13-02-2014_08-51-17 / Вводная лекция-лабораторный практикум

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Результат измерения – среднее значение и доверительный интервал. Для n-измерений:

1. Вычисление среднего арифметического значения для измеряемой ф.в.:

n

xi

x	i 1
	n .

2. Вычисление погрешностей n-измерений:

xi x xi .

3. Вычисление квадратов погрешностей всех n-измерений:

( xi)2 xi xi .

4. Проверка экстремальных наблюдений и исключение промахов по критерию:

Ui

xi x

n

.

2

(xi x)

i 1

n 1

Определенные по данной зависимости значения Ui сравниваются с Umax по специальной таблице. Если Ui< Umax, то результат измерения промахом не является, если Ui > Umax, то

измеренное значение - промах и оно исключается из результатов опыта.	21

Критерии промахов (Umax)

n	P=0,90	P=0,95	P=0,99
3	1,41	1,41	1,41
4	1,64	1,69	1,72
5	1,79	1,87	1,96
6	1,89	2,00	2,13
7	1,97	2,09	2,26
8	2,04	2,17	2,37

22

5. Вычисление среднего квадратического отклонения отдельного измерения (СКО):

		n
		( x )2
		i1	i
		n 1		.
6. Вычисление среднего квадратического отклонения среднего арифметического (СКО):

n

( xi)2

i 1

x n(n 1) .

7. Вычисление предельной приборной погрешности по классу точности или цене деления шкалы прибора.

8. Определение коэффициентов Стьюдента tP;n и tP;n 100 по таблице для Р=0,95.

9. Вычисление общей доверительной погрешности результата измерения:

x ( x tp;n)2 ( tp;n )2

3 .

10.Представление результата измерения в форме: x x x .

11.Оценка относительной погрешности (качества опыта) по формуле:

xx 100% .

23

Коэффициенты Стьюдента (tp;n)

	P				ЧИСЛО НАБЛЮДЕНИЙ (n)
		2	3	4	5	6	7	8	10	20	30	60	500
	0,70	2	1,3	1,3	1,2	1,2	1,1	1,1	1,1	1,1	1,1	1,0	1,0
	0,90	6,3	2,9	2,4	2,0	2,0	1,9	1,9	1,8	1,8	1,7	1,7	1,6
	0,95	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,1	2,0	2,0	1,9
	0,999	31,8	12,9	8,6	6,9	6,0	5,4	5,4	4,6	3,9	3,7	3,5	3,3

24

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Задача: измерение ускорения свободного падения методом колебаний математического маятника через период его колебаний

g 4 2 l

T 2 .

Непосредственно измеряются l и T – прямые измерения. Для l:

класс точности линейки δ = 0,5 и цена деления с = 1 мм. Если и случайная, и приборная погрешности одного порядка, то они обе учитываются в формуле:

l ( l tp;n)2 ( 3l tp;n )2

Среднее арифметическое, среднеквадратическое отклонение среднего и абсолютная

погрешность равны:

5

5

l)2

l

(l

i

1 i

1000ì

; l

i 1

i

0,5ì ì

l

ì

5 (5 1)

5

l

l

2

l

( t

)2

t

(0,5 1,2)2

c 1,2

2

0,6ì ì .

p 0,7

l

p 0,7;n 5

3

p 0,7;n

3 2

l (

lp 0,7) (1000 0,6)ì

ì

Окончательный ответ:

l

.

25

АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Пусть результат косвенного измерения в общем виде определяется зависимостью:

Y f (x ;x ;...;xn)

.

1

2

1.

Расчёт средних значений xi

и доверительных интервалов для всех n-аргументов.

2.

Вычисление среднего значения косвенной ф.в. Y для средних значений xi :

Y

Y

(x1;x2;...;xn) .

3.

Вывод формулы для абсолютной погрешности по формуле:

Yp

n

Y

2

(

xi

x )

или для относительной погрешности

i 1

ip

Yp

n

lnY

2

(

xi

x )

Y

i 1

ip .

4. Получение численных значений абсолютной погрешности при средних значениях xi .

5.

Представление результата измерения по форме:

Y Y Yp .

6. Оценка относительной погрешности (качества косвенного измерения) по формуле:

Yp 100% .

Y

26

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Задача: проверка основного уравнения динамики вращательного движения на маятнике

Обербека:

MI ,

где ε – угловое ускорение, М – момент сил, I – момент инерции.

Проверка зависимости ε = ε (М) при I=const

Таблица 1

mi, кг	h=______, м ;		h=__________, м		r=__________, м		r1 = (0,009±0,001) м
	t1, с		t2, с	t3, с	t4, с	t5, с	tср., с	tcр., c	tср.± tcр., c

Таблица 2

mi, кг	h=______, м ;		h=__________, м		r=__________, м		r2 = (0,017±0,001) м
	t1, с		t2, с	t3, с	t4, с	t5, с	tср., с	tcр., c	tср.± tcр., c

27

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

ε, М, I – косвенно измеряемые величины, вычисляемые по уравнениям:

M

i

m g r (1

2h

)

i

a

2h

i

1,2

t2

,

r1,2

t2

r

,

cð.,i

cð.,i

1,2

где mi – масса грузов; g - ускорение свободного падения; r1, 2 - радиусы шкивов 1 и 2; h – высота опускания груза; t ср. – среднее время движения груза; a – линейное ускорение груза.

1. Определяем средние арифметические значения напрямую измеряемых величин в опыте,

входящих в формулы для момента сил и углового ускорения: n

ti t i 1

n .

2. Выявляем экстремальные наблюдения и исключаем промахи из опыта:

Ui

ti t

n

.

2

(ti t)

i 1

n 1

28

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

3. Определяем доминирующие значения случайной, либо приборной погрешностей. Так как, в частности, время измеряется несколько раз, то здесь возможно появление случайной и приборной составляющих погрешности.

3.1. Рассчитываем значение случайной погрешности в измерении времени движения груза (t):

где времени;

t

tp;n ,

t

– среднеквадратическое отклонение от среднего арифметического значения

t

tp;n

- коэффициент Стьюдента;

n

2

n

( ti)2

ti

t

i 1

i 1

;

t

n(n 1)

n(n 1)

3.2. Рассчитываем приборную погрешность в измерении времени.

При измерении времени по циферблату часов, электронными средства (мобильный телефон и т. д.) класс точности (δ) не указывается, тогда принимаем за цену деления электронного средства измерения число, обеспечивающее максимальную точность

измерения (например, с = 10 3 , сек.) и тогда 3

t 2c 102 ,ñåê.

3.3. Если случайная и приборная погрешности одного порядка, то доверительный

интервал определяется по формуле:
tp	(		tp;n)2 (	t	tp;n )2
	t		3		29

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

3.3. Ошибка в измерении высоты h (γh) линейкой: класс точности (δ) не указан, тогда цена деления шкалы линейки с = 1 мм = 0,001 м (Система СИ) и тогда

h	c		10 3	;
	2		2 , ì

3.4. Ошибка в измерении радиуса шкива r (γr) линейкой: класс точности (δ) не указан,

тогда цена деления шкалы линейки с = 1 мм = 0,001 м (Система СИ) и тогда

r c	10 3	, ì .
2	2

4. Определяем средние значения момента силы (М) и углового ускорения (ε):

Y Y(x1;x2;...;xn) ;

M M (t2;h;r;mi) .

30