ЧИСЛОВЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Числовые характеристики случайных величин

Выше мы рассмотрели способы описания случайных величин и их распределения в табличном, графическом виде, функцией распределения и плотностью распределения. Каждый из этих способов полностью описы- вает случайную величину с вероятностной точки зрения.

Однако на практике, в большинстве случаев, нет необходимости характеризовать случай- ную величину полностью, исчерпывающим образом. Чаще всего достаточно указать

отдельные числовые параметры, которые характеризуют существенные черты рас- пределения случайной величины.

Числовые характеристики случайных величин

В качестве таких черт распределения можно отметить следующие:

среднее значение, вокруг которого группи- руются возможные значения случайной вели- чины;

степень разброса случайных величин;

асимметричность распределения и т. п.

Характеристики, назначение которых – вы- разить в сжатой форме наиболее сущес- твенные особенности распределения, называ- ются числовыми характеристиками случай- ной величины.

В статистических методах управления качеством используются обычно две группы таких характеристик: характеристики положения и характеристики рассеивания3 .

Числовые характеристики случайных величин Характеристики положения

Среднее значение случайной величины, в

качестве характеристики ее положения, есть некоторое число, являющееся как бы её «представителем» и заменяющее её при ориентировочных расчетах.

В качестве средней величины используют обычно:

математическое ожидание;среднее арифметическое;медиану;

моду.

Числовые характеристики случайных величин

Характеристики

Математическое

положения

ожидание

Математическое ожидание используют для

теоретических

значений

случайной

величины.

В случае дискретной случайной величины

его находят следующим образом:

имеет воз-

Пусть случайная

величина х

можные значения: х1, х2, ..., хn

с вероятнос-

тями p1, p2, …, pn.

р1

р2

рi

рn

х1

х2

хi

хn

Для того, чтобы охарактеризовать положе- ние значений случайной величин на оси х каким-либо числом, возьмем среднее взвешенное значение.

Числовые характеристики случайных величин Характеристики Математическое положения ожидание

Каждое хi при осреднении учитывается со своим весом – вероятностью pi:

M x			x1 p1			x2 p2	...		xn pn
		p1	p2 ... pn		p1	p2 ... pn		p1	p2 ... pn

x1 p1 x2 p2 ... xn pn p1 p2 ... pn

	n
С учетом того, что	pi 1
	i 1
	n
получаем:	M x xi pi
	i 1

n

xi pi

i 1

n

pi

i 1

	Числовые характеристики случайных величин
	Характеристики	Математическое
	положения	ожидание

Это среднее взвешенное значение случайной величины и называют её математи- ческим ожиданием. В некоторых источниках его обозначают символом μ:

n

M x xi pi

i 1

Итак, математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на вероятности этих значений.

Числовые характеристики случайных величин Характеристики Математическое положения ожидание

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание выражается уже не суммой, а интегралом:

M x х f (x)dx

где f(x) – плотность распределения случай- ной величины х.

Эта формула получается из предыдущей:

n
M x xi pi
i 1
если в ней заменить отдельные значения
непрерывно изменяющимся	параметром
соответствующие вероятности	pi на f(x)dx,
сумму на интеграл.	8

хi х,

а

	Числовые характеристики случайных величин
	Характеристики	Среднее
	положения	арифметическое

Среднее арифметическое используют для эмпирических (опытных) распределений случайных величин.

Средним арифметическим значением в этом случае называют отношение суммы всех измеренных значений случайной величины на их количество n:

			1			1	n
				(x1 x2	... xn )		xi
	X
			n			n i 1

	Числовые характеристики случайных величин
	Характеристики	Среднее
	положения	арифметическое

Для рядов с повторяющимися значениями величин используют следующее выражение:

X 1 m xi hi n i 1

где hi – частота появления значений хi;

n – общее число наблюденных значений хi:

m

n hi

i 1

m – число отдельных не повторяющихся значений хi.

	Числовые характеристики случайных величин
	Характеристики	Среднее
	положения	арифметическое
	Для непрерывных	случайных величин,

представляемых в виде интервального ряда, в этом выражении в качестве хi, принимают обычно середину интервалов:

X1 m xср h n i 1 i i

где xiср – середина i-ого интервала.