[ Будылин ] Ряды и интегралы Фурье

Отсюда, согласно теореме об интегрировании несобственного интеграла по параметру, свертка также является абсолютно интегрируемой функцией:

+∞	+∞	+∞	+∞
Z	Z	Z	Z

dx	f(t)g(x − t) dt 6 dx			|f(t)g(x − t)| dt
−∞ −∞	−∞ −∞
	+∞			+∞		+∞		+∞
	= Z	dt |f(t)|		Z	|g(x − t)| dx = Z		|f(t)| dt Z		|g(s)| ds .
	−∞		−∞			−∞		−∞

Тогда опять с использованием теоремы об интегрировании несобственного интеграла по параметру находим

√2π	+∞				+∞
	Z	dx e−iξx √2π			Z	f(t)g(x − t) dt
1		1
	−∞			−∞
		= √2π			+∞			+∞
					Z	dt e−iξtf(t) √2π		Z	e−iξ(x−t)g(x − t) dx
		1				1
					−∞		−∞
						= √2π		+∞		+∞
								Z	dt e−iξtf(t) √2π	Z	e−iξug(u) du .
						1			1
								−∞		−∞

Замечание 6.4. В действительности, в условиях последней теоремы можно показать,

что

f g = F (fb· gb) ,

Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 101 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

причем произведение	g является абсолютно интегрируемой функцией, откуда,
	b
в частности, вытекаетfbнепрерывность·		и убывание на бесконечности свертки f g		Выход

(ввиду соответствующих свойств преобразований Фурье абсолютно интегрируемых функций).

Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 102 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

7. Примеры и приложения

7.1.Сводка формул

Вычислим образы Фурье для некоторых функций.

1.

f1(x) = (0 ,

x < 0.

e−x ,

x > 0,

Тогда

1

+∞

1

e

x(

1

iξ)

+∞

1

1

1

1 − iξ

f (ξ) =

ex(−1−iξ) dx =

− −

=

=

.

1

√2π

Z

√2π ·

1

iξ 0

√2π

·

1 + iξ

√2π ·1 + ξ2

b

0

− −

2.

0 ,

x > 0,

f2(x) = (ex , x 6 0.

Тогда f2 = P f1, откуда fb2 = P fb1, т.е.

1 1 + iξ fb2(ξ) = √2π · 1 + ξ2 .

3.

f3(x) = e−|x| .

В силу f3 = f1 + f2 находим

f3	(ξ) = r	π	· 1 + ξ2 .
	2		1

b

Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 103 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

4.

f4(x) = sgnx · e−|x| .

В силу f4 = f1 − f2 находим

f4(ξ) = −ir

· 1 + ξ2 .

π

b

2

ξ

5.

1

f5(x) =

.

(ξ) = r

1 + x2

Заметим, что F f5

2 e−|ξ|. Тогда в силу F = P F

π

f5(ξ) = r

e−|ξ| .

2

b

π

6.

x

f6(x) =

.

1 + x2

Заметим, что F f6(ξ) = ir

π

sgnξ

· e−|ξ|. Тогда, аналогично с предыдущим,

2

f6(ξ) = −ir

2 sgnξ · e−|ξ| .

b

π

7.

7

(0

x / [

1, 1].

f (x) =

1 , x [−1, 1],

−

Ряды Фурье Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 104 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Тогда

1

7

√2π Z

√2π

·

iξ

rπ ·

ξ

f

(ξ) =

1

e−iξx dx =

1

e−iξ − eiξ

=

2

sin ξ

.

b

−1

−

8.

sin x

f8(x) =

.

Заметим, что F f8(ξ) = r

x

π

f7(ξ) . Тогда (в силу четности)

2

f8(ξ) = r

f7(ξ) .

2

b

π

Выпишем для этого случая равенство Парсеваля:

+∞

1

Z

sin x

2 dx =

Z

π

dx = π .

x2

−∞ −1

9.

f9(x) = e−x2 .

Заметим, что

f9	(ξ) = √2π		+∞		e−ixξ dx = √2π		+∞		cos(xξ) dx .
			Z	e−x			Z	e−x
b	1			2	1				2
			−∞				−∞

Ряды Фурье

Интегралы Фурье Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 105 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

При этом

d

1

+∞

2

1

+∞

de−x2

f9

(ξ) = −

√

Z

xe−x

sin(xξ) dx =

√

Z

sin(xξ)

dξ

2

2π

2π

b

−∞

−∞

= −

2√2π

+∞

cos(xξ) dx = −2 f9(ξ) .

Z

e−x

ξ

2

ξ

−∞

b

Решая полученное дифференциальное уравнение, находим

f (ξ) = Ce−ξ42 ,

b9

константа определяется из начального условия

f9	(0) = √2π		+∞			dx = √2 .
			Z	e−x
b	1				2	1
			−∞

Окончательно,

e−ξ42

fb9(ξ) = √ .

2

Отметим, что в примерах 6 и 8 функции f6 и f8 не являются абсолютно интегрируемыми.

На практике часто бывают полезны следующие простые свойства преобразования Фурье. Пусть

F

f(x) fb(ξ) .

Тогда

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 106 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

1.			F	1				ξ			, — так называемая «терема подобия»,
	f(ax) af						a
						b
2.	f(x)eiαx				F
				fb(ξ − α) , — так называемая «теорема смещения»,
3.	f(x		b)	F
		−				f(ξ)e−iξb , — так называемая «теорема запаздывания».
				b

Доказательство этих свойств элементарно:

	+∞		+∞		a ,
	Z	f(ax)e−iξx dx =	Z	f(u)e−i a u
				ξ	du
−∞			−∞
+∞			+∞
Z	f(x)eiαxe−iξx dx =		Z	f(x)e−i(ξ−α)x dx ,
−∞			−∞
+∞			+∞
Z	f(x − b)e−iξx dx =		Z	f(u)e−iξ(u+b) du .
−∞			−∞

Дополним эту сводку формул доказанными ранее теоремами о дифференцировании «оригинала», о дифференцировании «изображения», о свертке и таблицей примеров:

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 107 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Таблица 1: Таблица преобразований Фурье

f(x)

fb(ξ)

Ряды Фурье

1

ξ

Интегралы Фурье

f(ax)

af

a

Литература

b

f(x)eiαx

fb(ξ − α)

Веб – страница

Титульный лист

f(x

b)

f(ξ)e−iξb

−

b

JJ

II

dnf(x)

(iξ)

n

fb(ξ)

J

I

dxn

Страница 108 из 127

xnf(x)

i

n dnf(ξ)

dξn

Назад

b

+∞

√2π

Z

f(t)g(x − t) dt

f(ξ) · g(ξ)

Полный экран

1

b

b

−∞

Закрыть

Выход

e−xH(x)

1

1 − iξ

√

· 1 + ξ2

2π

e−|

|

r

·

1 + ξ2

π

x

2

1

e−|

|sgnx

−ir

· 1 + ξ2

π

x

2

ξ

1 + x2

r

e−|ξ|

2

1

π

x

π

−ir

e−|ξ|sgnξ

1 + x2

2

H(x + 1) − H(x − 1)

r

· ξ

π

2

sin ξ

sin x

r

2

[H(ξ + 1) − H(ξ − 1)]

x

π

Ряды Фурье

Интегралы Фурье Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 109 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

e−x2	2
	e−ξ4
		√
	2

Здесь H(x):

(

1 , x > 0,

H(x) =

0 , x < 0.

—так называемая функция Хевисайда.

Вкачестве иллюстрации вычислим преобразование Фурье функции fN , введен-

ной при доказательстве теоремы Фурье. Напомним, что ядро Дирихле было определено равенством

sin Nx

N

sin(Nx)

DN (x) =

=

·

.

πx

π

Nx

Его Фурье-образ, согласно теореме подобия, равен

DdN

(ξ) = π r

H

N + 1 − H

N

− 1 = √2π H(ξ + N) − H(ξ − N) .

2

1

π

ξ

ξ

1

Функция fN совпадает со сверткой, см. стр. 87:

√

fN =

2πf DN .

Тогда

−

−

(0 ,

ξ / [ N, N] .

f

N

(ξ) = f(ξ) H(ξ + N)

H(ξ

N) =

f(ξ) , ξ [−N, N] ,

c

b

b

−

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 110 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход