Михайлов Аналитическая геометрия Учебно-методическое пособие по курсу высшей математики для вечернего фак. 2009

Пример 6.3. Задано уравнение пучка плоскостей

A1x

B1y

C1z

D1

A2x B2 y

C2z

D2

0 ,

(6.25)

и

плоскость

3

A3x

B3 y C3z

D3

0 .

Составить уравнение

плоскости, принадлежащей пучку, параллельной плоскости

3 .

Решение. Преобразуем уравнение (6.25):

A1

A2 x B1

B2

y C1

C2 z D1

D2

0 .

Это – уравнение искомой плоскости. Его нормальный вектор,

имеющий вид

C2 ,

n A1

A2 , B1

B2 , C1

параллелен вектору n3

A3, B3,C3

. Условие параллельности век-

торов

A1

A2 B1

B2

C1

C2

A3

B3

C3

содержит единственную неизвестную величину

. Определив чис-

ло

и подставив его в уравнение (6.25), получим уравнение иско-

мой плоскости.

Связка плоскостей есть множество плоскостей, имеющих одну

общую точку

M0 x0 , y0 , z0 .

Уравнение связки плоскостей имеет

вид A x

x0

B y

y0

C z

z0

0 .

В этом уравнении фиксированы координаты точки М0, а коэф-

фициенты

A, B, C произвольные числа, не обращающиеся в нуль

одновременно.

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 913, 919, 920, 927, 931,

942, 946, 952, 961, 964, 973.

Вопросы для повторения

1.Общее уравнение плоскости. Векторное истолкование уравнения плоскости. Нормальный вектор плоскости. Уравнения плоскостей частного положения. Уравнение плоскости «в отрезках». Геометрическая интерпретация. Основные задачи, решаемые с помощью уравнений этих типов.

2.Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

100

3.Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум заданным векторам.

4.Нормальное уравнение плоскости. Нормирующий множитель. Отклонение точки от плоскости. Основные задачи для нормального уравнения плоскости.

5.Определение пучка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей. Основные задачи для уравнения пучка.

7.ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

ВТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

	A1x B1 y	C1z D1	0,	(7.1)
	A2 x B2 y	C2 z D2	0.

Часто удобнее канонический вид уравнения прямой.

	l, m, n , парал-
Определение 7.1. Любой ненулевой вектор q

лельный данной прямой будем называть направляющим вектором прямой.

Пример 7.1. Составить уравнение прямой L, проходящей через

точку M1 x1, y1, z1 параллельно вектору q	l, m, n .
Решение. Рассмотрим вектор M1M	x x1 , y y1 , z z1 ,

начало которого совпадает с точкой M1 , а конец − в произвольной точке M x, y, z (рис. 7.1).

Чтобы точка М лежала на прямой L,

вектор	M1M должен						быть		параллелен
вектору q . Условие параллельности век-
торов	состоит			в		пропорциональности
сходственных координат, из чего следует
Рис. 7.1		x x1			y	y1		z	z1	.	(7.2)
		l				m		n
101

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой в

пространстве.

Приравняв выражение (7.2) параметру t , получим параметри-

ческие уравнения прямой.

x	x1	l	t,
y	y1	m t,		(7.3)
z	z1	n	t.

Эти уравнения имеют наглядное физическое истолкование. Если

принять, что t − время, а					– вектор скорости, то
	v	i l	j m	k n

уравнения (7.3) − это три проекции уравнения движения точки на координатные оси.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Зададим точки M1 x1, y1, z1

и

M2

x2 , y2 , z2

и примем,

что на-

правляющий вектор

q M1M 2

x2

x1 ,

y2

y1 ,

z2 z1 .

(7.4)

Из уравнения (7.2),

подставив в него выражение (7.4), получим

x

x1

y

y1

z

z1

.

(7.5)

x2

x1

y2

y1

z2

z1

Чтобы привести к каноническому виду уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей, нужно найти направляющий вектор прямой и точку, лежащую на прямой. Длина вектора − произвольная, точка, лежащая на прямой, − любая.

Пусть прямая есть линия пересечения плоскостей

	A1x B1 y C1z D1		0,	(7.6)
	A2 x B2 y C2 z D2		0.
	Направляющий вектор прямой q ортогонален каждому из нор-
		A1, B1,C1		A2 , B2 ,C2 .
	мальных векторов плоскостей n1		и n2

Поэтому определим вектор q , как векторное произведение нормальных векторов

102

0 . Пусть в полученной системе уравнений

i

j

k

B

C

A

C

A

B

A1

B1

C1

1

1

1

1

1

1

q

i

B2

C2

j

A2

C2

k

A2

B2

. (7.7)

A2

B2

C2

Компоненты вектора

будут иметь вид

q

B1

C1

C1

A1

A1

B1

.

(7.8)

l

B2

C2

;

m

C2

A2

;

n

A2

B2

Для определения координат точки, лежащей на прямой, добавим в систему уравнений (7.6) уравнение третьей плоскости. Удобно добавить одну из координатных плоскостей x 0, y 0 или z 0 .

Чтобы получающаяся система уравнений второго порядка имела единственное решение, еѐ главный определитель не должен обращаться в нуль. Это накладывает ограничения на выбор координатной плоскости.

Пусть z

A1x

B1 y

D1

0,

(7.9)

A2 x

B2 y

D2

0.

главный определитель

A1

B1

0 .

Тогда координаты иско-

A2

B2

мой точки определяются по формулам Крамера

D1

B1

A1

D1

x

D2

B2

;

y

0

A2

D

2

; z

0

0 .

(7.10)

0

A1

B1

A1

B1

A2

B2

A2

B2

Искомое каноническое уравнение запишем в следующем виде

x

x0

y

y0

z

0

(7.11)

B1

C1

C1

A1

A1

B1

B2

C2

C2

A2

A2

B2

Угол между прямыми, а также условия перпендикулярности и параллельности прямых очевидным образом связаны с соответ-

103

ствующими соотношениями между их направляющими векторами

q .

cos

q1

q2

l1 l2

m1

m2

n1

n2

.

(7.12)

q1

q2

l12

m12

n12

l22

m22 n22

Условие перпендикулярности двух прямых:

l1 l2

m1

m2

n1 n2

0 .

(7.13)

q1

q2

Условия параллельности прямых:

l1

m1

n1

(7.14)

l2

m2

n2

(ноль в знаменателе в этой пропорции означает, что соответствующий числитель тоже обращается в ноль.)

Угол между плоскостью
Ax		By		Cz	D		0		(7.15)
и прямой
	x	x1		y	y1		z	z1	(7.16)
		l		m			n

определяется как дополнительный к углу между нормальным век-

тором плоскости

A, B, C

и направляющим вектором прямой

n

. Если угол между векторами обозначить , а угол меж-

q l, m, n

ду прямой и плоскостью

, то

2

. Следовательно:

A l

B m

C

n

cos

n q

sin . (7.17)

n

q

A2

B2

C2

l2

m2

n2

Условие перпендикулярности векторов

и

n

q

A l

B m

C n

0

(7.18)

n q

соответствует параллельности прямой и плоскости, а условие па-

раллельности векторов n и q

A B C

l m n

(7.19)

означает перпендикулярность прямой и плоскости.

Для того чтобы прямая (7.16) принадлежала плоскости (7.15), должны быть выполнены два условия:

1) условие параллельности прямой и плоскости

104

A l

B m

C n

0 ;

(7.20)

2) координаты точки

M1 x1, y1, z1

,

принадлежащей

прямой,

должны обращать уравнение плоскости в тождество

A x1 B y1

C z1

D

0 .

(7.21)

Для того чтобы две прямые

x

x1

y

y1

z

z1

(7.22)

l1

m1

n1

и

x

x2

y

y2

z

z21

(7.23)

l2

m2

n2

принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы

три вектора
			,
q1	l1, m1, n1 , q2	l2 , m2 , n2
M1M 2	x2 x1 , y2	y1 , z2	z1
были компланарны.

Приравняв нулю смешанное произведение этих векторов, получим условие принадлежности двух прямых к одной плоскости:

		x2	x1	y2 y1	z2	z1
M1M 2 q1	q2		l1	m1	n1		0 .	(7.24)
			l2	m2	n2

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 983, 985, 991, 1003, 1005, 1007, 1009, 1012, 1018, 1024, 1029, 1030.

Вопросы для повторения

1.Каноническое уравнение прямой в пространстве. Направляющий вектор прямой. Векторное истолкование канонического уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

2.Представление прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостей, каноническим уравнением.

3.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

105

8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пример 8.1. Найти точку пересечения прямой

	x	x1		y	y1		z z1	(8.1)
		l		m			n
и плоскости
Ax		Dy		Cz		D	0 .	(8.2)

Решение. Приравняем выражение (8.1) к параметру t и выразим

через него x, y и z :
	x	x1		y	y1			z	z1	t ,	(8.3)
		l			m				n
				x	x1		l t,
				y	y1		m t,				(8.4)
				z	z1		n		t.
Подставим x, y и z из (8.4) в уравнение плоскости
A x1 l t		B	y1		m t			C	z1 n t D 0 .		(8.5)

Координаты точки пересечения прямой и плоскости получим, подставив значение t0 , найденное из (8.5), в уравнения (8.4):

	x0		x1	l		t0 ,
	y0		y1	m t0 ,					(8.6)
	z0		z1	n		t0.
Пример 8.2. Составить уравнение плоскости, проходящей									че-
рез точку M2 x2 , y2, z2 и прямую
	x x1		y	y1			z z1	.	(8.7)
	l		m				n

Решение. Положение искомой плоскости определяют два векто-

ра: направляющий вектор прямой q		l, m, n	и вектор
M1M2	x2 x1 , y2	y1 , z2	z1 ,
точка начала которого	M1 x1, y1, z1	принадлежит прямой. Введем
в рассмотрение «свободный вектор»
	106

M1M x x1 , y y1 , z z1,

конечная точка которого M x, y, z − произвольная точка про-

странства. Чтобы эта точка принадлежала искомой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три рассматриваемые вектора были компланарны, а их смешанное произведение равнялось нулю. Исходя из этого запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме:

	x	x1	y	y1	z	z
M1M M1M 2 q	x2	x1	y2	y1	z2	z1	0 . (8.8)
		l		m		n

Частным случаем рассмотренной задачи является задача о плоскости, проходящей через две параллельные прямые. В этом случае точка M2 x2 , y2 , z2 берется со второй прямой

x

x1

y

y1

z

z1

,

(8.9)

l1

m1

n1

x

x2

y

y2

z

z21

(8.10)

l1

m1

n1

и ход решения повторяется.

Пример 8.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно второй.

x	x1		y	y1			z	z1	,		(8.11)
	l1			m1				n1
x	x2		y	y2			z	z21		.	(8.12)
	l2			m2				n2

Решение. Ориентацию в пространстве искомой плоскости опре-

деляют направляющие вектора прямых
q1	l1, m1, n1 и q2		l2	, m2 , n2 .
Введем в рассмотрение «свободный вектор»
	M1M	x x1 , y y1 , z z1 ,
конечная точка	которого	M x, y, z	−	произвольная точка про-

странства, а начальная точка M1 x1, y1, z1взята с первой прямой.

107

Из условия компланарности рассматриваемых векторов запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме.

		x	x1	y y1 z		z1
M1M q1	q2		l1	m1	n1		0 .	(8.13)
			l2	m2	n2

Пример 8.4. Составить уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых

x

x1

y

y1

z

z1

,

(8.14)

l1

m1

n1

x

x2

y

y2

z

z21

.

(8.15)

l2

m2

n2

Решение. Направляющий вектор

l3, m3, n3

искомой прямой

q3

вычисляем как векторное произведение направляющих векторов

заданных прямых

q1

l1, m1, n1

и

q2

l2 , m2 , n2 .

Так как по условиям задачи

q3

перпендикулярен q1

и q2 , то

q3

q1

q2

i

j

k

m

n

l

n

l

m

l

m

n

i

1

1

j

1

1

k

1

1

.

(8.16)

1

1

1

m2

n2

l2

n2

l2

m2

l2

m2

n2

Из условия компланарности векторов

q1 ,

q3 и свободного век-

тора M1M

x

x1 ,

y

y1 ,

z

z1

, начальная

точка

которого

M1 x1, y1, z1 взята с первой прямой, запишем в матричной форме уравнение плоскости, проходящей через первую прямую парал-

лельно вектору q3 :

		x	x1	y y1	z	z1
M1M q1	q3		l1	m1	n1		0 .			(8.17)
			l3	m3	n3
Аналогично, из условия компланарности векторов q2								,	q3	и сво-

бодного вектора

108

M 2M x x2 , y y2 , z z2 ,

начальная точка которого M2 x2 , y2 , z2 взята со второй прямой, запишем в матричной форме уравнение плоскости, проходящей

через вторую прямую параллельно вектору						:
					q3
		x	x1	y	y1	z	z1
								0 .	(8.18)
M 2M q1	q3		l2	m2		n2
			l3	m3		n3

Линия пересечения этих плоскостей и есть искомый общий перпендикуляр.

Чтобы получить искомый общий перпендикуляр в каноническом виде, можно найти точку M0 x0 , y0 , z0 , в которой пересека-

ется вторая прямая с плоскостью (8.17) (способ нахождения этой точки рассмотрен в примере 8.1), и записать каноническое уравне-

ние прямой, проходящей через точку							M0		с направляющим векто-
ром		:
	q3
			x x0		y y0			z	z0	.	(8.19)
			l3		m3			n3

Пример 8.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M3 x3, y3, z3 и пересекающейся с каждой из скрещивающихся прямых

x

x1

y

y1

z

z1

(8.20)

l1

m1

n1

и

x

x2

y

y2

z

z2

.

(8.21)

l2

m2

n2

Решение. Через точку M3 и каждую из прямых можно провести

плоскость (пример 8.2). Линия пересечения этих плоскостей и есть искомая прямая.

Задачи для самостоятельного решения [2]: № 1039, 1044, 1050, 1052,

1066, 1071, 1072, 1078, 1083.

109