[ Будылин ] Ряды и интегралы Фурье

5.5.Гладкость преобразований Фурье быстро убывающих функций и скорость убывания преобразований Фурье гладких функций

Если функция f(x) непрерывна и сходится интеграл

+∞

Z

|xf(x)| dx ,

−∞

то преобразование Фурье fb(ξ) является непрерывно дифференцируемой функцией, причем производная dξd fb(ξ) является преобразованием Фурье функции −ixf(x):

dξ	= √2π	+∞
		Z	(−ix)f(x)e−iξx dx .
df(ξ)	1
b		−∞

Это сразу вытекает из теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру, поскольку здесь интеграл справа, полученный формальным дифференцированием преобразования Фурье функции f под знаком интеграла, сходится равномерно по ξ.

Как следствие получаем, если функция f(x) непрерывна и абсолютно интегрируема со степенью |x|n, ее образ Фурье fb(ξ) является n раз непрерывно дифференцируемой функцией, причем

F	dn
(−ix)nf(x) 7−→		fb(ξ) .
	dξn

Рассмотрим теперь вопрос о скорости убывания преобразования Фурье гладкой функции.

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 91 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Теорема 5.4. Пусть теперь функция f — непрерывно дифференцируема, причем f и f0 — абсолютно интегрируемы:

+∞		+∞
Z	|f(x)| dx < +∞ ,	Z	|f0(x)| dx < +∞ .
−∞		−∞

Тогда имеет место соотношение

fb0(ξ) = iξfb(ξ) ,

в частности

fb(ξ) = o 1 .

ξ→∞ |ξ|

Доказательство. Согласно формуле Ньютона–Лейбница

b

Z

f(b) − f(a) = f0(x) dx

a

и абсолютной интегрируемости функции f0, существуют пределы

lim f(a) ,	lim f(b) .
a→−∞	b→+∞

Если любой из этих пределов не равен нулю, функция f не может быть абсолютно интегрируемой на R, таким образом

lim f(a) = 0 , lim f(b) = 0 .

a→−∞ b→+∞

Ряды Фурье Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 92 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Тогда, интегрируя по частям, находим

+∞

+∞

1

Z

f0(x)e−

iξx

dx =

f(x)e−iξx

+∞

1

Z

f(x)(−iξ)e−

iξx

dx

f0(ξ) = √2π

√2π

−∞−√2π

b

−∞

+∞

= √2π

−∞

Z

f(x)e−iξx dx = (iξ)f(ξ) .

(iξ)

b

−∞

Как следствие, если функция f непрерывно дифференцируема n раз и абсолютно интегрируема на R вместе со своими производными, то ее образ убывает на беско-

нечности быстрее чем |ξ|−n:

1 fb(ξ) = o |ξ|n ,

причем

dn f(x) 7F−→ (iξ)nfb(ξ) . dxn

Таким образом, при преобразовании Фурье операция умножения на независимую переменную x переходит в операцию дифференцирования (по ξ) с точностью до множителя i, а операция дифференцирования по x переходит в операцию умножения на независимую переменную ξ с точность до того же множителя i:

	x			i d
			F
				dξ
	d		F
				iξ .
	dx

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 93 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

5.6.Пространство Шварца

В теории интеграла Фурье важную роль играет пространство Шварца S(R) гладких быстро убывающих функций. Это пространство функций состоит из бесконечно дифференцируемых функций, которые вместе со всеми своими производными убывают на бесконечности быстрее любой степени |x|:

|f(x)| 6	Ck	,		dnf(x)			6		Cn,k	n, k N.
	1 + |x|k			dxn				1 + |x|k

Согласно предыдущему пункту оператор Фурье F функцию класса Шварца переводит снова в функцию класса Шварца. Поскольку обратный оператор Фурье с точностью до отражения P совпадает с преобразованием Фурье, то заключаем, что оператор Фурье отображает пространство Шварца на все пространство Шварца взаимно однозначно:

F : S(R) → S(R) ,

F −1 : S(R) → S(R) .

Превратим пространство Шварца в унитарное пространство, задавая в нем скалярное произведение равенством

+∞

Z

hf|gi = f(x)g(x) dx .

−∞

При этом

+∞

kfk2 = Z	|f(x)|2 dx .
−∞

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 94 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Напомним, что в абстрактном унитарном пространстве V оператор A называется сопряженным к оператору A, если

a , b V : hAa|bi = ha|A bi .

Оператор A называется при этом унитарным, если

AA = A A = I , т.е. A = A−1 .

Унитарное преобразование сохраняет скалярное произведение и, в частности, норму

вектора:

hAa|Abi = ha|A Abi = ha|bi , kAak = kak .

Теорема 5.5. Оператор Фурье унитарен на пространстве Шварца:

F = F −1 .

Доказательство. Пусть f, g S(R). Тогда

hF f|gi =	+∞		+∞
	Z	dξ √2π	Z	dx f(x)e−iξxg(ξ) =
	−∞	1	−∞
					+∞
				= Z		dx

−∞

√2π	+∞			+∞
	Z	dx Z			dξ f(x)eiξxg(ξ)
1	−∞		−∞
f(x) √2π			+∞
			Z	eiξxg(ξ) dξ = hf|F −1gi .
	1

−∞

Перестановка порядков интегрирования возможна ввиду равномерной сходимости интегралов.

Следствие 5.6 (Равенство Парсеваля).

+∞ +∞

ZZ

|fb(ξ)|2 dξ = |f(x)|2 dx .

−∞ −∞

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 95 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

В дальнейшем вообще через F будет обозначаться оператор

F = P F , F : f 7→f ,	f(ξ) = √2π	+∞
		Z	f(x)eiξx dx ,
	1
e	e	−∞

и называться сопряженным преобразованием Фурье.

Замечание 5.7. Как легко видеть, формула

hF f|gi = hf|F gi

будет верна для значительно более широкого класса функций, нежели класс Шварца. Достаточно, чтобы f и g были непрерывными (кусочно непрерывными), абсолютно интегрируемыми функциями. Как следствие, будем иметь равенство

hfb|gbi = hf|gi ,

если f — непрерывная, абсолютно интегрируемая функция, а gb — абсолютно интегрируемый образ Фурье дифференцируемой и абсолютно интегрируемой функции g. Действительно, в этом случае, в силу формулы обращения, g = F −1gb и тогда

hfb|gbi = hF f|gbi = hf|F −1gbi = hf|gi .

В частности, равенство Парсеваля

kfbk = kfk

сохраняет силу, когда fb — абсолютно интегрируемый образ Фурье дифференцируемой и абсолютно интегрируемой функции f. В действительности, методами функционального анализа можно показать, что для равенства Парсеваля достаточно лишь одной квадратичной интегрируемости функций!

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 96 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

6.Свертка функций

Сверткой функций f и g на вещественной оси называется интеграл

f g(x) = √2π	+∞		(6.1)
	Z	f(t)g(x − t) dt .
1

−∞

В отличие от периодического случая мы должны позаботиться о сходимости интеграла (6.1). Например, достаточно потребовать непрерывности и абсолютной интегрируемости функции f и непрерывности и ограниченности функции g или наоборот, непрерывности и абсолютной интегрируемости функции g и непрерывности и ограниченности функции f. Как и в периодическом случае, легко показать, что свертка коммутативна:

f g = g f .

Свертка на бесконечном интервале, как и свертка периодическая, часто используется для сглаживания функции. Пусть f — равномерно непрерывная функция на вещественной оси. Пусть ε > 0 фиксировано и δ таково, что

|x − y| < δ |f(x) − f(y)| < ε .

Возьмем произвольно гладкую (непрерывно дифференцируемую или даже бесконечно дифференцируемую) функцию ω, удовлетворяющую условиям:

1.ω(x) > 0 ,

2.ω — четная функция,

3.ω(x) = 0 при |x| > δ ,

+∞ 1 R

4. √ ω(x) dx = 1 .

2π −∞

Ряды Фурье

Интегралы Фурье Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 97 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Напомним, что в силу этих свойств

√2π		+∞
		Z	ω(x − t) dt = 1 .
1
		−∞
Рассмотрим свертку g = f ω:
g(x) = √2π			+∞
			Z	f(t)ω(x − t) dt .
		1

−∞

Здесь интеграл практически не является несобственным — интегрирование реально ведется по интервалу |x − t| 6 δ. Функция g является, очевидно, гладкой, причем

g0(x) = √2π	+∞
	Z	f(t)ω0(x − t) dt .
1

−∞

Вместе с тем функция g является равномерной аппроксимацией функции f:

|f(x) − g(x)| =				+∞
	√2π Z				[f(x) − f(t)]ω(x − t) dt
	1
				−∞
	1			Z			ε		Z
6	√					|f(x) − f(t)|ω(x − t) dt 6	√			ω(x − t) dt = ε .
		2π						2π
			|x−t|6δ						|x−t|6δ

Однако свертка функций не улучшает, вообще говоря, их убывания. Нас свертка будет интересовать с точки зрения преобразования Фурье.

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 98 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Теорема 6.1. Пусть функции f и g — непрерывны и абсолютно интегрируемы на вещественной оси:

+∞

+∞

Z

|f(x)| dx < +∞ ,

Z

|g(x)| dx < +∞ .

−∞

−∞

Тогда

(F f) g = F (f · F g) ,

или что то же

f

g = f

g ,

g = F g .

·

Доказательство.

e

e

Существование свертки очевидно ввиду ограниченности функции

b

d

Формула вытекает из преобразований

fb. 1

+∞

1

+∞

1

+∞

√

Z

f(ξ − η)g(η) dη =

√

Z

dη g(η)

√

Z

f(x)e−ix(ξ−η) dx

2π

2π

2π

−∞ b

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

= √2π

Z

dx f(x)e−ixξ √2π

Z g(η)eixη dη = √2π

Z

f(x)g(x)e−ixξ dx

1

1

1

e

−∞

−∞

−∞

Следствие 6.2. В предположениях предыдущей теоремы верна также формула

(F f) g = F (f · F g)

Доказательство. Заметим, что

+∞

+∞

ZZ

f(t)g(−x − t) dt =	f(−u)g(−x + u) du ,
−∞	−∞

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 99 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

откуда

P (f g) = (P f) (P g) .

Тогда

P (F f g) = F f P g и P F (f · F g) = F (f · F P g) .

Отсюда в силу теоремы

F f P g = F (f · F P g) .

Остается заменить P g на g .

Теорема 6.3. Если функции f и g — непрерывны, абсолютно и квадратично интегрируемы:

+∞		+∞
Z	|f(x)| dx < +∞ ,	Z	|g(x)| dx < +∞ ,
−∞		−∞
+∞		+∞
Z	|f(x)|2 dx < +∞ ,	Z	|g(x)|2 dx < +∞ ,
−∞		−∞

то свертка f g является абсолютно интегрируемой функцией и f[g = fb· gb.

Доказательство. Заметим, что в силу неравенства Шварца свертка f g существует, причем интеграл сходится равномерно по x:

Z	f(t)g(x − t) dt		2	6 Z	|f(t)|2 dt	Z	|g(x − t)|2 dt =	Z	+∞
									|f(t)|2 dt Z	|g(s)|2 ds .

|t|>T

|t|>T

|t|>T

|t|>T

−∞

Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 100 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход