Введение

Основная цель предлагаемого методического материала – помочь студентам, изучающим дисциплину «Теория автоматического управления» (особенно изучающим самостоятельно), приобрести навыки решения задач по основным разделам линейной теории автоматического управления. Основное внимание уделено решению с использованием частотных характеристик.

Для лучшего усвоения теоретического материала приведены развёрнутые решения типовых задач и методические указания к ним, что позволит студентам в более полном объёме представить круг вопросов, подлежащих изучению в основных разделах линейной ТАУ.

Появившиеся в 60-е годы системы автоматического регулирования последовательного действия быстро получили широкое применение в системах автоматизированного электропривода. Структурно такие системы состоят из последовательно включённых контуров регулирования, число которых равно числу регулируемых координат. В учебном пособии рассматриваются основы оптимизации контуров и систем подчинённого регулирования с позиции ТАУ.

Методические материалы и указания подготовлены на кафедре АЭП и ПЭ СибГИУ и предназначены для студентов направления 140400.62 Электроэнергетика электротехника, профиль Электропривод и автоматика и для направления 210100.62 Электроника и наноэлектроника, и может быть использовано студентами смежных специальностей.

1. Дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев сау

При составлении дифференциальных уравнений САУ основной задачей является получение дифференциальных уравнений отдельных звеньев системы. Для математического описания САУ её разбивают на динамические звенья. Под динамическим звеном понимают часть системы, которая описывается дифференциальным или иным уравнением определённого вида. В качестве динамических звеньев могут рассматриваться конструктивно обособленные части САУ, например, обмотки возбуждения генераторов, якорные обмотки двигателей, отдельные каскады усилителей и т.д. Иногда динамические звенья могут вообще не иметь физического смысла, характеризуя лишь математическую зависимость между некоторыми величинами САУ.

При составлении уравнений звена следует:

• определить входную и выходную величину звена и установить дополнительные факторы, от которых зависит выходная величина;

• выбрать начало отсчета и положительное направление отсчета всех входящих в рассмотрение переменных;

• ввести соответствующие упрощения, допущения;

• используя физические законы той отрасли науки и техники, к которой относится исследуемое звено, составить уравнение. Для получения уравнений электрических звеньев используются законы Кирхгофа, для механических звеньев – закон Ньютона, для гидравлических и пневматических звеньев – законы сохранения энергии и вещества, для тепловых устройств – уравнения энергетического баланса и т.д.

В теории автоматического управления принято записывать дифференциальные уравнения в двух стандартных формах:

«Классическая» форма записи:

1. Выходная величина Y и все её производные переносятся в левую часть уравнения, входная величина X, её производные и возмущающее воздействие f – в правую;

2. Коэффициент при выходной величине Y должен быть равен единице;

3. Постоянные времени Т_i записываются в степени соответствующей производной.

Рассмотрим пример первой формы записи:

. (1)

Здесь Т₁, Т₂, Т₃, -постоянные времени, , - коэффициенты, t – текущее время.

Обозначив - символ дифференцирования, получим более компактную форму записи:

. (2)

«Операторная» форма записи:

Считая условно алгебраической величиной, решим уравнение(2) относительно выходной переменной

. (3)

Передаточной функцией звена по определённому внешнему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу рассматриваемого воздействия(i – номер входного воздействия) при нулевых начальных условиях и других внешних воздействиях равных нулю:

. (4)

Для получения передаточной функции следует:

• записать уравнение звена в символической форме, заменив ;

• формально разделить символический многочлен, стоящий множителем в правой части уравнения перед рассматриваемым внешним воздействием, на символический многочлен в левой части уравнения, являющийся множителем перед выходной координатой:

. (5)

Поскольку конкретный вид управляющих воздействий и возмущающих воздействийне оговариваются, то передаточная функция звена не зависит от закона изменения воздействий и определяется только свойствами самого звена.

Для получения дифференциального уравнения звена по передаточной функции следует записать операторное уравнение звена:

,(6)

и заменить оператор Лапласа :

. (7)

Пример 1.1. Вывести дифференциальное уравнение пассивного электрического корректирующего устройства постоянного тока представленного на рисунке 1.

(а) (б)

Рисунок 1. Пассивное корректирующее устройство (а) и эквивалентная схема (б)

Решение:

Первый способ.

Используя закон Кирхгофа, можно записать два уравнения:

. (8)

Из второго уравнения:

. (9)

Подставим выражение для тока в первое уравнение:

. (10)

Продифференцируем полученное уравнение:

. (11)

Следовательно, дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи имеет вид:

. (12)

Обозначив получим:

. (13)

Второй способ.

Для получения дифференциального уравнения воспользуемся операторной формой записи сопротивлений: индуктивного, емкостного, активногоR, где - символ дифференцирования.

Преобразуем электрическую цепь рисунка 1 (а) в эквивалентную схему рисунок 1 (б)

. (14)

Следовательно:

; (15)

. (16)

Передаточная функция:

. (17)

Подставив значения и, получим:

(18)

Таким образом, по определению передаточной функции

. (19)

Следовательно:

. (20)

Пример 1.2. Найти дифференциальное уравнение и передаточную функцию мостовой схемы представленной на рисунке 2.

Рисунок 2. Пассивная мостовая RC цепь

Решение. Токи плеч моста:

; (21)

, (22)

где и.

Напряжение определяется:

. (23)

Следовательно, дифференциальное уравнение имеет вид:

. (24)

Передаточная функция определяется:

. (25)

Пример 1.3. Определить дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при управлении изменением напряжения на якоре. Принять: ,,.

Решение. Основное уравнение движения электропривода (второй закон Ньютона):

. (26)

Поскольку , то.

Уравнение электрического равновесия для цепи якоря (второй закон Кирхгофа):

, где ;(27)

. (28)

Поделив правую и левую части уравнения на и умножив и разделив коэффициент принаполучим:

. (29)

Обозначим:

- электромеханическая постоянная времени;

- электромагнитная постоянная времени;

- «просадка» скорости;

- коэффициент передачи двигателя по напряжению.

С учетом принятых обозначений, получим:

. (30)

Пример 1.4. Найти дифференциальное уравнение и передаточную функцию корректирующего устройства постоянного тока с операционным усилителем представленного на рисунке 3.

Рисунок 3. Активное корректирующее устройство

Решение. Передаточная функция корректирующего звена при определяется:

, (31)

где ,

,

,,.

Следовательно, передаточная функция:

. (32)

Дифференциальное уравнение:

, (33)

или

. (34)