Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм

-30-

Определим основные числовые характеристики случайной величины, имеющей равномерное распределение. Математическое

ожидание M (x)= b∫	x	dx =	x2		b	=	b2 −a2		=	b +a	.
			2(b −a)				2(b −a)
a b −a					a				2

В силу симметричности распределения медиана совпадает с математическим ожиданием Me = b +2 a . Моды равномерное распределение

не имеет.		Дисперсия равномерного распределения равна
D(x)=	(b −a)2	. В силу симметричности коэффициент асимметрии
	12

равен нулю. Коэффициент эксцесса равен Е = −1,2.

Пример 27. Цена деления амперметра равна 0,1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, превышающая 0,02А. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного

распределения f (x)= b −1 a , где (b −a)- длина интервала, в котором

заключены возможные значения, вне интервала f (x)= 0. В рассматриваемом примере длина интервала, в котором заключены возмож-

ные значения Х, равна 0,1, поэтому

f (x)=

1

=10 . Ошибка отсчёта

0,1

превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02;0,08). По

формуле p{a < x < b}= b∫ f (x)dx получим

a

0,08

0,08

=10(0,08 −0,02)= 0,6.

p{0,02 < X < 0,08}=

∫10dx =

10x

0,02

Матема-

0,02

b +a

0,1+0

тическое ожидание

равно

M (x)=

=

= 0,05.

Дисперсия

2

равна D(x)= (b −a)2

= 0,12 =

2

1

.

1200

12

12

-31-

21. Нормальное распределение Нормальное распределение – наиболее часто встречающийся

вид распределения. С ним приходится встречаться при анализе погрешностей измерений, контроле технологических процессов и режимов, а также при анализе и прогнозировании различных явлений в биологии, медицине и других областях знаний.

Термин «нормальное распределение» применяется в условном смысле как общепринятый в литературе, хотя и не совсем удачный. Так, утверждение, что какой-то признак подчиняется нормальному закону распределения, вовсе не означает наличие каких-либо незыблемых норм, якобы лежащих в основе явления, отражением которого является рассматриваемый признак, а подчинение другим законам распределения не означает какую-то анормальность данного явления.

Главная особенность нормального распределения состоит в том, что оно является предельным, к которому приближаются другие распределения. Нормальное распределение впервые открыто Муавром в 1733 году. Нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины. Плотность нормального закона распределения

	f (x)=		1	−	(x−a)2
имеет вид		σ		e 2σ 2 .
			2π

Математическое ожидание для нормального закона распределения равно M (x)= a . Дисперсия равна D(x)=σ 2 .

Основные свойства нормального распределения.

1.Функция плотности распределения определена на всей числовой оси Ох, то есть каждому значению х соответствует вполне определённое значение функции.

2.При всех значениях х (как положительных, так и отрицательных) функция плотности принимает положительные значения, то есть нормальная кривая расположена над осью Ох.

3.Предел функции плотности при неограниченном возрастании х равен нулю, lim f (x)= 0.

x→±∞

4.Функция плотности нормального распределения в точке x = a

имеет максимум	f (a)=	σ	1	.
			2π
5. График функции плотности y = f (x) симметричен относитель-
но прямой x = a .

-32-

6. Кривая распределения имеет две точки перегиба с координата-

		1				1
ми a −σ ;				и a +σ ;			.
	σ				σ
		2πe				2πe

7.Мода и медиана нормального распределения совпадают с математическим ожиданием а.

8.Форма нормальной кривой не изменяется при изменении параметра а.

9.Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.

Очевидна важность вычисления этих коэффициентов для эмпи-

рических рядов распределения, так как они характеризуют скошеннность и крутость данного ряда по сравнению с нормальным.

Вероятность попадания в интервал (α; β ) находится по формуле

		β −a			α - а		1	x	−	x2
										2 dx нечётная
	p{α ≤ x < β}=Ф	σ		−Ф	σ	, где Ф(x)=		∫e
							2π 0

табулированная функция.

Определим вероятность того, что нормально распределённая случайная величина отклоняется от своего математического ожидания на величину, меньшую ε , то есть найдём вероятность осуществления неравенства x − M (x) <ε , или вероятность двойного неравен-

ства M (x)−ε < X < M (x)+ε . Подставляя в формулу, получим

а+ε −а

а−ε −а

p{a −ε < X < a +ε}=Ф

−Ф

=

σ

σ

ε

ε

ε

=Ф

−Ф

−

= 2Ф

.

σ

σ

σ

Выразив отклонение случайной величины Х в долях среднего квадратического отклонения, то есть положив ε = tσ в последнем равенстве, получим p{X − M (x) < tσ}= 2Ф(t).

Тогда при t =1 получим p{X − M (x) <σ}= 2Ф(1)≈ 0,6827 , при t = 2 получим p{X − M (x) < 2σ}= 2Ф(2)≈ 0,9545, при t = 3 получим p{X − M (x) < 3σ}= 2Ф(3)≈ 0,9973.

Из последнего неравенства следует, что практически рассеяние нормально распределённой случайной величины заключено на участке

-33-

M (x)±3σ . Вероятность того, что случайная величина не попадёт на

этот участок, очень мала, а именно равна 0,0027, то есть это событие может произойти лишь в трёх случаях из 1000. Такие события можно считать практически невозможными. На приведённых рассуждениях основано правило трёх сигм, которое формулируется следующим образом: если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от математического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Пример 28. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением σ = 5мм и математическим ожиданием а = 0 . Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Решение. Рассмотрим случайную величину Х - отклонение размера от проектного. Деталь будет признана годной, если случайная величина принадлежит интервалу [−10;10]. Вероятность изготовле-

	ния		годной				детали	найдём	по	формуле
				10
	p{	X	≤10}= 2Ф				= 2Ф(2)≈ 0,9544.	Следовательно,		процент год-
				5

ных деталей, изготавливаемых автоматом, равен 95,44%.

22. Биномиальное распределение Биномиальным является распределение вероятностей появле-

ния m числа событий в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р. Вероятность возможного числа появлений события вычисляется по формуле

Бернулли: p{X = k}= Cnk pk qn−k

(m = 0,1,K,n),

где q =1− p . Постоянные п и р, входящие в это выражение, парамет-

ры биномиального закона. Биномиальным распределением описывается распределение вероятностей дискретной случайной величины.

Основные числовые характеристики биномиального распределения. Математическое ожидание равно M (x)= np. Дисперсия равна

-34-

D(x)= npq . Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны A = q − p npq

иE =1−npq6 pq . При неограниченном возрастании числа испытаний А

иЕ стремятся к нулю, следовательно, можно предположить, что биномиальное распределение сходится к нормальному с возрастанием числа испытаний.

Пример 29. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А в одном испытании, если дисперсия

числа появлений в трёх испытаниях равна 0,63.

Решение. Для биномиального распределения D(x)= npq . Под-

ставим значения,			получим 0,63=3p(1− p) отсюда p2 − p+0,21=0 или
	=1±			1±0,4 тогда p = 0,7 и p
p		1−0,84	=			2	= 0,3.
1,2	2			2	1

23.Распределение Пуассона Закон распределения редких явлений

Распределение Пуассона описывает число событий m, происходящих за одинаковые промежутки времени при условии, что события происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью. При этом число испытаний п велико, а вероятность появления события в каждом испытании р мала. Поэтому распределение Пуассона называют законом редких явлений или простейшим потоком. Параметром распределения Пуассона является величина a = np,

характеризующая интенсивность появления событий в п испытаниях.

Формула распределения Пуассона pn = am e−a . m!

Пуассоновским распределением хорошо описываются число требований на выплату страховых сумм за год, число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определённое время, число отказов элементов при испытании на надёжность, число бракованных изделий и так далее.

Основные числовые характеристики для распределения Пуассона. Математическое ожидание равно дисперсии и равно а. То есть M (x)= D(x)= a . Это является отличительной особенностью этого

-35-

распределения. Коэффициенты асимметрии и эксцесса соответствен-

но равны A =	1	;	E =	1 .
	a			a

Пример 30. Среднее число выплат страховых сумм в день равно двум. Найти вероятность того, что за пять дней придётся выплатить: 1) 6 страховых сумм; 2) менее шести сумм; 3) не менее шести.

Решение. Среднее число выплат за пять дней 5 2 =10.

1) тогда вероятность того, что придётся выплачивать шесть сумм:

p{k = 6}= ak e−a =106 e−10 ≈ 0,063055; k! 6!

2) обозначим за событие А - выплачено менее шести сумм. Тогда по теореме сложения несовместных событий p(A)= p{k =0}+ p{k =1}+ p{k = 2}+ p{k =3}+ p{k = 4}+ p{k =5}или

p(A)=

100

e−10

+

101

e−10

+

102

e−10

+

103

e−10

+

104

e−10

+

0!

1!

2!

3!

4!

+105 e−10 ≈ 0,067086; 5!

3) Событие A - выплачено не менее шести сумм является противоположным для события А, следовательно:

p(A )=1 − p(A)≈1 − 0,087086 ≈ 0,932914 .

24. Показательное распределение Непрерывную случайную величину, плотность вероятности ко-

торой определяется выражением:

	−λx
f (x)= λe		; x ≥ 0,
0;	x < 0,

называют величиной, имеющей показательное или экспоненциальное

распределение.

Это распределение часто наблюдается при изучении сроков службы различных устройств, времени безотказной работы отдельных элементов, частей системы и системы в целом, при рассмотрении случайных промежутков времени между появлениями двух последовательных редких событий.

-36-

Плотность показательного распределения определяется параметром λ, который называют интенсивностью отказов. Этот термин связан с конкретной областью приложения – теорией надёжности.

Выражение интегральной функции показательного распределения можно найти, используя свойства дифференциальной функции:

F (x)= 1−e−λ x ; x ≥ 0,0; x < 0.

Математическое ожидание показательного распределения M (x)= λ1 , дисперсия D(x)= λ12 , среднее квадратическое отклонение

σ = λ1 . Таким образом, для этого распределения характерно, что

среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию. При любом значении параметра λ коэффициенты асимметрии и эксцесса – постоянные величины А= 2; Е = 9 .

Пример 31. Среднее время работы телевизора до первого отказа равно 500 часов. Найти вероятность того, что наудачу взятый телевизор проработает без поломок более 1000 часов.

Решение. Так как среднее время работы до первого отказа равно 500, то λ1 = 500 λ = 5001 . Искомую вероятность найдём по формуле

	p{t >1000}= ∞∫	1		e−	t	dt =−e−	t		∞ =e−2 ≈0,135.
					500		500
		500
	1000								1000

Закон больших чисел

25. Лемма Маркова Т. 1. Для любой положительной случайной величины Х вероят-

ность того, что она примет значение, не превосходящее некоторого положительного числа τ , больше разности между единицей и отношением математического ожидания этой случайной величины к данному числу τ : p{X ≤τ}>1− Mτ(x).

Доказательство. Проведём доказательство для дискретной случайной величины способом, получившим название метода урезания.

-37-

Пусть x1 , x2 ,K, xn - упорядочная совокупность всех значений, при-

нимаемых положительной случайной величиной Х с соответствую-

n

щими вероятностями p1 , p2 ,K, pn причём ∑ pi =1. Не нарушая общ-

i =1

ности доказательства, можно допустить, что значения случайной величины Х расположены в порядке убывания. Выберем некоторое произвольное число τ > 0 и предположим, что первые r значений совокупности больше τ . Так как по условию случайная величина Х принимает только положительные значения, то можно записать неравенство

x1 p1 + x2 p2 +K+ xr pr ≤ x1 p1 + x2 p2 +K+ xr pr +Kxn pn . По определе-
нию математического ожидания x1p1+x2p2 +K+xr pr +Kxnpn =M(x), сле-
довательно			x1 p1 + x2 p2 +K+ xr pr ≤ M (x). Заменяя в левой части
неравенства значения переменных xi (i =1,2,K,r) числом τ , полу-
чаем	следующее				усиленное неравенство (p1 + p2 +K+ pr )τ ≤ M (x)
или	p	+ p	+Kp	r	≤	M (x)	. Левая часть этого неравенства выражает
	1	2				τ

вероятность того, что случайная величина принимает значения, большие τ , то есть p{X >τ}≤ Mτ(x).

Вероятность противоположного события, а именно вероятность того, что случайная величина примет значения не больше τ , опреде-

ляется следующим неравенством: p{X ≤τ}>1− Mτ(x).

Лемма Маркова справедлива для любого распределения положительной случайной величины.

Пример 32. Среднее число студентов в группе, получивших на экзамене неудовлетворительные оценки, равно пяти. Оценить вероятность того, что в наудачу взятой группе будет более восьми двоек.

Решение. Используем неравенство Маркова. По условию задачи имеем M (x)= 5, τ =8. Тогда искомая вероятность равна

p{X >8}≤ 58 или p{X >8}≤ 0,625.

-38-

26. Неравенство Чебышева Т. Если случайная величина Х имеет конечные математическое

ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа τ справедливо неравенство p{X − M (x) ≤τ}>1− Dτ(2x), то есть вероят-

ность того, что отклонение случайной величины Х от своего математического ожидания по абсолютной величине не превзойдёт τ , больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату τ .

Доказательство. Воспользуемся леммой Маркова. Рассмотрим случайную величину Z = X − M (x), для некоторых значений кото-

рой выполняется неравенство X − M (x) ≤τ . Так как случайная ве-

личина Z положительна,

то неравенства

X − M (x)

≤τ и

X − M (x)

2 ≤τ 2

равносильны.

Применив лемму Маркова к случай-

ной величине Z 2 =

X − M (x)

2 , получим

p{X − M (x)

≤τ

2 }>1− M[X − M (x)]2

. Числитель дроби в правой час-

τ 2

ти неравенства по определению есть дисперсия случайной величины

Х, следовательно,

неравенство можно

записать в

виде

p{X − M (x)

2 ≤τ 2 }>1−

D(x).

Так как в силу равносильности соот-

τ 2

p{

X − M (x)

2 ≤τ 2

ветствующих неравенств

вероятности

и

p{

X − M (x)

≤τ}равны, то p{

X − M (x)

≤τ}>1−

D(x)

.

τ 2

Неравенство Чебышева, как и неравенство Маркова, справедливо для любого распределения случайной величины Х, однако неравенство Чебышева применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам.

Полагая τ = tσ , запишем неравенство в виде

p{	X − M (x)		≤ tσ}>1−	1	или p{	X − M (x)		> tσ}≤	1	.
				t 2					t 2

-39-

Задаваясь различными значениями t, вычислим верхние границы вероятностей того, что отклонение случайной величины выйдет за пределы tσ : при t =1 p{X − M (x) >σ}≤1;

t = 2

p{

X − M (x)

> 2σ}≤

1

; t = 3

p{

X − M (x)

> 3σ}≤

1

. Вероятно-

4

9

сти рассматриваемых событий не могут превысить этих числовых значений ни при каком распределении случайной величины.

27. Теорема Чебышева Т. При достаточно большом числе попарно независимых слу-

чайных величин X1 , X2 ,K, Xn с математическими ожиданиями

M (x1), M (x2 ),K, M (xn ) и дисперсиями D(x1), D(x2 ),K, D(xn ) с ве-

роятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между средней арифметической наблюдавшихся значений случайных величин X1 , X2 ,K, Xn и средней арифметической их математиче-

ских ожиданий по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа τ > 0 при условии, что дисперсия всех этих величин не превосходит одного и того же постоянного числа В, то есть

		1	n	1	n			>1−η,
p			∑ Xi −		∑M (xi )		≤τ
		n i =1		n i =1

где η- положительное число, близкое к нулю.

Доказательство. Пусть X1 , X2 ,K, Xn - п попарно независимых случайных величин. Средняя арифметическая этих величин является,

в свою очередь, тоже случайной величиной. Обозначим её

1

n

X =

∑ Xi . Определим математическое ожидание и дисперсию

n i =1

1 ∑M (xi ),

M (x)= M 1 ∑ Xi =

n

n

n

i =1

n

i =1

D(x)= D 1 ∑ Xi =

1 ∑D(xi ).

n

n

i =1

n

i =1

n2

X :

X :

Применяя к случайной величине X неравенство Чебышева, получаем

p(X − M (x)≤τ )>1− Dτ(2x),