позиционные задачи 2 работа

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“Сибирский государственный индустриальный университет”

Кафедра графики и начертательной геометрии

ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Пересечение плоскостей

Рекомендации к выполнению чертежей по курсу “Начертательная геометрия”

Новокузнецк

2007

УДК 514.182 (07) О 751

Рецензент:

Кафедра механического оборудования металлургических заводов СибГИУ (заведующий кафедрой

профессор Савельев А.Н.)

О 751 Основные позиционные задачи.: Метод. указ. / Сост.: Г.И. Живаго, Э.Я. Живаго, З.В. Шадрина, Л.А. Гаряшина. СибГИУ. – Новокузнецк, 2007. – 17 с., ил.

Изложены основы построения линий пересечения плоскостей. Рассматриваются примеры построения прямой пересечения плоскостей.

Предназначены для студентов всех специальностей, выполняющих работы по начертательной геометрии.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Тема “Пересечение плоскостей” является частью раздела “Основные позиционные задачи” курса “Начертательной геометрии” и изучается студентами всех специальностей.

Позиционными называются задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга. К таким задачам относятся задачи на взаимопринадлежность (взятие точки на линии или поверхности и т.д.) и задачи на пересечение.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принадлежат каждой из пересекающихся поверхностей. Поэтому построение линии пересечения двух поверхностей Ф1 и Ф2 сводится к нахождению общих точек, принадлежащих множеству точек поверхности Ф1 и множеству точек поверхности Ф2.

Способ построения линии пересечения двух поверхностей заключается в следующем (рисунок 1):

-заданные поверхности Ф1 и Ф2 пересекают третьей вспомогательной поверхностью Ф3;

-находят линии m и n, по которым эта вспомогательная секущая поверхность пересекает каждую из данных поверхностей;

m= Ф3 ∩ Ф1;

n= Ф3 ∩ Ф2;

- отмечают точку (точки) М, полученные линии пересечения m и n

М = m ∩ n.

Ф1

l

М Ф3 т

в которой пересекаются

Ф2

п

Рисунок 1 – Пересечение поверхностей

Повторив отмеченные операции несколько раз, получают множество точек. Линия l, соединяющая эти точки, является искомой линией пересечения поверхностей.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

∆

l

K q

Σ

Рисунок 2 – Пересечение прямой с плоскостью

На рисунке 2 изображена прямая l и плоскость Σ. Необходимо определить точку К пересечения прямой l с плоскостью Σ.

Алгоритм решения

1. Через прямую l проводим вспомогательную плоскость ∆ (обычно частного положения)

l ∆ .

2. Строим линию q пересечения заданной плоскости Σ с

вспомогательной плоскостью ∆ , q = ∆IΣ.

3. Определяем точку К пересечения построенной прямой q с данной прямой l

( )К = q Il .

Решение задачи на комплексном чертеже

Дано: Σ(А1В1С1, А2В2С2) – плоскость общего положения , l(l1, l2) – прямая общего положения (рисунок 3).

Определить точку К пересечения прямой l с плоскостью Σ(АВС) и установить видимость прямой l относительно заданной плоскости Σ.

Решение

1.Через прямую l проводим вспомогательную плоскость

∆– горизонтально-проецирующую (∆ Π1)

l ∆.

2.Строим линию q пересечения вспомогательной плоскости ∆ с заданной плоскостью Σ(АВС)

q = ∆∩Σ(АВС).

3.Определяем точку К пересечения построенной прямой q

сзаданной прямой l.

q∩l = К, так как q ∆ и l ∆.

4. Определяем видимость прямой l относительно плоскости Σ(АВС) с помощью конкурирующих точек.

l2

q2 12

A2

A1

l1 ≡ ∆1 ≡ q1 11

B2

K2

K1

B1

22

32 ≡ (42)

C2

52

41

C1

31 21 ≡ (51)

Рисунок 3 –

На горизонтальной проекции для этого используем горизонтально-конкурирующие точки 2 и 5, расположенные на одном горизонтально-проецирующем луче. Причем, точка 2 принадлежит прямой ВС плоскости Σ(АВС), а точка 5 прямой l. По фронтальным проекциям этих точек устанавливаем, что точка 2 прямой ВС, принадлежащей плоскости Σ(АВС), выше точки 5 прямой l. Следовательно, в горизонтальной проекции правая часть прямой l до К(К1) – точки пересечения ее с плоскостью Σ(АВС) будет невидима.

Аналогично определяем видимость прямой l во фронтальной проекции.

С помощью фронтально-конкурирующих точек 3 и 4, лежащих на одном фронтально-проецирующем луче, определяем, что точка 3, принадлежащая прямой l расположена ближе к наблюдателю чем точка 4, принадлежащая прямой АС плоскости Σ(АВС). Другими словами, правая часть прямой l до

точки К(К2) находится перед плоскостью Σ(АВС), следовательно, видима.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости Σ и ∆ (рисунок 4) пересекаются по прямой линии, для определения которой достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей.

Для решения этой задачи будем использовать универсальный алгоритм решения задач по определению линии пересечения поверхностей – метод вспомогательных секущих поверхностей. В качестве секущей поверхности применяем секущую плоскость (рисунок 4).

Последовательность решения задачи следующая:

1.Проводим вспомогательную секущую плоскость Λ.

2.Строим линии a и b пересечения вспомогательной

плоскости Λ с данными плоскостями Σ и Λ

а = Λ∩Σ, b = Λ∩∆.

3.Определяем точку М пересечения этих линий а и b

а∩b = М.

Σ l ∆

а b

M

Λ

d

c

N

Ω

Рисунок 4

4. Проводим вторую вспомогательную плоскость Ω и аналогично:

Ω∩Σ = с, Ω∩∆ = d,

с∩d = N.

5. Через точки М и N проводим прямую линию l пересечения плоскостей Σ и ∆.

Вспомогательные плоскости Λ и Ω не могут располагаться произвольно. Они должны пересекаться с заданными плоскостями по линиям, легко определяемым на чертеже. Обычно используют проецирующие плоскости, линии пересечения которых с другими плоскостями очевидны.

Рассмотрим общий случай пересечения плоскостей, когда обе плоскости – общего положения.

Пример 1. Определить линию l пересечения плоскостей Σ(а∩b) и ∆(с║d). Рисунок 5.

На рисунке 5 плоскость Σ задана пересекающимися прямыми а и b, а плоскость ∆ – параллельными прямыми с и d. Проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую

плоскость Λ(Λ1).

Плоскость Λ пересекает плоскость Σ(а∩b) по линии m, определяемой точками 1 и 2, в которых плоскость Λ пересекает, соответственно, прямые а и b. Она же пересекает плоскость ∆(с║d) по линии n, определяемой точками 3 и 4.

Λ∩Σ(а∩b) = m, Λ∩∆(с║d) = n

Определяем точку М пересечения линий m и n

М = m∩n.

Фронтальную проекцию этой точки получаем в результате пересечения линий m2 и n2 (М2 = m2∩n2), горизонтальную – с помощью линии проекционной связи.

Точка М принадлежит одновременно трем плоскостям Σ, ∆ и Λ. Следовательно, точка М лежит на линии пересечения данных плоскостей Σ и ∆.

Для нахождения второй точки, принадлежащей линии пересечения плоскостей Σ и ∆, проводом еще одну вспомогательную секущую плоскость Ω║Λ.

Плоскость Ω пересекает заданные плоскости по прямым p и q, соответственно параллельным прямым m и n

Ω∩Σ = p, Ω∩∆ = q.

p║m, q║n

Поэтому для определения их проекций достаточно найти точку 5, принадлежащую прямой p и точку 6, принадлежащую прямой q.

				N2
			l2		62	c2
						∆2
Σ2			M2
	52	22					d2
					32
p2			b2		42	n2	q2
m2 12						Λ1 ≡ m1 ≡ n1
a2
		b1			41	Ω1	≡ р1 ≡ q1
a1			M1		31
		21
11				N1	61	∆1	d1
				l1		c1
	51

Σ1

Рисунок 5

Пересечение прямых p и q определяет точку N, принадлежащую линии пересечения заданных плоскостей Σ и ∆.

p∩q = N.

Соединяя построенные точки М и N, получаем искомую прямую l пересечения плоскостей Σ(a∩b) и ∆(c║d).

Линия l бесконечна и поэтому не ограничивается точками

М и N.

Пример 2. Определить линию пересечения двух плоскостей, ограниченных треугольниками Σ(АВС) и ∆(DEF). Установить видимость этих треугольников относительно плоскостей проекции (рисунок 6).

Решение. Вспомогательные секущие плоскости Λ(Λ2) и Ω(Ω2) проводим через стороны ВС и ED треугольников. Это упрощает решение задачи, так как отпадает необходимость в построении линии пересечения каждой вспомогательной плоскости с одной из данных. Вспомогательная фронтальнопроецирующая плоскость Λ пересекается с плоскостью треугольника Σ(АВС) по заданной прямой ВС, а с плоскостью ∆(DEF) – по линии n.

Λ∩Σ(АВС) = ВС,

Λ∩∆(DEF) = n.

Точку пересечения прямых ВС и n обозначим через М(М1,

М2)

ВС∩n = M.

Точка М принадлежит одновременно трем плоскостям Σ, ∆ и Λ, следовательно, точка М лежит на линии пересечения данных плоскостей Σ(АВС) и ∆(DEF).

Аналогично определяем точку N, общую для двух треугольников.

Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость Ω(Ω2) пересекает плоскость Σ(АВС) по прямой m, а плоскость ∆(DEF) – по заданной линии ЕD.

Ω∩Σ(АВС) = m,

Ω∩∆(DEF) = ED.

Точки М и N ограничивают отрезок искомой линии пересечения плоскостей Σ и ∆, находящийся в пределах обоих треугольников.

Видимость треугольников в проекциях определяют с помощью конкурирующих точек следующим образом.