[ Будылин ] Ряды и интегралы Фурье

2.fb(ξ) — равномерно непрерывная функция. Действительно,

e−iξx

−

e−iηx = e−ix

ξ+η

(e−ix

ξ−2η

−

e−ix

η−2 ξ

) = 2ie−ix

ξ+

η

sin

x(ξ − η)

,

2

2

−

2

т.е.

|

−

|

2

e−iξx

e−iηx

= 2 sin

x(ξ − η)

.

Тогда

+∞

+∞

|

−

|

√2π

Z

−

6 rπ

Z

2

· | |

1

2

x(ξ − η)

f(ξ)

f(η)

=

−∞

(e−iξx

e−iηx)f(x) dx

−∞

sin

f(x) dx

b

b

= I1 + I2 ,

где

r

Z

6 r

Z

1

π

2

· |

|

π

|

|

I

=

2

sin

x(ξ − η)

f(x)

dx

2

f(x)

dx

x

>N

x >N

|

|

| |

и

2

r

Z

2

· |

|

π

I

=

2

sin

x(ξ

− η)

f(x)

dx .

x

|6

N

|

Выберем N так, чтобы

ε

I1 <

,

2

где ε — произвольное положительное число. После этого выберем δ > 0 так,

чтобы

r

Z

2

< 2

и

2

·

π

|f(x)| dx < 2 .

Nδ

π

Nδ

2

ε

|x|6N

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 81 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Тогда при |ξ − η| < δ и |x| 6 N
		sin	x(ξ − η)				<	Nδ
									2
		2
и как следствие				ε
			I2 <			.
				2

Тем самым

|ξ − η| < δ |fb(ξ) − fb(η)| < ε .

3.fb(ξ) → 0 при ξ → ∞. Действительно,

f(ξ) =

√2π

+∞

Z

f(x)e−iξx dx = I1 + I2 ,

b

1

где

−∞

= √2π

Z

f(x)e−iξx dx ,

|I1| 6

√2π

Z

|f(x)| dx ,

I1

1

1

и

|x|>N

Z

|x|>N

I2

= √2π

f(x)e−iξx dx .

1

|x|6N

Выберем N настолько большим, чтобы

|I1| <

ε

,

2

где ε — произвольное положительное число. После этого ξ будем считать столь

большим, чтобы

ε

|I2| < 2 .

Ряды Фурье Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 82 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Последнее возможно в силу леммы Римана–Лебега:

I2	= √2π	Z	f(x)e−iξx dx ξ→∞→ 0 .
	1

|x|6N

Таким образом, при достаточно больших ξ

|fb(ξ)| < ε .

5.3.Формула обращения

Для доказательства теоремы Фурье нам понадобится следующее свойство ядра Дирихле, которое в случае интеграла Фурье определяется равенством

D		(x	−	t) =	1	·		sin N(x − t)			.
	N				π
								x	−	t

Лемма 5.1. При N > 0 и при любом x R

1	+∞	N(x	t)
	Z
		sin −		dt = 1 ,	(5.8)
π		x − t

−∞

причем интеграл сходится равномерно по N при N > 1.

Доказательство. Установим сначала равномерность. Пусть T — достаточно большое положительное число, так что |x| < T . Тогда

+∞	x − t		+∞	N(x − t)		− N(x − T )			+∞	N(x − t)2
TZ			t=ZT						− TZ
	sin N(x − t)	dt =		d cos N(x − t)	=		cos N(x − T )			cos N(x − t)	dt

Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 83 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

откуда

+∞

+∞

Z

x t

T x

Z

(t x)

T x T →→∞

sin N(x − t)

dt

6

1

+

dt

=

2

0 .

T

−

T

−

2

−

−

Аналогично	оценивается интеграл	+

−T

Zsin N(x − t) dt . x − t

−∞

Для доказательства (5.8) достаточно установить равенство (при N > 0)

+∞

Z

1 sin Nt dt = 1 . π t

−∞

Отметим сначала независимость интеграла от N при положительных N, что становится очевидным при замене τ = Nt , dτ = Ndt:

π

+∞

sintNt dt = π

+∞

τ

dτ .

Z

Z

1

1

sin τ

−∞

−∞

Рассмотрим тогда интеграл

2

+∞e

−

xt sin t

Φ(x) =

Z0

dt , x > 0 .

π

t

Заметим, прежде всего, что он сходится равномерно по x > 0. Действительно,

Ряды Фурье

Интегралы Фурье Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 84 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

при T > 0

+∞

2i

Z e−xt sin t

t

T

= h1t

откуда

dt =	Z	e	− t	dt −	Z	e(− t−	dt
	+∞	(	x+i)t		+∞	x	i)t

TT

+∞

+∞

1 e(−x+i)t

1 e(−x−i)t

=t=ZT

d

−t=ZT

d

t

−x + i

t

−x − i

e(−x+i)t

1 e(−x−i)t

+

∞

+∞

e(−x+i)t

e(−x−i)t dt

−

t=T + Z

h

−

−

x + i

t

−

x

−

i

−

x + i

−

x

−

i t2

i

T

i

1 e(

x+i)T

e(−x−i)T

+∞ e(−x+i)t

e(−x−i)t dt

= −

−

−

+ Z

−

,

T

h

x + i

−

x

−

i

h −

x + i

−

x

−

i t2

−

i

T

i

+∞e−xt sin t

1

+∞dt

2

Z

Z

T →→∞

t

T

t

T

T

dt

6

+

T

2

=

0 .

+

Вычислим производную от Φ(x) (при x > 0 можно воспользоваться теоремой о дифференцировании интеграла по параметру):

2

+∞

1

+∞

Z0

Z0

Φ0(x) = −

e−xt sin t dt = −

[e(−x+i)t − e(−x−i)t] dt

π

πi

= −

1 e(−x+i)t

e(−x−i)t

+∞

1

1

−

1

= −

2

1

πih −x + i −

−x − i

i t=0 =

πih

−x + i

−x − ii

π

· x2 + 1 .

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 85 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Заметим, далее, что

|

|

2

+∞

−

2 e−xt +∞

2

π

Z

π x

t=0

πx x→→∞

Φ(x)

6

e−xt dt =

=

= 0 .

0

+

Тогда согласно формуле Ньютона–Лейбница для несобственного интеграла

			+∞
−Φ(0+) = x→+∞		−	Z	Φ0(x) dx = −				0	−
					π
lim	Φ(x)		0		2 arctg x			+∞=	1 .
			Φ(0+) =

Но ввиду равномерной по x сходимости интеграла Φ(x)

2

+∞

sin t

1

+∞

sin t

Φ(0+) =

Z

dt =

Z

dt ,

π

t

π

t

0

−∞

т.е.

+∞

1

Z

sin t

dt = 1 .

π

t

−∞

Теорема 5.2 (Фурье). Пусть функция f непрерывна и абсолютно интегрируема на вещественной оси и пусть она дифференцируема в точке x. Тогда

f(x) = √2π	+∞				N
	Z	f(ξ)e dξ ≡ √2π N→+∞ Z
1	v.p.	b	iξx	1	lim	f(ξ)eiξx dξ .
	−∞				−N	b

Ряды Фурье Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 86 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Замечание 5.3. Сокращение v.p. перед знаком интеграла читается как «главное

значение» интеграла.

Выход

Доказательство. Положим

	Опр.	1		+N		1	N	+∞
	fN (x) =	√		Z	f(ξ)eiξx dξ =		Z	dξ Z	f(t)eiξ(x−t) dt .	(5.9)
						2π
			2π
				−N	b		−N	−∞

Используя теорему об интегрировании несобственного интеграла по параметру и свойства четности, найдем

fN (x) = 2π

N

+∞

N

+∞

Z

dξ Z

f(t) cos ξ(x − t) dt + 2π

Z

dξ Z

f(t) sin ξ(x − t) dt

1

i

−N

−∞

−N

−∞

= π

+∞

N

cos ξ(x − t) dξ =

π

+∞

x − t−

dt .

Z dt f(t) Z

Z

f(t)

1

1

sin N(x

t)

−∞

0

−∞

Тогда

f(x) − fN (x) = π

+∞

x − t−

dt − π

+∞

dt

Z

f(x)

t)

Z

f(t) sin x − t−

1

sin N(x

1

N(x

t)

−∞

−∞

π

+∞

·

−

Z

x − t

=

1

f(x) − f(t)

sin N(x

t) dt .

−∞

Последний интеграл разобьем на три части:

+∞

−T

T

+∞

Z

= Z

+ Z

+ Z

,

(5.10)

−∞

−∞

−T

T

Ряды Фурье

Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 87 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

считая, что T достаточно велико, так что |x| < T . Величину T можно выбрать столь большой, что первый и последний интегралы в правой части будут сколь угодно малы независимо от величины N при N > 1. Действительно, например,

+∞

Zf(x) − f(t) · sin N(x − t) dt = I1 + I2 , x − t

T

где

I1 = f(x)

+∞

Zsin N(x − t) dt x − t

T

и

I2 = −

+∞

Zf(t) sin N(x − t) dt , x − t

T

откуда (как было установлено при доказательстве предыдущей леммы)

|	I1	|	6	2|f(x)|			T	→		0
				T	−	x				∞
								→	+

и (в силу абсолютной интегрируемости функции f)

|	|		T − x		+∞		|		T →→∞
					TZ	|
I2		6	1				f(t)	dt	0 .

+

Если T уже выбрано так, что

−T +∞

Z	+ Z		< 2 ,
	T			ε
−∞

Ряды Фурье

Интегралы Фурье Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 88 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

где ε — произвольное наперед заданное положительное число, оставшийся средний интеграл в правой части равенства (5.10) может быть сделан сколь угодно малым при N → +∞ в силу леммы Римана–Лебега:

T	x − t	·		−		N→→ ∞
Z
	f(x) − f(t)		sin N(x		t) dt	0 .
−T						+

Использование леммы Римана–Лебега оправдано ввиду того, что функцию переменной t

t7→f(x) − f(t) x − t

можно доопределить как непрерывную всюду на интервале [−T, T ], поскольку в точке t = x она имеет устранимый разрыв:

lim			f(x) − f(t)						= f0	(x) .
t	→	x		x		−	t
Выберем N столь большим, чтобы
					T
			Z			< 2 ,
					T			ε
			−

тогда

|f(x) − fN (x)| < ε .

5.4.Обратное преобразование Фурье

Ряды Фурье

Интегралы Фурье Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 89 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Как следует из доказанной выше теоремы Фурье, если функция f(x) — является

дифференцируемой и абсолютно интегрируемой на вещественной оси, то преобразо-

Выход

вание Фурье

F :	f 7→f = F f ,		f(ξ) = √2π	+∞
				Z		f(x)e−iξx dx ,
			1
	b		b	−∞
имеет обратное преобразование
F −1 :	f 7→f = F −1f ,					+∞
			f(x) = √2π v.p. Z f(ξ)eiξx dξ .
	b	b	1			−∞ b

Заметим, что если функция f является абсолютно интегрируемой, то обратное пре-

образование Фурье

F −

1

можно описать равенством

b

F −1 = P F ,

где оператор P является оператором «отражения»

P : f(x) 7→f(−x) .

Отметим также коммутационное соотношение

F P = P F ,

которое легко оправдывается заменой переменной в интеграле:

F P f (ξ) =

√2π

+∞

−∞

Z

f(−x)e−iξx dx = −√2π

Z

f(t)eiξt dt

1

1

−∞

+∞

+∞

=

√2π

Z

f(t)eiξt dt =

P F f

(ξ) .

1

−∞

Ряды Фурье Интегралы Фурье

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 90 из 127

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход