Ргр №4 – Напряжения в балке при изгибе
Задание. Для заданной схемы нагружения балки (рисунок 22) и номера варианта (таблица 5) требуется:
1. Построить эпюры внутренних изгибающих моментов и поперечных сил.
2. Подобрать по условию прочности размеры поперечных сечений при :
круглого;
квадратного;
прямоугольного пустотелого (рисунок 23);
двутаврового.
Сопоставить затраты материала для всех вариантов.
3. Построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений для двутаврового сечения балки. Определить главные напряжения в опасных точках сечения.
4. Для заданного сечения балки (рисунок 24) из материала, имеющего различные допускаемые напряжения на растяжение и сжатие (построить эпюру нормальных напряжений для наиболее напряженного сечения по длине балки.
Таблица 5 – Исходные данные
№ |
| |||||
1 |
3 |
16 |
24 |
10 |
1 |
4 |
2 |
6 |
20 |
32 |
16 |
3 |
6 |
3 |
4 |
18 |
20 |
12 |
5 |
8 |
4 |
7 |
16 |
24 |
20 |
7 |
6 |
5 |
6 |
20 |
16 |
8 |
9 |
4 |
6 |
4 |
18 |
20 |
16 |
10 |
8 |
7 |
3 |
16 |
16 |
12 |
8 |
3 |
8 |
2 |
18 |
32 |
20 |
6 |
4 |
9 |
4 |
20 |
28 |
8 |
4 |
6 |
10 |
6 |
16 |
20 |
10 |
2 |
3 |
Рисунок 22 – Схемы балок
Рисунок 22 – Схемы балок (продолжение)
Рисунок 23 – Поперечное сечение балки
Рисунок 24 – Варианты поперечных сечений балок
Пример решения. Рассмотрим балку, представленную на рисунке 25.
Рисунок 25 – Схема балки и эпюры внутренних усилий
Построение эпюр внутренних усилий в балке.
Найдем реакции опор:
.
Откуда .
; .
Откуда .
Проверка:
Составим выражения для определения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам.
Участок 1: ;;,
;
Участок 2: ;
,
Участок 3: ;,,;
, ,.
Участок 4: ; ,
, ;
,.
По полученным данным строим эпюры и(рисунок 25).
На втором участке определим экстремальное значение изгибающего момента, так как поперечная сила на этом участке изменяет знак:
,
.
2. Подбор поперечного сечения балки
Из условия прочности при изгибе
находим требуемый момент сопротивления сечения:
,
где максимальный изгибающий момент из эпюры (рисунок).
Для круглого сечения , тогда
Для квадратного сечения , значит
Для прямоугольного пустотелого сечения (рисунок 23) момент сопротивления необходимо определить через момент инерции сечения:
,
где соответствующие размеры внешнего и внутреннего прямоугольников.
.
Момент сопротивления сечения
,
где – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленного волокна;
Тогда
Для расчетного значения выбираем из ГОСТа двутавр № 24а, для которогои.
Тогда .
При этом перегруз составит
.
Допускаемая величина перегруза (недогруза) должна находиться в пределах 5 %. Так как перегруз меньше 5%, то принимаем этот двутавр.
Вычисляем площадь поперечных сечений:
для круглого сечения ;
для квадратного сечения ;
для прямоугольного сечения ;
для двутаврового сечения .
Для сопоставления площадей сечений (а значит, и объема балок) сведем полученные данные в таблицу 5.
Таблица 5 – Сопоставление площадей сечений
Тип сечения |
Круг |
Квадрат |
Прямоугольник пустотелый |
Двутавр |
Площадь, |
172 |
155 |
96 |
37,5 |
Соотношение, % |
100 |
90,1 |
55,8 |
21,8 |
3. Построение эпюр распределения напряжений для двутаврового сечения и определение главных нормальных напряжений.
Геометрические характеристики двутавра (рисунок 26): ,,
В точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии у от нейтральной оси, нормальные напряжения определяются по формуле:
.
При ;
при .
Изгибающий момент положительный (рисунок 25), следовательно, растягивающие (положительные) напряжениявозникают в нижней половине сечения балки, а сжимающие в верхней.
Касательные напряжения в некоторых характерных точках поперечного сечения балки определим по формуле Журавского:
,
где поперечная сила в рассматриваемом сечении балки;
статический момент (относительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения, расположенного по одну сторону от уровня, на котором определяются касательные напряжения;
момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси;
ширина поперечного сечения балки на том уровне, на котором определяются касательные напряжения.
Направление этого напряжения совпадает с направлением поперечной силы.
В верхней точке 1 сечения (рисунок 26) касательные напряжения, так как для этой точки.
В точке 2, расположенной непосредственно над линией, проходящей через нижнюю грань верхней полки двутавра,
Рисунок 26 – Эпюры внутренних напряжений
Максимальная поперечная сила оказывается над опорой(рисунок 25) и равна.
Следовательно,
.
В стенке двутавра в точке 3, расположенной непосредственно под точкой 2, касательные напряжения
.
Касательные напряжения на уровне нейтральной оси
Между точками 1, 2 и 3, 4 касательные напряжения изменяются по квадратной параболе.
По найденным значениям ипостроим эпюру нормальных и касательных напряжений (рисунок 26) соответственно для сеченияи(рисунок 25).
В случае поперечных сечений с резко меняющейся шириной могут возникнуть большие главные нормальные напряжения.
Их определение в общем случае плоского напряженного состояния производится по формуле:
.
При прямом поперечном изгибе и.
Тогда .
Здесь инормальные и касательные напряжения в рассматриваемой точке, действующие по площадке, совпадающей с поперечным сечением балки. Из формулы видно, что напряжениевсегда положительно, авсегда отрицательно.
При плоском напряженном состоянии одно из главных напряжений равно нулю. Поэтому в соответствии с правилом, согласно которому , напряжениеследует обозначить, а напряжение.
Для определения главных напряжений необходимо определить опасное сечение, где напряжения иимеютодновременно большие значения. Согласно эпюрам и(рисунок 25) такое сечение проходит через точку
В этом сечении нормальные напряжения в крайних волокнах равны
.
На уровне примыкания полок к стенке
в точках и (рисунок 27)
Рисунок 27 – К определению главных напряжений
Касательные напряжения на уровне нейтральной оси в сечение С (точка )
На уровне сопряжения с полкой (точки N и M)
.
На этом уровне определим значения главных напряжений:
;
.
Таким образом, главные напряжения в опасных точках не превосходят нормальных напряжений в крайних волокнах сечения .
В верхнем сжатом волокне (точка) рассматриваемого сечения
, .
В нижнем растянутом волокне (точка )
, .
На уровне нейтральной оси сечения (точка )
, .
В этом случае значения главных напряжений на площадках, повернутых на угол 450, равны
, .
Следовательно, в точках нейтрального слоя возникает напряженное состояние чистого сдвига, а в верхних и нижних волокнах – одноосное напряженное состояние (рисунок), во всех других промежуточных точках – двухосное напряженное состояние.
4. Определение нормальных напряжений для заданного поперечного сечения (рисунок 28).
Находим положение центра тяжести поперечного сечения, определяя таким образом расстояние до нейтральной оси нижней кромки:
.
Рисунок 28 – К расчету нормальных напряжений в сечении
Определим момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси
В сечении , где изгибающий момент имеет наибольшее значение (рисунок 25), нижние волокна, испытывающие растяжение, расположены на расстоянииот нейтральной оси.
Наибольшие растягивающие напряжения в этом сечении
Верхние волокна сечения испытывают напряжения сжатия
Эпюра нормальных напряжений для рассмотренного сечения приведены на рисунке.
Контрольные вопросы к РГР №4
Как расположены нейтральный слой и нейтральная ось при поперечном изгибе?
По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном сечении балки при поперечном изгибе и как они изменяются по высоте балки?
Что называется жесткостью сечения при изгибе?
Что такое момент сопротивления при изгибе и какова его размерность?
По какой формуле определяются касательные напряжения при поперечном изгибе?
Какой вид имеют эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях прямоугольной и двутавровой формы?
Как находятся главные напряжения при изгибе?
Как направлены главные площадки на уровне нейтрального слоя и в точках, наиболее удаленных от этого слоя?
Виды задач, встречающиеся при расчете на прочность элементов конструкций?
Библиографический список
ГОСТ 8239 – 89. Сортамент черных металлов. Сортовой и фасонный прокат. Ч. 1. – Введ. 1990 – 01 ─ 07. ─ М. : Изд-во стандартов, 1991. – 6 с.
ГОСТ 8240 – 97. Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент. – Введ. 2002 ─ 01 ─ 01. – Минск : ИПК изд-во стандартов, 2001. – 6 с.
ГОСТ 8509 – 93. Уголки стальные горячекатаные равнополочные. Сортамент, – Введ. 1997 ─ 01 ─ 01. – Минск : Изд-во стандартов, 2000. – 14 с.
ГОСТ 8510 – 86. Уголки стальные горячекатаные неравнополочные. Сортамент. – Введ. 1987 ─ 01 ─ 07. – М. : Изд-во стандартов, 1995. – 7 с.
Учебное издание
Составитель
Епифанцев Юрий Андреевич
Витушкин Александр Викторович