Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм

-80-

54. Проверка гипотез о законе распределения

Критерий согласия 2 (Пирсона)

До сих пор мы рассматривали гипотезы, относящиеся к отдельным параметрам распределения случайной величины, причём закон распределения предполагался известным. Однако во многих практических задачах закон распределения случайной величины неизвестен, т. е. является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H0 о том, что случайная величина

подчиняется закону распределения F (x). Для проверки гипотезы

произведём выборку, состоящую из п независимых наблюдений над случайной величиной X . По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины. Срав-

нение эмпирического F * (x) и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины -

критерия согласия. Существует несколько критериев согласия: 2 Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Критерий согласия Пирсона - наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения.

Рассмотрим этот критерий. Разобьём всю область изменения X на l интервалов ∆1 ,∆2 ,L,∆l и подсчитаем количество элементов

mi , попавших в каждый из интервалов ∆i . Предполагая известным теоретический закон распределения F (x), всегда можно определить pi (вероятность попадания случайной величины X в интервал ∆i ), тогда теоретические частоты можно рассчитать по формуле n pi .

Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических, то проверяемую гипотезу H0 следует отвергнуть, в противном случае -

принять.

Сформулируем критерий, который бы характеризовал степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами. В литературе по математической статистике доказывается, что стати-

2	(mi −n pi )2	имеет распределение	2	с k = l −r −1
стика = ∑

n pi

степенями свободы. Здесь r - число параметров распределения F (x).

-81-

Правило применения критерия 2сводится к следующему. Рассчитав теоретические частоты n pi и вычислив значение 2p , затем выбрав

уровень значимости критерия α , по таблице находим 2 (k ;α). Если2p > 2 (k ;α), то гипотезу H0 отвергают, если 2p ≤ 2 (k ;α), то

гипотезу принимают или, другими словами нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что генеральная совокупность подчинена закону распределения F (x). В заключение отметим, что необходимым услови-

ем применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов по меньшей мере 5-10 наблюдений. Если количество наблюдений мало, то нужно объединить интервалы, содержащие частоты менее 5.

Пример 48. На телефонной станции производились наблюдения над числом X неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Определить выбо-

рочную среднюю и дисперсию неправильных соединений в минуту и проверить выполнение основного условия для распределения Пуас-

сона[M (x)=σ 2 ]. Найти теоретическое распределение Пуассона и проверить степень согласия теоретического и эмпирического распре-

делений по критерию 2 Пирсона при уровне значимости α = 0,05 . Решение. Упорядочим результаты наблюдений, записав их в

таблицу:

xi	0	1	2	3	4	5	6	7
mi	8	17	16	10	6	2	0	1

Найдём

x = n1 ∑xi mi = 601 (0 8 +1 17 +2 16+3 10+4 6 +5 2 +6 0 +7 1)=2.

Вычислим выборочную дисперсию по формуле S2 = x2 −(x)2, где x2 =n1 ∑xi2 mi =601 (0 8+1 17+4 16+9 10+16 6+25 2+36 0+49 1)=6,1,

-82-

тогда S 2 (x)= 6,1−4 = 2,1. Необходимое условие для распределения

Пуассона практически выполняется. Запишем теоретический закон распределения Пуассона, используя вместо математического ожида-

ния его оценку x : P(m)=2mm!e−2. Найдём теоретические частоты:

′

=n P(0)=60

20

e

−2

′

=n P(1)=60

2

e

−2

m0

≈8,1; m1

≈16,24;

0!

1

22

23

′

−2

′

−2

m2

= n P(2)= 60

e

≈16,24; m3 = n P(3)= 60

e

≈10,62

;

2!

3!

′

24

−2

′

25

−2

m4

= n P(4)= 60

e

≈ 5,41; m5 = n P(5)=

60

e

≈ 2,17 ;

4!

5!

m6′ = n P(6)= 60

26

e

−2 ≈ 0,72; m7′ = n P(7)=

60

27

e−2

≈ 0,2 .

6!

7!

Так как последних три интервала содержат частоты менее пяти, то объединим их с предыдущим. Получим

							m i	8		17		16	10				9
							m'i	8,1		16,2		16,2	10,6				8,5
Вычислим значение
	2			(mi −mi′ )2				(8,1−8)2			(17 −16,2)2				(16		−16,2)2
p = ∑				mi′		=				+				+					+
								8,1			16,2						16,2
+		(10 −10,6)2			+	(9 −8,5)2 ≈ 0,11
			10,6			8,5

Примем уровень значимости α = 0,05. Количество интервалов после объединения l = 5. По выборке вычислен один параметр, которым определяется закон Пирсона - математическое ожидание, следовательно: r =1. Поэтому число степеней свободы k = l −r −1 = 5 −1−1 = 3. По таблице (см. приложение табл.4) находим

2 (3;0,05)= 7,8. Имеем 7,8>0,11, следовательно, нет оснований от-

вергнуть нулевую гипотезу или, другими словами, при уровне значимости α = 0,05 можно считать, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.

-83-

Пример 49. Проверить гипотезу о нормальном распределении для следующего интервального ряда:

xi	12	16	20	24	28	32
mi	10	14	22	24	16	14

Решение. Найдём выборочное среднее по формуле

x= n1 ∑xi mi =

=1001 (12 10 +16 14 +20 22 +24 24 +28 16 +32 14)= 22,56

	и исправленную дисперсию по формуле S)2 =	n			−(		)2
				x2				, где
						x
		n −1

x2 = n1 ∑xi mi =

=1001 (122 10 +162 14 +202 22 +242 24 +282 16 +322 14)=

=545,28 S) =10099 (545,28 −22,562 )≈ 36,693 S) ≈ 6,0575.

Найдём теоретические частоты по формулам:

n h

x

−

12−22,56

i

x

m′

≈

)

ϕ

)

≈ 66

ϕ

= 66 ϕ(1,74)≈ 66

0,0878

≈5,8,

1

S

S

6,0575

′

16−22,56

≈ 66 ϕ(1,08)≈ 66 0,2227≈14,7,

m2

≈ 66 ϕ

6,0575

m3′

20 −22,56

≈ 66 ϕ(0,42)≈ 66 0,3652 ≈ 24,1,

≈ 66 ϕ

6,0575

m4′ ≈ 66 ϕ 24 −22,56 ≈ 66 ϕ(0,24)≈ 66 0,3876 ≈ 25,6,

6,0575

	m5′		28 −22,56			≈ 66 ϕ(0,90)≈ 66 0,2661 ≈17,6,
		≈ 66 ϕ
			6,0575
	m6′		32 −22,56			≈ 66 ϕ(1,56)≈ 66 0,1182 ≈ 7,8.
		≈ 66 ϕ
			6,0575

-84-

Найдём 2p по формуле

2

(mi − mi′ )2

(10 −

5,8)2

(14 −14,7)2

(22

− 24,1)2

p = ∑

mi′

=

+

+

+

5,8

14

,7

24,1

+

(24 − 25,6)2

+

(16 −17,6)2

+ (14 −7,8)2

≈ 8,43

25,6

17,6

7,8

Число степеней свободы равно 6-3=3, следовательно, при уровне значимости α = 0,05 имеем по таблице 2кр(3;0,05)= 7,8 , а при уровне

значимости α = 0,01 имеем по таблице 2кр(3;0,01)=11,3. Таким образом, при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу отвергаем, а при уровне значимости α = 0,01 у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

55.Выборочный коэффициент корреляции и его свойства

Вреальном мире многие явления природы происходят в обстановке действия многочисленных факторов, влияние каждого из них ничтожно, а число их велико. В этом случае связь теряет свою однозначность, и изучаемая физическая система переходит не в определенное состояние, а в одно из возможных для неё состояний. Здесь речь может идти лишь о статистической связи. Знание статистической зависимости между случайными переменными имеет большое практическое значение: с её помощью можно прогнозировать значение случайной переменной в предположении, что независимая переменная примет определённое значение.

Статистические связи между переменными можно изучать методом корреляционного и регрессионного анализа. Основная задача корреляционного анализа - выявление связи между случайными переменными путём точечной и интервальной оценки парных коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости коэффициентов корреляции. Корреляционный анализ позволяет оценить функцию регрессии одной случайной величины на другую. Предпосылки корреляционного анализа следующие: 1) переменные величины должны быть случайными; 2) случайные величины должны иметь нормальное распределение.

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле

-85-

rв = ∑(xi −(x)) (y(i −) y)

n S x S y

Выборочный коэффициент корреляции оценивает тесноту линейной связи.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции принимает значения на интервале

[−1;1].

Доказательство. Докажем справедливость утверждения для дискретных переменных. Запишем явно неотрицательное выражение

1 n xi − x

yi − y

2

i∑=1

±

≥ 0 . Возведём выражение под знаком сум-

n

S(x)

S(y)

1 n (xi − x)2

2 n (xi − x)(yi − y)

1 n (yi − y)2

мы в квадрат

i∑=1 S 2 (x)

±

i∑=1 S(x)S(y)

+

i∑=1 S 2 (y) .

n

n

n

Первое и третье слагаемые равны единице по определению дисперсии. Таким образом: 1±rв +1 ≥ 0, откуда −1 ≤ rв ≤1.

2. Выборочный коэффициент корреляции не зависит от выбора

начала точки отсчёта и единицы измерения, то есть для любых

a1 ,b1 ,a2 ,b2 выполнено равенство

rв(a1x +b1 ;a2 x +b2 )= rв(x; y).

3.

Выборочный коэффициент

можно

вычислять по формуле

r

=

xy − x y

.

S(x)S(y)

в

Доказательство. По определению

1

∑(xi − x)(yi

− y)

1

(∑xi yi − x∑ yi − y∑xi +n x y)

r

=

n

=

n

=

S(x)S(y)

в

S(x)S(y)

− x y − x y + x y

− x y

xy

xy

=

=

.

S(x)S(y)

S(x)S(y)

Пример 50. Вычислить выборочный коэффициент корреляции по следующим данным:

xi	2	2	3	5
yi	4	6	6	8

-86-

Решение. Вычислим x =

1

∑xi =

1

(2 +2 +3 +5)= 3;

n

1

1

4

1

=

∑x2 =

(4 +4 +9 +25)=10,5; y =

(4 +6 +6 +8)= 6;

x2

n

i

4

4

=

1

(16 +36 +36 +64)= 38;

=

1

∑xi

yi =

1

(8 +12 +18 +40)=19,5;

y2

xy

4

n

4

S 2 (x)=

x2

− x2 =10,5 −9 =1,5; S 2 (y)=

y2

− y2 = 38 −36 = 2;

− x y

=19,5 −18 = 1,5 ≈ 0,866.

r =

xy

в

S 2 (x)S 2 (y)

3

3

56. Метод вычисления выборочного коэффициента корреляции для вариационных рядов

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции строят корреляционную таблицу. Для этого разбиваем каждый вариационный ряд на интервальный. Затем находятся входящие в формулу для вычисления выборочного коэффициента корреляции параметры.

Пример 51. По данным наблюдений над случайными величинами X и Y получена выборка, приведённая в таблице

№ X		Y № X			Y № X			Y № X			Y
1	7,1	10,0	14	14,8	35,3	27	10,9	18,2	40	16,1	30,1
2	9,5	6,7	15	17,2	36,3	28	11,4	18,7	41	18,2	27,2
3	11,0	14,0	16	19,2	37,4	29	12,3	17,6	42	19,1	30,9
4	12,3	15,1	17	22,3	38,0	30	13,2	18,1	43	17,9	35,1
5	11,8	24,2	18	17,2	40,2	31	13,1	24,1	44	18,7	36,1
6	14,1	19,9	19	19,9	42,4	32	13,6	21,3	45	12,4	17,6
7	15,1	24,3	20	20,1	44,5	33	13,7	19,8	46	12,5	18,6
8	14,7	22,2	21	21,7	42,4	34	14,6	24,1	47	12,7	19,2
9	16,1	21,0	22	8,5	12,2	35	14,2	21,3	48	14,1	26,2
10	13,1	30,1	23	9,7	12,4	36	15,2	25,2	49	14,6	27,4
11	13,8	28,1	24	10,2	12,5	37	16,1	21,1	50	14,9	30,1
12	16,9	30,3	25	11,1	12,9	38	17,2	24,6
13	19,1	27,3	26	11,3	16,1	39	18,0	23,3

Найдём оптимальные длины интервалов и количество интервалов, используя формулу Стэрджеса. Для переменной Х наименьшее значение - 7,1 наибольшее - 22,3, тогда оптимальное число интервалов равно 7 с шагом, равным 2,2, при этом получаем такие интервалы:

[7,1;9,3),[9,3;11,5),[11,5;13,7),[13,7;15,9), [15,9;18,1),

-87-

[18,1;20,3), [20,3;22,5). Для переменной У минимальное значение - 6,7

наибольшее - 44,5, тогда оптимальное число интервалов 6 с шагом, равным 6,3. Получаем интервалы

[6,7;13,0), [13,0;19,3),[19,3;25,6),[25,6;31,9), [31,9;38,2),[38,2;44,5]. Рас-

пределим наблюдения по полученным интервалам получим корреляционную таблицу. В таблицу вместо интервалов запишем их середины

	У				Х				ny
		8,2	10,4	12,6	14,8	17,0	19,2	21,4
	9,85	2	4						6
	16,15		4	6					10
	22,45			3	7	4			14
	28,75			1	4	2	3		10
	35,05				1	2	2	1	6
	41,35					1	1	2	4
	nx	2	8	10	12	9	6	3	50

Для упрощения												расчётов			перейдём							к	условным					вариантам
ui =			xi −C x				=			xi −14,8				и vi =		yi −C y				=		yi −22,45				.	Составим рас-
					hx					2	,2						hy					6,3
чётную таблицу.
V														U										nv			vi nv		nvvi2
						-3			-2			-1		0		1		2				3
-2						2			4															6			-12		24
-1									4			6												10			-10		10
0												3		7		4								14			0		0
1												1		4		2		3						10			10		10
2														1		2		2				1		6			12		24
3																1		1				2		4			12		36
nu						2			8			10		12		9		6				3		50			12		104
nuui						-6			-16			-10		0		9		12				9					-2
nuui2						18			32			10		0		9		24				27					120
v	i					-2			-1,5			-0,5		0,5		1		53				83
nuui			v	i		12			24			5		0		9		20				24					94

-88-

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции используем

формулу

r

=

uv −u

v

,

где

u =

1

∑n

u

=

1

(−2)= −0,04;

в

S2(u)S2(v)

n

u

i

50

1

120

2,4 −(−0,04)2 ≈1,549;

=

∑n u2 =

= 2,4;

S(u)= u2

−u2 =

u2

n

u

i

50

12

=

104

=2,08;

v

=

=0,24; v

2

50

50

1

94

S(v)=

v2

−(

v

)2 =

2,08−0,242 ≈1,422;

=

∑nuui

v

i =

=1,88;

uv

n

−u

v

1,88 +0,04 0,24

50

r =

uv

≈

≈ 0,854.

S(u)S(v)

в

1,549 1,422

57. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции

На практике коэффициент корреляции r обычно неизвестен. По результатам выборки может быть найдена его точечная оценка – выборочный коэффициент корреляции rв. Равенство нулю выборочного

коэффициента корреляции ещё не свидетельствует о равенстве нулю самого коэффициента корреляции, а следовательно, о некоррелированности случайных величин Х и У. Чтобы выяснить, находятся ли случайные величины в корреляционной зависимости, нужно проверить значимость выборочного коэффициента корреляции rв, то есть

установить, достаточна ли его величина для обоснованного вывода о наличии корреляционной связи. Для этого проверяют нулевую гипотезу H0 : r = 0. Предполагается наличие двухмерного нормального

распределения случайных переменных; объём выборки может быть

любым. Вычисляют статистику t = r	n −2	, которая имеет распре-
в	1−r 2
	в

деление Стьюдента с k = n −2 степенями свободы. Для проверки нулевой гипотезы по уровню значимости α и числу степеней свободы k находят по таблице распределения Стьюдента критическое значе-

-89-

ние tα ,k . Если t ≥ tα ,k , то нулевую гипотезу об отсутствии корреля-

ционной связи между переменными Х и У следует отвергнуть. Переменные считают зависимыми. При t < tα ,k , нет оснований отверг-

нуть нулевую гипотезу.

В случае значимого выборочного коэффициента корреляции есть смысл построить доверительный интервал для коэффициента корреляции r . Однако для этого нужно знать закон распределения выборочного коэффициента корреляции rв. Плотность вероятности

выборочного коэффициента корреляции имеет сложный вид, поэтому прибегают к специально подобранным функциям от выборочного коэффициента корреляции, которые сводятся к хорошо изученным распределениям, например к нормальному или Стьюдента. Чаще всего для подбора функции применяют преобразование Фишера. Вычис-

			1		1		+rв
	ляют статистику	z =							, где rв = th z	- гиперболический тан-
					1
			2 ln				−r
							в

генс от z . Распределение статистики z хорошо аппроксимируется

нормальным

распределением

с

параметрами

M (z)=

1

1

+r

r

σ 2

1

ln

+

,

=

. В этом случае доверитель-

2

1

2(n −1)

n −

3

−r

z

ный интервал для r

имеет вид th z1 < r < th z2 . Величины z1 и z2 на-

ходятся по формулам z = 1 ln1+rв −

zα ; z

2

= 1 ln1+rв +

zα

,

1

2

1

−r

n −3

2 1−r

n −3

1

−α

в

в

где Ф(z

)=

.

α

2

Пример 52. Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции из примера 51 и найти доверительный интервал с надёж-

ностью 0,95 для него.
	Решение. Для	проверки значимости		найдём	статистику
t = r	n −2 = 0,854	48	≈11,37 . По	уровню	значимости
в	1−r 2	1−0,8542
	в

α = 0,05 и числу степеней свободы k = 48 найдём tα ,k = 2,009 (см. приложение табл.3). Так как t ≥ tα ,k , то нулевую гипотезу об отсут-

ствии корреляционной связи между переменными Х и У следует отвергнуть. Следовательно, выборочный коэффициент корреляции зна-