Распределение случайных величин Табличный и графический способы

При практическом наблюдении случайной величины поступают следующим образом.

Весь наблюдаемый диапазон изменения случайной величины разбивают на опреде- ленные интервалы (разряды).

хmin		хmax	х
	Диапазон изменения
Частоты подсчитывают не по действитель-
ным значениям случайной величины, а11			по
интервалам (разрядам).

Распределение случайных величин Табличный и графический способы

Значение имеет количество интервалов − k.

Оно не должно быть и очень малым (k≥6) и очень большим (k<22…24), т.к. в противном случае теряются особенности распределения.

В качестве первого приближения для определения количества интервалов k можно использовать формулу:

k N

где N – количество наблюдений.

Распределение случайных величин Табличный и графический способы

Табличную форму представления получен- ных таким образом данных называют интервальным рядом.

Пример интерального ряда распределения диаметра вала показан в таблице:

Интервал 20,00- 20,05- 20,10- 20,15- 20,20- 20,25- 20,30-

	значений х	20,05	20,10	20,15	20,20	20,25	20,30	20,35
	Частота fi	2	10	24	30	22	10	2
	Частость	0,02	0,10	0,24	0,30	0,22	0,10	0,02
	fi/N

Распределение случайных величин Табличный и графический способы

Графическое представление распределения случайной величины выполняют при этом обычно в виде гистограммы:

Гистограмма результатов измерения диаметра вала

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Функция
	способы	распределения

При теоретическом описании непрерывной случайной величины разбивка ее на разряды представляет значительные трудности. Поэ- тому в этом случае вводится понятие функции

распределения.

Пусть Х случайная величина, а х – какое- либо действительное число, причем Х<x.

Х х

Этому событию соответствует вероятность:

P X x

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Функция
	способы	распределения

Эта вероятность зависит от x, т.е. есть некоторая функция от x.

Эту функцию и называют функцией распределения случайной величины и обозначают F(x):

F (x) P X x

Иногда функцию распределения называют

интегральной функцией распределения.

	Распределение случайных величин
	Аналитические		Функция
	способы		распределения
	Таким образом, интегральная функция рас-
пределения определяет вероятность того, что
случайная величина		Х	примет значение

меньше произвольно изменяемого действи- тельного числа х, где:

x

Случайная величина считается заданной, если известна ее функция распределения.

	Распределение случайных величин
		Аналитические		Функция
		способы		распределения
	Сформулируем некоторые общие свойства
функции распределения:					есть
1)			Функция	распределения
неубывающая функция своего аргумента, т.е.
при:			x2 x1	F(x2 ) F(x1 )

2) На минус бесконечности функция распреде-ления равна нулю:

F( ) 0

3) На плюс бесконечности функция распреде-ления равна единице:

F ( ) 1

Распределение случайных величин Аналитические Функция способы распределения

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения:

4) Для непрерывной случайной величины функция распределения представляет собой непрерывную, монотонно возрастающую функцию:

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Функция
	способы	распределения

При решении практических задач, связанных со случайными величинами, часто бывает необходимым вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например от x1 до x2.

		х1		Х			х2
Условимся для определенности, левый конец x1
включать в участок (x1,				x2), а правый конец x2 – не
включать.
на	В таком случае попадание случайной величины X
	участок (x1,		x2),		равносильно выполнению
неравенства:			x1 X x2

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Функция
	способы	распределения

		х1	Х				х2
	Выразим вероятность этого события через
F(x). Рассмотрим для этого три события:								,
–событие А, состоящее в том, что X x2
–событие B, состоящее в том, что X x1 ,
–событие			C, состоящее			в том,x X x .
что						1		2

Учитывая, что А=В+С (В или С), по теореме сложения вероятностей имеем:

	Распределение случайных величин
	Аналитические		Функция
	способы		распределения
	P X x2 P X x1 P x1 X x2
	или:	F x2 F x1 P x1 X x2
	откуда:	P x1 X x2	F x2 F x1

Таким образом, вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения

на этом участке:

P x1 X x2 F x2 F x1

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Плотность
	способы	распределения
	Вычислим вероятность попаданий случай-
ной величины Х на участок от х до			x x :

P x X x x F x x F x

Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность на этом участке и будем приближать ∆х к 0. В пределе получим производную от функции распределения:

lim	F(x x) F(x)								F (x)
x 0			x
Введем обозначение:
		x		f		x
	p							F x

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Плотность
	способы	распределения

Функция f(x) − производная функции распре- деления характеризует как бы плотность, с которой распределяется значение вероятности случайной величины в данной точке.

Ее называют плотностью распределения

непрерывной случайной величины х. Другие названия :

дифференциальная функция распределе- ния,

плотность вероятности.

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Плотность
	способы	распределения

Кривая, изображающая зависимость f(x) от х, называется кривой распределения:

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Плотность
	способы	распределения
	Отметим основные	свойства	плотности
распределения:

1) Плотность распределения есть неотри- цательная величина при всех значениях аргумента.

Это следует из того, что f(x) есть произ- водная нигде не убывающей функции F(x).

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Плотность
	способы	распределения
	Отметим основные	свойства	плотности
распределения:			случайной
	2) Вероятность попадания
величи-ны на элементарный участок
примерно равна f x x		x, x x
		:

P x X x x f x x

Геометрически это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на кривой распределения на отрезок ∆х:

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Плотность
	способы	распределения
	Отметим основные	свойства	плотности
распределения:

3) Вероятность попадания величины Х на
отрезок от	х1	до	х2	выраженная через
плотность	распределения				запишется
следующим образом:				x2
P x1 X x2				f (x)dx
				x1	F(x) является
Это следует из того, что
первообразной функцией по отношению к f(x).
Поэтому:				x2	x2
P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1 ) F (x)dx f (x)dx
				x1	x1

	Распределение случайных величин
	Аналитические		Плотность
	способы	основные	распределения
	Отметим		свойства	плотности
распределения:
	Графически	это выразится		площадью
криволинейной трапеции:

	Распределение случайных величин
	Аналитические	Плотность
	способы	распределения
	Отметим основные	свойства	плотности
распределения:

4) Если задаться обратной задачей –
выразить	F(x)	через	f(x),		то получим
следующее.
По определению:
	F x P X x P X x
Отсюда с учетом формулы:					x2
		x
		P x1 X x2			f (x)dx
имеем:	F x f (x)dx				x1

Геометрически F(x) есть площадь под кривой распределения, лежащей левее точки х.

	Распределение случайных величин
	Аналитические		Плотность
	способы		распределения
	Отметим основные		свойства плотности
распределения:
	5) Интеграл в бесконечных пределах от f(x)
равен единице:

f (x)dx 1

Это следует из предыдущей формулы

	x
	F x f (x)dx
и из того, что:
	F( ) 1