координаты вектора относительно базиса. Теорема о единственности разложения вектора по базису. Теорема о преобразованиях координат вектора при сложении векторов и умножении вектора на число.

74

4.Ортонормированный базис в трехмерном пространстве. Орты декартовых осей координат. Правая и левая системы ортов и осей координат.

5.Проекции вектора на оси декартовой системы координат. Направляющие косинусы вектора. Орт вектора и его представление через направляющие косинусы.

4.ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Определение 4.1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

						cos	(4.1)
a	b	a		b

(скалярное произведение принято обозначать круглыми скобками). Используя представление проекции вектора на другой вектор,

можно записать

a	b	a		b	cos	a	Пр b	b	Пр a .	(4.2)
							a		b

Теорема 4.1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. Если оба вектора ненулевые, то доказательство необходимости и достаточности утверждения теоремы следует из того факта, что необходимым и достаточным условием равенст-

ва нулю cos

является условие

2 k

, то есть

cos

2

k

0 .

(4.3)

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1)

a

b

b

a ;

2)

− число;

a

b

a

b , где

3)

;

a

b

c

a

c

b

c

4)

0 ,

0

, если

0 .

a a

0 , если a

a a

a

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, вынося за скобки числовые множители.

75

	на вектор			равна скаляр-
Теорема 4.2. Проекция вектора b			a
ному произведению вектора b на орт вектор		a .

Доказательство. Из соотношения (4.2) следует, что

	a b
Прab
		a

Теорема 4.2. Если вектора

жений по базису i , j, k :

	a
		b	ea	b .	(4.4)
	a
			представлены в виде разло-
a	и b

a	X1 i	Y1 j	Z1 k ,	b	X 2 i	Y2 j	Z2 k , (4.5)

то скалярное произведение этих векторов равно следующему выражению:

(a b)

X1

X 2

Y1

Y2

Z1

Z2 .

(4.6)

Доказательство. Перемножив векторные многочлены (4.5), по-

лучим:

a b X1X 2 i i

X1Y2 i j

X1Z2 i k Y1X 2 j i

Y1Y2

j

j

Y1Z2

j

k

Z1X 2 k

i

Z1Y2

k

j

(4.7)

Z1Z2 k k X1X 2

Y1Y2

Z1Z2 ,

поскольку

(i

i )

( j

j )

(k

k )

1,

(4.8)

а остальные скалярные произведения ортов

i ,

j, k ,

ввиду их орто-

гональности, обращаются в нули.

Следствие 1.

X

cos

Y

cos

Z

cos .

(4.9)

Пр b

b

e

2

1

1

2

a

a

2

1

Здесь орт вектора

a

cos

cos

(4.10)

e

i

1

j

1

k

cos .

a

1

Следствие 2.

a b

X1X 2

Y1Y2

Z1Z2

cos

.

(4.11)

a

b

X12

Y12

Z12

X 22

Y22

Z22

Определение 4.2. Векторным произведением

вектора

на

a

вектор b называется вектор

c

, обозначаемый символом c

[a b ]

76

(векторное произведение обозначают									квадратным		скобками) и
удовлетворяющий трем требованиям:
1)
	вектор c ортогонален к каждому из векторов									a	и b ,
2)
	длина вектора c равна произведению модулей перемножае-
мых векторов на синус угла между ними:
								sin	,		(4.12)
		c		a		b
3)
	упорядоченная тройка векторов a, b, c является правой.

Определение 4.3. Упорядоченная тройка некомпланарных век-

торов a, b, c является правой, если, после приведения векторов к
		располагается так, что из его конца
общему началу, вектор c
кратчайший поворот от
	a	к b виден происходящим в направле-

нии против часовой стрелки. (В противном случае тройка векторов считается левой.)

Это утверждение справедливо для тройки векторов i , j, k и

для системы декартовых координат в пространстве.

Векторное произведение имеет следующие алгебраические свойства:

1)
	[a b]		[b	a] (антиперестановочность);
2)
	[{ a} b]			[a b] ,
3) [{
		b} c] [a c] [b c],

4)a a 0 .

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Если a 0 и b 0 , то доказательство необходимости и достаточности утверждения теоремы следует из (4.12)

и того факта, что условие sin	0 при	0 также является необ-
ходимым и достаточным.
Теорема 4.4. Модуль векторного произведения [a			b ] равняется

площади S параллелограмма, построенного на приведенных к об-

щему началу векторах a и b .

77

Доказательство. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними. Доказательство теоремы следует из формулы (4.12).

Теорема 4.5. Если векторы представлены разложениями по ба-

зису i , j, k :

a	X1 i Y1	j Z1	k ,	b X 2 i Y2		j Z2	k ,

то их векторное произведение имеет вид:

		i	j	k
a	b	X1	Y1	Z1		.
		X 2	Y2	Z2

Доказательство. Перемножив векторные многочлены получим, что

a b X1X 2 i i

X1Y2 i j X1Z2

i k Y1X 2 j i

Y1Y2 j j Y1Z2 j k Z1X 2 k i Z1Y2 k j Z1Z2

k k

i Y1Z2

Y2Z1

j Z1X 2

Z2 X1

k X1Y2 X 2Y1

Y

Z

X

Z

X

Y

i

1

1

j

1

1

k

1

1

.

Y2

Z2

X 2

Z2

X 2

Y2

(4.13)

(4.14)

(4.13),

(4.15)

Третья строка выражения (4.15) получена с учетом того, что

i i

0, i j

k , i k

j , j i

k , j j 0,

(4.16)

j k

i ,

k i

j,

k j

i ,

k k

0.

(Знак минус в этих произведениях получается вследствие нару-

шения порядка в тройке ортов i j k .)

Очевидно, что выражение (4.15) есть разложение определителя (4.14) по элементам первой строки.

Теорема доказана.

	Следствие.		Если два вектора a	X1i	Y1 j	Z1k	и
b	X 2i	Y2 j	Z2k коллинеарны, то координаты их пропорцио-

нальны, т.е.

78

X1		Y1		Z1	.	(4.17)
X 2		Y2		Z2

Доказательство. Поскольку векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, из соотношения (4.15) следует, что

Y1Z2 Y2Z1, Z1X2 Z2 X1, X1Y2 X2Y1 . (4.18)

Из первого равенства после деления на произведение Y2Z2 по-

	лучим пропорцию	Y1		Z1	. Аналогичным образом из второго ра-
		Y2		Z2
	венства получаем пропорцию					Z1		X1	. Следствие доказано.
						Z2		X 2

В пропорции (4.17) возможно появление нулей в знаменателе. В соответствии с (4.18) это означает, что соответствующий числитель тоже равен нулю.

Для последующих выкладок нам удобно считать, что
					[a b ]	d .
Следствие 1. Если		−орт вектора
	e		d , а S	| [a b] | − пло-
		d

щадь параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, приведенных к общему началу, то

					S			(4.19)
		d | [a b] |		e		e .
				d		d
	Определение 4.4. Если
			векторное произведение [a b ] умно-
жить скалярно на вектор
			c , то число ( [a b]				c ) называется сме-
шанным произведением векторов a, b и c .
	Теорема 4.6. Смешанное произведение ([a b]							c ) равно объѐму
параллелепипеда,		построенного на приведенных к общему началу
векторах a, b и		c , взятому со знаком плюс, если тройка векторов
правая, и со знаком минус, если тройка
						abc левая. Если же пере-
множаемые векторы компланарны, то						их смешанное произведе-
ние ровно нулю (рис. 4.1).
	Доказательство. Тривиальный случай коллинеарности векторов
a	и b исключим, так как векторное произведение коллинеарных
			79