Сандаков Сборник домашних заданий по теории функций комплексного переменного 2009

23)	∫	+∞	xsin 2xdx		;	24) ∫	+∞	x3 sin 3xdx		;
			(x2 +9)2					(x4	+16)2
	0					0
25)	∫	+∞	x2 cos 3xdx			.
			(x2 +9)2
	0

31

§ 14. Вычисление интегралов, содержащих ln x и xα , где 0 < α <1

Вычислить следующие интегралы:

1)

∫

+∞

ln xdx

;

2)

∫

+∞

ln x

dx ;

3)

∫

+∞

dx

;

x2 + 2x +

2

x2 +16

x (x +1)2

0

0

0

4)

∫

+∞

dx

;

5)

∫

+∞

ln xdx

;

6)

∫

+∞

ln2 x

dx

;

2

x2 +9

0

0

x (x +1)

0

x3

(x + 2)

7) ∫+∞

ln xdx

;

8) ∫+∞

ln xdx

;

0

x2 +4x +5

0

(x +1)(x2

+1)

10)

∫

+∞

ln2 x

dx ;

11)

∫

+∞

ln xdx

;

x2 +16

(x2 +9)2

0

0

13)

∫

+∞

ln xdx

;

14)

∫

+∞

ln2 xdx

;

x2 +4x +

8

x2 +25

0

0

16)

∫

+∞

dx

;

17)

∫

+∞

ln xdx

;

3 x(x +3)

0

0

3 x(x + 2)

19)

∫

+∞

dx

;

20)

∫

+∞

ln xdx

;

4 x (x +1)2

4 x(x +3)2

0

0

22)

∫

+∞

ln xdx

;

23)

∫

+∞

dx

;

0

4 x(x + 4)

0

4 x(x +5)

24)

∫

+∞

ln2 xdx

;

(x +2)(x2 +

4)

0

25)

∫

+∞

ln xdx

.

(x2 + 4x +13)2

0

	9) ∫+∞			x ln xdx		;
		0 (x2 +1)2
	12)	∫+∞			ln xdx				;
					x (x +2)2
		0
	15)	∫+∞			ln xdx		;
					(x2 +4)2
		0
	18)	∫+∞			dx				;
				3 x (x +2)2
		0
	21)	∫+∞			x ln xdx		;
					(x2 +4)2
		0

32

§ 15. Изображения функций

Найти изображения следующих функций:

1) f (t) =(t −1)3 et+1 ;

2) f (t) =t3 ch 3t ;

3)

f (t) = e2t

cos ωt ;

4)

f (t) =cos 2(t −1) ;

5)

f (t) =1 −cost ;

6)

f (t) = sin(αt) ;

t

t

7)

f (t) =t2 sin αt ;

8)

f (t) = cos αt ch βt ;

9)

f (t) =

e2t

sin 3t

;

10)

f (t) =t cos(2t −1) ;

t

11)

f (t) =te2t cos3t ;

12)

f (t) =t sh 2t ch t ;

13)

f (t) =

e−t sin2 2t

f (t) =

et −e3t

;

14)

;

t

t

15)

f (t) = sin t sin 3t

;

16)

f (t) = ∫t

sin τ dτ;

f (t) = ∫t

t

0

τ

17)

ch 2τdτ;

18)

f (t) =cos 2t cos3t ;

0

19)

f (t) =te

t

sin 2t ;

20)

f (t) = ∫

t

e

τ

cos 2τdτ;

0

21)

f (t) =t2e−t cos 2t ;

22)

f (t) =t ch(2t −1) ;

23)

f (t) =t sh 3t cos 2t ;

24)

f (t) =te2t

cos3(t −1) ;

25)

f (t) =e−2t cos2 (t +1) .

33

§ 16. Нахождение оригинала по заданному изображению

Восстановить оригинал по заданному изображению:

1)

F ( p) =

p +1

;

2) F ( p) =

p −2

;

( p2 +4 p +5) p2

( p +1)( p + 2)( p2 +4)

3)

F ( p) =

p +1

;

4) F ( p) =

p −1

;

( p2 +1)2

p2 ( p2 +1)

5)

F ( p) =

p

;

6) F ( p) =

p2 +1

;

( p3 −1)2

p3 +3 p2 +3 p +1

7)

F ( p) =

2 p +1

;

8) F ( p) =

p

;

p3 + 4 p2 +5 p

( p2 +4)( p2 +9)

9)

F ( p) =

p −2

;

10) F ( p) =

p

;

1)

p2 ( p +1)3

( p +1)2 ( p2 + p +

11)

F ( p) =

p

;

( p2 +4 p +8)2

12)

F ( p) =

p2 + p +1

;

( p2 +2 p +2)( p2 −4 p +5)

13)

F ( p) =

p +2

;

14) F ( p) =

p −2

;

p2 ( p2 +

4)2

( p3 +1) p2

15)

F ( p) =

2 p +1

;

( p3 −1)( p2 + p +1)

16)

F ( p) =

p +3

;

( p −1)( p +2)( p2 +4)

17)

F ( p) =

p2 −2 p −1

;

p3 −2 p2 + 2 p

−1

34

18)F ( p)

19)F ( p)

20)F ( p)

22) F ( p)

24)F ( p)

25)F ( p)

=	p2 −2 p +2							;
	( p2 + 2 p +5)( p2 −9)
=	p2 +2 p −2						;
	p3 + 2 p2 +
			2 p +1
=	2 p +3						;
	( p2 +1)2 ( p2 +4)
=	p −1		;
	p4 + p2 +1
=	p2 −2 p +5				;
	p( p −1)( p2		+	9)

=	p2	−2 p

( p2 +2 p +10)( p2 −9)

p + 2

21) F ( p) = p3 + 4 p2 +5 p ;

p2 +2

23) F ( p) = ( p2 +4)2 ( p2 −1) ;

.

35

§ 17. Решение операционным методом дифференциальных уравнений

Решить задачу Коши для дифференциальных уравнений:

1)

y

′′

−

4 y

′

+

4 y = xe

2x

,

y(0)

′

=1;

= y (0)

2)

y

′′

+

4 y

′

= xsin 2x ,

y(0) =

′

= −1;

1, y (0)

3)

y

′′

+

2 y

′

+ y = xe

−x

, y(0) =

′

2 , y (0) =1 ;

4)

y

′′

+

6 y

′

+

9 y = 2e

−3x

,

′

y(0) =1, y (0) = 2 ;

5)

y

′′

+

2 y

′

+

2 y =e

−x

cos x ,

y(0) = −1 ,

′

y (0) =1 ;

6)

y

′′

−9 y = xe

3x

,

y(0) =1,

′

;

y (0) = 2

7)

y

′′

−

4 y

′

+

8 y =e

2 x

cos 2x ,

′

y(0) = y (0) = 2 ;

8)

y

′′

−

2 y

′

+ y = xe

x

,

y(0) =

′

=1 ;

0 , y (0)

9)

y

′′

−

4 y

′

+3y = 2xe

x

+e

3x

,

y(0) =1,

′

=0 ;

y (0)

10)

y

′′′

−3y

′′

+3y

′

− y

=

2e

x

,

y(0) =1,

′

′′

=0 ;

y (0) = y (0)

11)

y

′′

−2 y

′

+ y = 4xe

x

,

′

y(0) = 0 , y (0) =1 ;

12)

y

′′

−2 y

′

+2 y = xe

x

cos x ,

y(0) =1,

′

=1 ;

y (0)

13)

y

′′′

+2 y

′′

− y

′

−2 y = xe

−2 x

+chx ,

′

=

′′

=1;

y(0) = y (0)

0 , y (0)

14)

y

′′

−10 y

′

+25 y

= xe

5x

,

y(0) =1,

′

y (0) =0 ;

15)

y

′′

−8y

′

+16 y = xe

4x

,

y(0) = 0 ,

′

;

y (0) =1

16)

y

′′

+25y = xsin 5x ,

y(0)

′

=1;

= y (0)

17)

y

′′

−4 y

′

+8 y =e

2 x

cos 2x

,

y(0) =

′

0 , y (0) = 2 ;

18)

y

IV

+4 y

′′

+4 y

= x cos 2x

,

′

′′

′′′

=1

;

y(0) = y (0) =

0 , y (0) = y (0)

19)

y

′′

−9 y = xe

3x

,

y(0) = 0 ,

′

y (0) =1 ;

20)

y

′′

+8y

′

+16 y = 2xe

−4 x

,

′

y(0) = y (0) =1;

36

21)

y

′′

+16 y

= xsin 4x ,

y(0) =

′

1, y (0) =0 ;

22)

y

′′

+4 y

′

+8y = e

−2x

sin 2x ,

y(0) = 0 ,

′

y (0) =1 ;

23)

y

IV

+2 y

′′′

+ y

′′

= 2xe

−x

′

=0

,

′′

′′′

;

, y(0) = y (0)

y (0) = y (0) =1

24)

y

IV

+2 y

′′

+ y

= xsin x ,

′

=1,

′′

′′′

=0 ;

y(0) = y (0)

y (0)

= y (0)

25)

y

′′′

+6 y

′′

+9 y

′

= xe

−3x

,

′

= 2 ,

′′

= 0 .

y(0) = y (0)

y (0)

37

§18. Решение операционным методом систем линейных дифференциальных уравнений

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений:

x′+ 2x + 4 y =1 +4t;

1)

3

t2 ,

x(0) = 2 ,

y(0) =3 ;

y′+ x − y =

2

= −e

−2t

;

2)

x′+ 2x − y

x(0) = −2 ,

y(0) =3 ;

,

y′+3x −2 y =6e2t

=t

2

;

3)

x′− x −2 y

x(0) = 2 ,

y(0) = 4 ;

= et

,

y′−2x − y

4)

3x′+2x + y′

=t;

x(0) =1 ,

y(0) = 2 ;

=1,

x′+ 2 y′+3y

5)

x′=3y −2x;

x(0) = y(0) =1 ;

y′= x + y +et ,

6)

t

;

x(0) =1 , y(0) = 2 ;

x′+ 2 y′− y =e

x′+ y′+2 y =sin t,

7)

x′+ x −3y =

1;

x(0) =1 ,

y(0) = 2 ;

,

y′− x − y =e2t

8)

= e

2t

;

x(0) = y(0) =1 ;

3x′+2x + y′

x′+ 4 y′+3y =1,

38

x′− x −2 y =sin t;

x(0) =1 , y(0) = 2 ;

9)

=t,

2 y′−2x + y

10)

x′= y

+t;

x(0) = y(0) =1 ;

y′= 2x +2 y +sin t,

11)

x′− y′−2x + y =

2t;

x(0) =1 , y(0) = 0 ;

x′+ 2 y′+ x = cost,

−8 y

=t

2

;

12)

x′+ x

x(0) = y(0) =1 ;

− y = 2et ,

y′− x

13)

x′−2x − y

=1 +t;

x(0)

=1 , y(0) = 2 ;

y′+ x −4 y =t2 ,

t

;

14)

x′− x

− y = e

x(0) =1 , y(0) = −1 ;

+1,

y′+ 2x −4 y =t2

t

;

15)

x′+3x −2 y =e

x(0) = y(0) =1 ;

= 2t2 ,

y′+2x − y

16)

x′−3x + y

=1 −t;

x(0) = −1 , y(0) =1;

y′+ y −4x =e2t ,

t

;

17)

x′−5x −3y =

2e

x(0)

= y(0) =1 ;

=t2 ,

y′+3x + y

18)

x′+ x +5y =sin t;

x(0)

=1 , y(0) = 2 ;

y′− x − y =e2t ,

t

;

19)

x′− x

+ y =te

x(0) = y(0) =1 ;

− y =1 +t2

y′+ x

,

39

20)

−5 y = e

2t

;

x(0) =1 ,

y(0) = 2 ;

x′− x

y′− x +3y =cost,

2t

cos t;

21)

x′−4x +5 y = e

x(0)

= 2 , y(0) =1;

=t2 +1,

y′− x

22)

x′− x

− y =t cost;

x(0) =1 ,

y(0) = −1 ;

y′+2x + y =sin t,

−t

;

23)

x′+ 4x + 2 y =te

x(0)

= y(0) =1 ;

sin t,

y′−6x −3y =e−t

2t

;

24)

x′+ 2x +4 y =te

x(0) =1

,

y(0) = 2 ;

− y = e−3t ,

y′+ x

3t

;

25)

x′−2x − y =te

x(0) = −2

, y(0) =1.

−4 y = 2e3t

,

y′+ x

40