Сандаков Сборник домашних заданий по теории функций комплексного переменного 2009

15)v(x, y) =

16)v(x, y) =

17)u(x, y) =

ex[(x +1)sin y − y cos y] ; (x +1)2 + y2

ex (cos xsin y ch y −sin x cos y sh y) ;

ex[(x +1) cos y + y sin y] ; (x +1)2 + y2

18)u(x, y) = ex [(x +1) cos y − y sin y] ;

19)v(x, y) = ex [( y +1) cos y + xsin y] ;

20)u(x, y) = x cos(x +1)ch y + y sin(x +1)sh y ;

21)v(x, y) = y sin x ch( y +1) + x cos xsh( y +1) ;

22)u(x, y) = ex [x cos y −( y +1)sin y] ;

23)v(x, y) = ex [(x +1)sin y + y cos y] ;

24)u(x, y) = xsin x ch( y +1) − y cos xsh( y +1) ;

25)v(x, y) = y cos(x +1) ch y − xsin(x +1)sh y .

11

§ 5. Интеграл от функции комплексной переменной

Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по

заданной кривой:

1)

∫

z Re zdz , где C – отрезок прямой от точки z1

= –1 + 2i до

C

точки z2 = 2 + i;

2)

∫

z Im z2dz , где С:

z

= 2 ,

0 ≤ arg z ≤ π и обход по кривой С

C

совершается по часовой стрелке;

3)

∫

dz

, где С:

z − z0

= r ; −π≤arg z ≤ 0 и контур С об-

)2

C (z − z

0

ходится против часовой стрелки;

4)

∫

z Re z2dz , где С:

z

= 2 ,

π≤ arg z ≤ 2π и контур С обходит-

C

ся против часовой стрелки;

5)

∫

z

z2dz , где С:

z

=3 , Re z ≥ 0 и контур С обходится по ча-

C

совой стрелке;

6)

∫

z Re z3dz , где С:

z

= 2 , Im z ≤ 0 и контур С обходится про-

C

тив часовой стрелки;

7)

∫ zz3dz , где С:

z

= 2 , Re z ≥ 0 и контур С обходится против

c

часовой стрелки;

С –

ABC,

8)

∫

(z +1)

z

dz ,

где

ломаная

zA =0 ,

zB = −1 +i ,

C

zC =1 +2i ;

9)

∫

z2ez3 dz , где С –

ломаная

ABC,

zA =1 +2i , zB =0 ,

C

zC = −2 −i ;

z2

10) ∫

dz , где С – граница области {1 <

z

< 2, Re z >0} и С

C

z

обходится в положительном направлении;

11) ∫

cos zdz , где С – ломаная ABC, zA =0 ,

zB =1 ,

zC = 2i ;

C

12

	12) ∫	z	dz , где С – граница области {1 <		z		< 2 , Im z > 0} и кон-
	C z
	тур С обходится в положительном направлении;

13)∫C z2 zdz , где С – граница области { z < 2 , Re z <0} и контур

Собходится в положительном направлении;

14)

∫

ez Re zdz ,

где

С

–

отрезок

прямой

AB,

zA =1 −i ,

C

zB = −2 +i ;

z

15)

∫

Re

dz , где С – граница области {1 <

z

< 2 ,

Re z >0 ,

C

z

Im z > 0} и контур С обходится в положительном направлении;

16)

∫

z Re z2dz ,

где С – граница области

{

z

< 2 ,

Im z <0} и

C

контур С обходится в положительном направлении;

17)

∫

ch 2zdz , где С –

ломаная ABC: zA =1 +i ,

zB = −1 + 2i ,

C

zC = 2 +3i ;

С

ABC:

18)

∫

sin 2zdz ,

где

–

ломаная

zA =1 ,

zB = 2 +i ,

C

zC =3 −i ;

19)

∫ cos(iz)dz , гдеС– ломанаяABC: zA =1 −i ,

zB = 2 +i , zC =0 ;

C

z

dz , где С – граница области

z

π

<arg z <

3π

20)

1 <

< 2,

∫C z

4

4

и контур С обходится в положительном направлении;

21)

∫

z2 Re z2dz , где

С –

ломаная

ABC:

zA =1 −i ,

zB = −1 ,

C

zC = 2 +i ;

С –

ABC:

22)

∫

sin(iz)dz ,

где

ломаная

zA =1 +i ,

zB = 2 −i ,

C

zC = −1 +i ;

23)

∫

z2 Im z2dz , где

С –

ломаная

ABC:

zA =i ,

zB = 2 −i ,

C

zC =1 +2i ;

24)

∫

z Im z3dz ,

где

С –

ломаная

ABC:

zA = −1 +i ,

zB = −i ,

C

zC =1 +2i ;

С –

ABC:

25)

∫

cos 2zdz ,

где

ломаная

zA = −1 ,

zB =1 +2i ,

C

zC = 2 −i .

13

§ 6. Конформные отображения

1. Во что преобразуется кольцо 2 < z < 4 при отображении

W= zz +−12 ?

2. Найти конформное отображение области { z −i < 2 , Im z <1}

на верхнюю полуплоскость.

3. Во что преобразуется область D ={z : Im z >0 , Re z <0} при отображении W = zz +−ii ?

4. Отобразить множество Im z > 0 с выброшенным полукругом z ≤1 конформно на полуплоскость Im W > 0.

5. Найти образ полукруга z <1 , Im z >0 при отображении W =

=2z −i .

2 +iz

6.Отобразить конформно на верхнюю полуплоскость область

{ z <1∩ z −i >1} .

	7. В какую область функция W =					2		отображает область
						z −1
	{1 <		z		< 2} ?

8.Отобразить конформно на верхнюю полуплоскость область

{z −2 < 2 ∩Im z >0} .

9.Отобразить конформно на верхнюю полуплоскость полосу

0 < Im z < 2 .

10.	Найти конформное отображение области {		z		<1∩		z −i		<1}
на правую полуплоскость ReW >0 .
11.	Отобразить конформно полосу, заключенную между прямы-

ми y = −x и y = −x +b на верхнюю полуплоскость.

14

12.Найти конформное отображение области

{z −1 < 2 ∩ z +1 < 2}

на верхнюю полуплоскость ImW >0 .

13.В какую область функция W = zz +−11 отображает область

{z −1 < 2 ∩ z +1 < 2} ?

14.Найти конформное отображение области

{z <1∩ z −1 −i >1}

	на верхнюю полуплоскость ImW >0 .		1	− z
	15. В какую область функция W =				отображает область
		1		+ z

{z >1 , Im z > 0} ?

16.Найти конформное отображение области

				3π
	D =	z	<1∩0 < arg z <
				4

	на верхнюю полуплоскость.
	17.	В какую область функция W =	z +2	+i		отображает область
			z +1	−i
	Re z > 2 ?
	18.	Найти конформное отображение области

D ={ z <1∩ z −1 −i <1}

на верхнюю полуплоскость ImW >0 .

19.Найти конформное отображение первого квадранта с разрезом по отрезку [0;1 +i] на верхнюю полуплоскость ImW >0 .

20.Найти конформное отображение круга z <1 с разрезом по

действительному положительному радиусу на верхнюю полуплоскость.

21. Найти конформное отображение верхней полуплоскости Im z >0 с разрезом по части окружности z =1 , лежащей в первом квадранте на верхнюю полуплоскость ImW >0 .

15

	22.	В какую область функция W =	z −1	отображает область
			z −2
	1 < Re z < 2 ?
	23.	Найти конформное отображение полосы −π< Re z < π с раз-

резом по положительной части мнимой оси на верхнюю полуплоскость ImW >0 .

	24.	В какую область функция	W =	2z −i	отображает область
				2 +iz
	Re z >0 , Im z >0 ?
							π		π
	25.	Найти конформное отображение полосы				−		< Im z <		с
							2		2

разрезом по отрицательной части вещественной оси на верхнюю полуплоскость ImW >0 .

16

§ 7. Разложение в ряд Тейлора

Заданную функцию f(z) разложить в ряд Тейлора в точке z0:

1)

f(z) =

1

в точке z0

=0

;

+ z)(1 + z2 )2

(1

2)

f(z) =

z

в точке z0

=0 ;

(z2 +1)(z2 +4)

3)

f(z) =

z

в точке z0

= −2 ;

(z +

1)(z2

+4z +

5)

4)

f(z) =

z +5

в точке z0

=1;

(z +

1)(z2

−2z +

5)

5)

f(z) =

2 − z

в точке z0 = −1

;

z3 +2z2 +5z

6)

f(z) = ln

1 + z

в точке z0 =0 ;

1 − z

7)

f(z) =

z

в точке z0

=1;

(z +

1)(2 − z)

8)

f(z) =

z

в точке z0 =0 ;

1 − z2

9)

f(z) =

z2 +1

в точке z0 = 2

;

z2 −4z +

5

10)

f(z) =

z

в точке z0 =0

;

− z2 )2

(1

11)

f(z) =

z

в точке z0 =0

;

− z6 )2

(1

12)

f(z) =

z

в точке z0 =0 ;

+ z)3

(1

17

13)

f(z) = arcsin z

в точке z0 =0 ;

14)

f(z) =

z +3

в точке z0 =1;

(z +2)(z2

−2z +5)

15)

f(z) =

2z

в точке z0 =0 ;

4 − z2

16)

f(z) = ln

2 + z

в точке z

=1;

z

0

f(z) =

1

z0

1

17)

arctg

1 +

в точке

= −

2

;

z

18)

f(z) =

z

в точке z0 = −1;

z2 +2z +5

19)

f(z) =

2z +1

в точке z0 = −1;

(z2 +2z

+2)(z2 +2z +5)

20)

f(z) =

z2

в точке z0 =0 ;

(1 + z2 )2

21)

f(z) =

z2 +5

в точке z

=1;

z2 +7z +12

0

22)

f(z) =

z

в точке z0 = −1;

(z2 −4z

+3)2

23)

f(z) =

z +2

в точке z0 =0 ;

z4 +2z2

−3

24)

f(z) =

z2 + z +1

в точке z =1;

(z2 −5z +6)2

0

25)

f(z) =

z +1

в точке z0 =0 .

8 − z3

18

§ 8. Разложение в ряд Лорана

Заданную

функцию f(z) разложить в ряд Лорана в кольце

a <

z − z0

<b и в окрестности точки z = ∞ :

1)

f(z) =

2z +1

z −1

в кольце 2 <

< 4 и в окрест-

(z +3)(z2 + 4z +3)

ности точки z = ∞ ;

2)

f(z) =

1

в кольце 0 <

z

<3 и в окрестности z = ∞ ;

z2 (z −3)

3)

f(z) =

2z

в кольце 0 <

z +1

< 2 и в окрестности z = ∞ ;

z2 −1

4)

f(z) =

1

в кольце 0 <

z

< 2 и в окрестности z = ∞ ;

z3 (z + 2)

5)

f(z) =

3z

в кольце

0 <

z +1

< 4 и в окрестности

(z +1)(z −3)

z = ∞ ;

z +1

6)

f(z) =

в кольце 0 <

z

<1 и в окрестности точки

z2 (z −1)

z = ∞ ;

3z + 2

7)

f(z) =

в кольце 0 <

z

< 2 и в окрестности z = ∞ ;

z3 (z + 2)

8)

f(z) =

1

в кольце 0 <

z + 2

<3 и в окрестности

(z −1)2 (z + 2)2

z = ∞ ;

4z

9)f(z) = (z −1)2 (z + 2) в кольце 0 < z −1 <3 и в окрестности точки z = ∞ ;

19

10)

f(z) =

2z

в

кольце

1 <

z

< 2 и в окрестности

(z −1)(z + 2)

z = ∞ ;

11)

f(z) =

z2 +1

в кольце

0 <

z +1

<3 и в окрестности

(z +1)2 (z −2)

точки z = ∞ ;

12)

f(z) =

z2 + z

в кольце

0 <

z + 2

<3 и в окрестности

(z + 2)2 (z −1)

точки z = ∞ ;

1

13)

f(z) =

в кольце 0 <

z −2

< 2 и в окрестности точки

(z −2)2 z

z = ∞ ;

z +1

14)

f(z) =

в кольце 0 <

z

< 2 и в окрестности точки

(z2 + 4)z2

z = ∞ ;

2z

15)

f(z) =

в кольце 1 <

z

<3 и в окрестности точ-

(z −1)(z2 +9)

ки z = ∞ ;

z + 2

16)

f(z) =

в кольце 1 <

z

< 2 и в окрестности

(z2 −1)(z2 + 4)

точки z = ∞ ;

z

17)

f(z) =

в кольце 1 <

z +1

< 2 и в окрестно-

(z + 2)(z2 + 2z +5)

сти точки z = ∞ ;

z +1

18)

f(z) =

в кольце 1 <

z −1

< 2 и в окре-

(z2 −2z)(z2 −2z +5)

стности точки z = ∞ ;

19)

f(z) =

z

в кольце 2 <

z

<3 и в окрестности

(z2 −4)(z2 +9)

точки z = ∞ ;

20