Сандаков Сборник домашних заданий по теории функций комплексного переменного 2009

20)

f(z) =

z2 −1

в кольце 1 <

z + 2

< 2 и в ок-

(z2 + 4z +5)(z2 + 4z +8)

рестности точки z = ∞ ;

21)

f(z) =

z

в кольце 1 <

z −1

<3 и в ок-

(z2 −2z + 2)(z2 −2z +10)

рестности точки z = ∞ ;

22)

f(z) =

z

в кольце 1 <

z +1

< 2 и в окрестно-

(z + 2)(z2 + 2z +5)

сти точки z = ∞ ;

23)

f(z) =

z2 −4z

в кольце 1 <

z −2

<3

и в окрест-

(z −3)(z2 −4z +13)

ности точки z = ∞ ;

f(z) =

z +1

z −1

24)

в кольце 1 <

<3 и в окрестности

(z2 −2z)(z + 2)

точки z = ∞ ;

25)

f(z) =

z2 + z

в кольце 1 <

z + 2

< 2

и в окрест-

(z2 + 4z +3)(z + 4)

ности точки z = ∞ .

21

§ 9. Классификация особых точек аналитических функций

Найти все особые точки аналитической функции, выяснить их характер и исследовать поведение функции на бесконечности:

1) f (z) =

3) f (z) =

sin 2z	+cos			1	+ z ;
				z
eiz −1
z −1		+			1	;
eiπz +
	1 z5 (z + 4)
					1

2) f (z) = sinz z +sin 1z ;

	4) f (z) =	1	+ z2 sin	1	;
		sin(z + 2)		z

f (z) =

1

e

z

f (z) =

eiz

+1

ez

5)

+

;

6)

+

;

cos z −1

z

2 +

sin 2z

z2

+ 4

1

1

7)

f (z) =

1

+sin

1

+6z5 ;

8)

f (z) =

z

+

e

z−1

;

(z2 +1)2

z

sin z

(z2 +1)2

sin z

ez

cos z −1

1

9)

f (z) =

+

;

10)

f (z) =

+e z ;

eiz

+1

(z2

−4)2

sin z

11)

f (z) =

1

+ z2 sin

1

;

12)

f (z) = z sin

1

+

eiz +1

;

ez +e

z

z

sin z

13)

f (z) =

1

+

1

;

14)

f (z) =

z

+e z+1

;

sin z

1

1 +cos z

(z −1)2

sin z −2

15)

f (z) =

1

+cos

1

;

z −1

+e−z

z −1

16)

f (z) =

1 −cos z

+ z

2

sin

1

;

eiz −1

z +1

17)

f (z) = 4z8 −3z2 −sin

1

+

1

;

z −

1

z8

22

18)

f (z) =

1

−3z5 ;

cos

1

+

1

z

1

1

19)

f (z) =3z5 +cos

−e

z2

;

(z −1)3

20)

f (z) =

cos z +1

+(z −

1)cos

1

;

sin z

z −1

21)

f (z) =sin z +

1

;

22)

f (z) =

e4iz −

1

+

sin z

;

ez

+ 2

sin z

cos z −1

23)

f (z) =

z2

+1

+sin

1

;

24)

f (z) =

ez

+

z

;

sin(iz)

(z

−π)

(z

2 +1)3

1

−cos z

25)

f (z) = z2 sin

1

+

ez−1 −1

.

z

(z2 −1)2

23

§ 10. Вычисление вычетов

Найти вычеты относительно всех изолированных особых точек (включая z =∞ ) функции:

z

sin z

2

1

f (z) =

e z ;

1)

f (z) =sin

;

2)

z +1

z(z3 +1)

sin 2z

sin πz

1

;

3)

f (z) =

;

4)

f (z) =

e

z

z(1 −cos z)

z4 −1

z2

sin z

1

5)

f (z) =

;

6)

f (z) =

+e z ;

1

e

iz

(z2 −4) cos

+1

−

z

2

7)

f (z) = 2z4 sin

1

+

eiz

+1

;

8)

f (z) = z3 sin

πz

;

z

z −

1

sin z

9)

f (z) =

1

+

ez

;

10)

f (z) =

sin 2z

+ z3 cos

1

;

cos z −1

z2 +1

z

eiz −1

11)

f (z) =

1

+

1

;

z −1

cos z +1

12)

f (z) = cos z +1 +

(z

−2) cos

1

;

z

−2

sin z

13)

f (z) =

eiz

−1

+ z2 sin

1

;

sin z

z

14)

f (z) =

sin 2z

+(z −1)3 cos

1

;

z −

1

z2 +1

1

1

sin 2z

z

f (z) =

+ z2e

15)

z

;

16)

f (z) =

+e

z−1

;

eiz

sin z

−1

17)

f (z) =

1

+

ez

;

18)

f (z) =

1

−

1

;

sin z −2

z2

+

ez −1

z

1

24

cos z −

1

1

19)

f (z) =

+e

z

;

sin z

21)

f (z) =

z2

+cos

1

;

sin z

z

1

23)

f (z) =

z

+

e

z−1

;

sin z

(z2

+1)2

1

z

25)

f (z) =(z −1)2 e

1−z

+

.

sin z

1

f (z) =

sin

+

z

20)

z

;

cos z −1

z2 +1

1

1

sin

22)

f (z) =

+

z

;

1

+cos z

(z −1)2

24)

f (z) =

1

+ z2 sin

1

;

sin(z +1)

z

25

§ 11. Вычисление интегралов с помощью вычетов

Вычислить интегралы:

1)

∫

π

ez dz

;

z

=

z(z +1)

2

2

3)

∫

z

=

π

sin 2zdz

;

2

2

z(z −1)

2

sin

dz

5)

∫

z

z

;

=2

1 + z

1

1

7)

∫

z+1

=2

cos

dz ;

(z +

2)

z +1

9)

∫

z2

dz ;

z

=2

sin 2z

1

4

11) ∫

z

=1

z

sin

dz ;

z

13) ∫

zdz

;

z

=1

1 −cos z

15) ∫

dz

;

z

=4

sin z

1

17) ∫

z4 sin

dz ;

z

=2

z

+

1

ez

∫

2

1

19)

z

=3

z

sin

+

dz ;

z −1

z

2)

∫

dz

;

z

=4

z sin z

π z2e

1

4) ∫

z

=

z−1

dz ;

6)

∫

2

zdz

;

z

=2

sin 2z

1

1

8)

∫

z

=1

−

dz

;

z

sin z

10)

∫

z

=2

z ctg2 zdz ;

3

1

12)

∫

z

=2

z

cos

dz

;

z

+1

14)

∫

z

=1

z4 sin

1 dz ;

z

z3e

1

16)

∫

z

=2

z−1

dz ;

18)

∫

z3 cos

1

dz ;

z−1

=1

z

−1

20) ∫

zez dz

;

21) ∫

dz

;

z−1

=3

sin z

z

=2

z sin 2z

26

22)

∫

π

sin zdz

;

z

=

z

2

(z

2

+1)

2

24)

∫

(ez −1)dz

;

z

=2

z

2

(z

−1)

3

23) ∫z =2

25) ∫z =π

	z3 sin				1		dz		;
			(z		−1)2
		1				1
	z2 e	z−1			+e	z−2		dz .

27

§12. Вычисление несобственных интегралов

спомощью вычетов

Вычислить следующие интегралы:

1)

∫

+∞

xdx

;

2)

∫

+∞

x2dx

;

(x −1)(x2 +1)2

−∞

0

(x4 +1)(x2 +4)

3)

∫

+∞

xdx

;

4)

∫

+∞

x2dx

;

(x +1)(x2 +4)2

(x2 +1)2 (x2 +

4)2

−∞

0

5)

∫

+∞

(x +1)dx

;

6)

∫

+∞

x2dx

;

(x2 +2x +5)3

(1 + x4 )2

−∞

0

7)

∫

+∞

xdx

;

8)

∫

+∞

xdx

;

(x2 −2x +2)2

−∞

−∞ (x +1)(x2 +4)2

9) ∫

+∞

(x +1)dx

;

10) ∫

+∞

dx

;

(x2 + 2x +10)2

(x2 +

4)3

−∞

−∞

11)

∫

+∞

xdx

;

12) ∫

+∞

(x +1)dx

;

(x2 − x +1)2

(x2 +10x +26)2

−∞

−∞

13)

∫

+∞

dx

;

14) ∫

+∞

xdx

;

(x −1)(x4 +1)

(x2 +8x +20)2

−∞

−∞

15)

∫

+∞

dx

;

16) ∫

+∞

xdx

;

(2x +1)(x2

+ x +1)2

(x +1)(x2 +4x +

13)2

−∞

−∞

17)

∫

+∞

(2x +3)dx

;

18) ∫

+∞

(x2 +1)dx

;

(x2 −1)(x2 +2x +5)2

(x4 +7x2 +12)2

−∞

0

19)

∫

+∞

xdx

;

20) ∫

+∞

(x −1)dx

;

(x2 − x −2)(x2 +9)2

(x2 −9)(x2 +

2)3

−∞

−∞

21)

∫

+∞

(3x +1)dx

;

−∞ (x2 +2x +2)2 (x2 − x +1)2

28

22)	∫	+∞	(x + 2)dx		;
	−∞		(x −2)(x2 +1)3
23)	∫	+∞		(2x −1)dx					;
			(x2	+ x −6)(x2	− x +1)2
	−∞
24)	∫	+∞		(2x +1)dx						;
			(x2	+ x −2)(x2	+4x +		8)2
	−∞
25)	∫	+∞		x2dx					.
			(x2	−4)(x4 +2x2		+5)2
	0

29

§ 13. Вычисление несобственных интегралов вида

∫−+∞∞ R(x) cos λxdx и ∫−+∞∞

R(x)sin λxdx

Вычислить следующие интегралы:

1)

∫+∞

cos xdx

;

2)

∫+∞

sin 2xdx

;

−∞

(1 + x)(x2 +4)

−∞

(x +4)(x2 +9)

3)

∫+∞

xsin xdx

;

4)

∫+∞

sin 2xdx

;

(x2 −4)(x2 +9)

0

0

x(x2 +1)2

5)

∫+∞

sin 3xdx

;

6)

∫+∞

x cos 2xdx

;

(x −1)(x2 + 4)2

(x +2)(x2 +16)

−∞

−∞

7)

∫+∞

xsin 2xdx

;

8)

∫+∞

cos xdx

;

(x2 −1)(x2 + 4)

(x +1)(x2 +1)2

0

−∞

9) ∫+∞

cos 2xdx

;

10)

∫

+∞

cos 4xdx

;

(x2 −1)(x2 +9)

(x −1)(x2 +9)

0

−∞

11)

∫

+∞

xsin 2xdx

;

12)

∫

+∞

(x +1)sin 2xdx

;

(x2 −4)(x2 +

9)

x(x2 + 4)(x2 +9)

0

−∞

13)

∫

+∞

x2 cos 2xdx

;

14)

∫

+∞

cos 2xdx

;

(1 + x)(x2 +1)(x2

0

(x2 −1)(x2 + 4)

−∞

−4)

15)

∫

+∞

sin 3xdx

;

16)

∫

+∞

cos3xdx

;

x(x2 +1)(x2 +

9)

(x −4)(x2 +

4)

0

−∞

17)

∫

+∞

cos 2x

dx ;

18)

∫

+∞ (x +1)sin 2xdx

;

0

x4 +1

−∞ (x2 +2x +2)2

19)

∫

+∞

cos xdx

;

20)

∫

+∞

cos 3xdx

;

(x2 + 4)3

0

−∞ (x2 − x +1)2

21)

∫

+∞

xsin xdx

;

22)

∫

+∞

x cos xdx

;

(x2 +1)3

(x2 −2x +10)2

0

−∞

30