[ Буслов, Яковлев ] Введение в численный анализ

 ì î î í ÷ íèÿ: u(xi) = ui, qi = q(xi), fi = f(xi). З м ним (11) торую прои о ную р ностной, то ля

ïðè ëè ííî î ð ø íèÿ yi òî÷ê õ xi получ м тр х и он льную сист му
yi 1 + (2 + h2qi)yi yi+1 = fih2 ; i = 1; 2; : : : ; N 1 :	(12)

Для р р шимости ост точным усло и м (но о с н н о хо имым) я ля тся и он льно пр о л ни . В н ш м случ это с о ится к тр о нию j2 + h2qij > 2 ; которо ыполня тся сли q(x) > 0 .

8.3.3Схо имость с точных м то о

Пусть u(x) точно р ш ни ур н ния (11), yi					÷èñë ííî ð ø íè ÷è (12). Ñïð ëè
Ò îð ì . Пусть q(x), f(x) 2 C[2a;b]	è q(x) > 0 ; 8 x 2 [a; b], òî
				ju(xi) yij = O(h2) :
Äîê ò ëüñò î. Поскольку q(x); f(x) 2 C[2a;b]					òî è óð í íèÿ (11) ñë ó ò, ÷òî u(x) 2 C4[a; b], и то исполь уя
ðÿ Ò éëîð ìî íî ïèñ òü
	ui		1	2ui	+ ui+1	1			2 (4)
u00(xi) =				h2				h	u ( i) ; i 2	(xi 1; xi) :
							12

Çí ÷ íèÿ ui точно о р ш ния у о л т оря т ур н ниям

ui 1 2hu2i + ui+1 + qui = fi 121 h2u(4)( i) ;

i н которы точки н [a; b]. Для по р шности

vi = yi ui

î íèê ò ñèñò ì óð í íèé
	vi 1	2vi + vi+1	+ qivi =	1	h2u(4)	( i) ; v0 = 0 ; vN = 0 :	(13)
				12
		h2

Пусть xk - точк , мо уль по р шности м ксим л н, то сть

jvkj jvij ; i = 1; 2; : : : ; N 1 ;

той точкой н мо т я ляться x0 è xN , поскольку v0 = vN = 0 . Ñð íèì ìî óëè ë îé è ïð îé ÷ ñòè ñèñò ìû (13) ïðè èí êñ ð íîì k

jvk(2 + qkh2)j jvk 1j + jvk+1j + 121 h4ju(4)( k)j ;

èëè

2

1

4

(4)

jvkj(2 + qkh

) 2jvkj +

h

ju ( k)j

;

12

îòêó

1

2

j

u(4)( k)

j ;

jvkj

h

12

j

qk

j

òî ñòü

max

vi

h2

max ju(4)( i)j ;

i

j

j 12

i

jqij

÷òî è òð î ëîñü îê òü.

91

8.3.4Ì òî Íóì pî

Точность с точно о м то (12) мо но по ысить о ч т рто о поря к н сколько мо ифициро о м то ом Нум - ро , спр ли ым ля ол широко о кл сс ур н ний. Им нно, ля ур н ний и

				u00 = f(x; u) :						(14)
	По ст им (14) м сто торой прои о ной р ностную:
	0 = u00(x)		f(x; u) =	u(x + h) 2u(x) + u(x h)		f(x)		h2u(4)(x)	+ O(h4) :	(15)
								12
				h2

Í ïîñð ñò ííî è óð í íèÿ (14) ñë ó ò, ÷òî u(4) = f00(x; u). З м ним (15) ч т ртую прои о ную от н и стной функции точк xi н торую от f(x; u), которую с ою оч р ь м ним р ностной

00	=	f(xi+1; ui+1) + f(xi 1; ui 1)		2f(xi; ui)	2	) :
f(x; u)i		h2			+ O(h

Тот ф кт, что точность т кой формулы йст ит льно им т торой поря ок, н о хо имо щ про рять. З сь мы ну м ост н ли ться н этом (по ро н см. [2]). Им м

00

f(xi; ui) =

ui

ui+i + ui 1

2ui

h2

f(xi+1; ui+1) + f(xi 1

; ui 1)

2f(xi; ui)

2

) ;

=

h2

f(xi; ui)

12

h2

+ O(h

òî ñòü ÷èñë íí ÿ ñõ ì ïðèî ð ò ò è

yi+i + yi 1

2yi =

1

[f(xi+1; yi+1) + f(xi

1; yi

1) + 10f(xi; yi)]

12

h2

В ч стности ля ур н ния (11)

ui+1(1

qi+1h2

2

5

qi 1h2

12

) ui(2 + h qi 6 ) + ui 1(1

12

) =

= h2 (fi+1 + fi 1 + 10fi) + O(h6) : 12

От р сы я ост точный чл н и о ляя р ничны усло ия точк х x0 è xN получ м с точный м то с по р шностью 0(h4) (н помним, что о ычном м то с ток ыло:

ui+1 ui(2 + h2qi) + ui 1 = fih2 + O(h4) .)

8.4Ç ÷ òópì -Ëèó èëëÿ

З чу н со ст нны н ч ния р ссмотрим н прим р сл ующ о ифф p нци льно о уp н ния 2- о поpя к :

u00 + q(x)u = u;	(16)
u(a) = 0 ; u(b) = 0:

Âîïpîñ. Поч му p ничны усло ия о норо ны (нул ы )?

В ч поя ил сь но я ст п нь с о о ы . В ны с ойст чи (16) т ко ы, что p ш ни ифф p нци-льно о уp н ния сущ ст у т и у о л т оpя т р ничным усло иям лишь пpи н котоpых н ч ниях , н ы мых со ст нными н ч ниями. Соот тст ующи этим р ш ния u (x) н ы ются со ст нными функциями. Сп ктр со ст нных н ч ний мо т ыть искр тным ( р ссм три мом случ сп ктр искр т н, сли и a и b кон чны), н пр ры ным, т к мо т о но р м нно прин л ть искр тному и н пр ры ному сп ктру. В ч (16) тр у-тся опр лить к к о мо ны н ч ния т к и со ст нны функции u (x)

Ñóù ñò ó ò 2 îñíî íûõ ì òî p ø íèÿ ÷è (16).

92

8.4.1Ì òî ñòp ëü û

В силу о ноpо ности чи (16) сли u(x) я ля тся p ш ни м, то u1(x) = const u(x) - то p ш ни , поэтому мо - но ть пpои ольно н ч ни u0(x) òî÷ê a (î û÷íî û èð þò u0(a) = 1), т м п p йти к стp ль , то сть p ссмотp ть чу Коши:

8 u00 + q(x)u = u

>

< u(a) = 0 > u0(a) = 1

è í õî èòü p ø íè u(x; ) è ïî î p òü ò ê,:÷òî û

u(b; ) = 0 :

(17)

При этом мы о но р м нно н хо им и со ст нно н ч ни и соот тст ующую со ст нную функцию u(x; ). Р - ш тся ур н ни (17) лю ым и м то о н хо ния корня л р ич ско о ур н ния. Н прим р, рьируя пристр - лочный п р м тр мо но о иться илки u(b; i)u(b; i+1) < 0 и т м исполь о ть м то л ния попол м.

М то стр ль ы у о но прим нять ситу ции, ко приори и фи ич ской пост но ки чи и стны ст ст-нны пристр лочны п р м тры.

8.4.2Ì òî ñ òîê

Ð î ü ì ïðîì óòîê í N ÷ ñò é ÿ ñ òêó a = x0 < x1 < : : : < xN = b , и т к к к случ кр ых ч,м ним (16) прои о ны р ностными. При этом ч приним т и

8 yi 1 (2 + h2qi)yi + yi+1 = h2yi ;

>

< y0 = 0 ;

> y = 0 :

Т ким о р ом исхо н я ч с л сь к ч н со ст нны н ч ния ля тр х и он льной м тpицы A р м р

: N

(N 1) (N 1) :

		Ay = y ;
	A :	aii = 2 + h2qi	i = 1; 2; : : : ; N 1 :
		ai 1 i = ai i+1 = 1

Со ст нны числ м трицы A я ляются при ли ниями к п р ым со ст нным н ч ниям исхо ной чи.

8.5 Р ностный оп p тоp торой прои о ной

8.5.1 Оп р тор торой прои о ной

Прои м сн ч л сп ктр льный н ли со ст нно оп p тоp тоpой пpои о ной н отр к [a; b]			ñ íóë ûìè
р ничными усло иями, т. . опр лим о со ст нны функции и со ст нны числ .
	d2	= ;
	dx2		(18)
( (a) = (b) = 0:

Оч и но, что функции (x) = e ip x, или их ком ин ции sin p x, cos p x у о л т оряют ур н нию. Пусть a = 0ля упpощ ния писи. Поскольку (0) = 0, то н с устp и т только функции и sin p x . И торо о р нично о

93

óñëî èÿ (b) = 0 ñë ó ò, ÷òî p b = n , т ким о р ом сп ктр чи искр тный и скон чный. Со ст нны функции n è ñî ñò ííû ÷èñë n èì þò è

n(x) = sin	n x ;	n =	n2 2	:	(19)
	b		b2

8.5.2Р ностный оп р тор

Р ссмотpим т п pь соот тст ующую p ностную чу. Р о ь м пром уток н (N + 1) ч сть c р ном рным ш ом h : a = x0 < x1 < : : : < xN+1 = b . З ч н сп ктр р ностно о оп р тор приним т и

		Fi 1 2Fi+Fi+1	~
		h2	= Fi	; i = 1; 2; : : : ; N;	(20)
	( F0 = FN+1 = 0;
~	2
èëè, î î í ÷è h = ,

Fi 1 + 2Fi Fi+1 = Fi ; i = 1; : : : ; N;

F0 = FN+1 = 0:

т ч пр ст ля т со ой чу н сп ктр тр х и он льной м трицы N- о поря к

0	2 1
AF = F :	0
B	: : :
	: : :
@

1 0 : : :

21 0

1	2	1
: : :	: : :	: : :
: : :	: : :	: : :

0	1 0	F1
: : :		F2
: : :		: : :

:: : C B : : :

:: : A @ FN

1	0	F2	1
		F1
=	B	: : :	;
C		FN C
A	@	: : :	A

F0 = FN+1 = 0 ;

с N-компон нтными со ст нными ктор ми F = (F1; F2 : : : ; FN )T .

Для р ш ния этой чи спомним сн ч л (см. Гл у "Числ нно ифф р нциро ни ), что eh dxd F (x) = F (x+h) , òî ñòü e h dxd Fi = Fi 1 , ò êèì î ð îì ñèñò ìó ìî íî ï ð ïèñ òü è

([e h dxd + 2 eh dxd ]Fi = iFi; F0 = FN+1 = 0:

Пpим няя оп р торы с и ко с м компон нт м ктоp F, получ м сл ующую п р формулиро ку

([e h dxd + 2 eh dxd ]F = F;

F0 = FN+1 = 0:

Н которо н у о ст о т кой формы писи состоит том, что

d

н я ля тся с мосопря нным оп р тором, но

dx

ò êî ûì ÿ ëÿ òñÿ îï ð òîð

1

d

(ïð ð ññì òðè ìûé í ñ é îñè):

i dx

1 d

1

1 d

1 d

D i

f; gE =

Z f0(x)g(x)dx = Z f(x) i

g(x) dx = Df; i

gE

:

dx

i

dx

dx

Со ст нны функции оп p тоp D

это экспон нты

eipx

:

1

d

eipx = peipx

, сп ктр сплошной и полня т сю

i dx

ù ñò ííóþ îñü: p 2 R1

. Но со ст нны функции прои ольно о с мосопря нно о оп p тоp

A я ляются

со ст нными и ля функции от оп p тоp f(A) , со ст нны н ч ния оп р тор f(A)

ýòî ÷èñë

f(p) ), p

ñî ñò ííû ÷èñë A :

A' =

P

ih'; F(i)iF (i()i)

i

(i)

) f(A)F (k) = f( k)F (k) :

P

h

f(A)' =

f( i) '; F F

94

По йст у м н со ст нную функцию F = eipx оп p тоp ифф р нциро ния D функци й f(D) = [ eihD e ihD+2] îò ýòî î îï ð òîð :

[ eihD e ihD + 2]F = [ eiph e iph + 2]F = 2[1 cos ph]F :

 ñèëó ñèìì òðèè					f(D) î÷ è íî ÷òî	f(p) = f( p) , поэтому со ст нн я функция	e ipx îò ÷ ò òîìó
со ст нныму числу 2[1 cos(ph)] , что и eipx (ð íî ê ê è ëþ ÿ èõ ëèí éí ÿ êîì èí öèÿ). Â í ø é ÷ í î õî èìî
у о л т оpить p ничным усло иям F (0)						= F (a) = 0 . И п р о о p нично о усло ия F0 = 0 сл у т, что компон нты
со ст нно о ктор от ч ющ о со ст нному числу p им ют и Fp = sin pxj ,							xj = hj . Второ р нично
						j
óñëî è FN+1 = 0					ïî îëÿ ò îïð ëèòü ñ ìè ñî ñò ííû ÷èñë : sin ph(N + 1) = 0 , îòêó ph(N + 1) = n , èëè
pn =	n	=	n	,	n = 1; 2; : : : ; N . То сть ч (20) со ст нны кторы им ют и
	h(N+1)
			b

Fn : Fjn = sin bnxj ; xj = hj :

З м тим, что н ч ни истинной со ст нной функции n оп р тор ойно о ифф р нциро ния лю ой точк xj со п т с j-компон нтой n- о со ст нно о ктор р ностно о оп р тор :

n(xj) = Fjn :

Посмотрим т п рь н сколько отлич ются со ст нны н ч ния

n

оп р тор ойно о ифф р нциро ния и со ст-

~

n

р ностно о оп р тор (19):

ííû ÷èñë n = h2

~

2

2

n

n =

h2

=

h2

[1 cos pnh] =

h2

[1

cos

b h] =

2

2n2

2

4

2n2

2

2

=

[1 1 +

2b2 h

+ O(h )] =

+ O(h ) = n + O(h

) :

h2

b2

8.5.3Ð îëü íò

Îïp ë íè . Пусть A	лин йный оп p тоp, функция от оп р тор							R (A) = (A ) 1 í û òñÿ p îëü íòîé
îï ð òîð A .
Ð îëü íò R (A)	îïp ë í , ê ê ë êî è òü, í ïpè ñ õ , ëèøü í ñï êòp .
Пусть A с мосопря нный оп р тор с искр тным сп ктром, k								î ñî ñò ííû ÷èñë , 'k ñîîò òñò óþùè
со ст нны функции. Выпиш м сп ктp льно p ло ни					A :
	A = X kPk = X kh; 'ki'k ; jj'kjj = 1 :
Поскольку функция от оп р тор писы тся к к
	f( ) =	X		f( k)h; 'ki'k ;
то р оль нт сп ктр льном пр ст л нии оп р тор				A èì ò è
	R (A) =		X		h; 'ki'k :			(21)
					k
				k

Ïî ñò ëÿÿ (21) ì ñòî 'k ноpмиpо нны н иницу со ст нны функции оп р тор ли о тоpой пpои о ной

2

2

ли о со ст нны кторы p ностно о оп р тор , м сто

k

ñîîò òñò óþùè ñî ñò ííû í ÷ íèÿ

k

îï ð -

b

2

тор ойно о ифф р нциро ния или со ст нны числ

2

(1

cos

k

h) р ностно о, мы получим, соот тст нно,

2

h

b

p оль нту оп p тоp тоpой пpои о ной или p ностной тоpой пpои о ной.

95

b

Пусть 2n = sin2( nxb )dx то нормиро нны со ст нны функции оп р тор ойно о ифф р нциро ния

0

èì þò è F (n) R=

1

sin

n

x . В случ р ностно о оп р тор поло и

n

b

N

n

2

X

2

n =

sin

b xj ;

j=1

получ м нормиро нны со ст нны кторы

Fn

с компон нт ми

Fjn =

1

sin

n

xj =

1

sin

n

hj :

n

b

n

b

Получим м тричны эл м нты р оль нты р ностно о оп р тор . В ис и со ст нных кторо р ностно о

оп р тор , р оль нт , оч и но, пр ст ля тся и он льной м триц й. Пусть e1; e2; : : : ; eN

н который ортонор-

ìèðî ííûé èñ RN

è

v прои ольный ктор. Р ло им

v и со ст нны кторы Fn

по этому ису

N

N

N

N

X

X

X

X

v =

i=1

hv; eiiei =

i=1

viei ;

Fn

=

i=1

hFn; eiiei

=

i=1

Finei :

Ä éñò è ð îëü íòû í

v

èì ò è

N

N

v; Fi Fi

N

l=1 vlFli

i

R (A)v =

X

h i

=

X

Pi

F :

i=1

i

i=1

k- я компон нт ктоp

R (A)v ñòü

N

vlFli

N

N N

FiF i

X

l=1

i

XX

l

k

[R (A)v]k =

i=1

Pi

Fk

=

i=1 l=1

i

vl ;

òî ñòü ì òpè÷íû ýë ì íòû îï p òîp

R (A) èì þò è :

N

F iF i

X

R (A)kl =

i

l

k

:

i=1

В рхний ин кс у F нум ру т со ст нны функции, ни ний ин кс их компон нты.

8.5.4Ò îpèÿ î ìóù íèé

Сп ктр оп р тор ойно о ифф р нциро ния и сп ктр соот тст ующ о р ностно о оп р тор н м и ст н. Р с- смотрим соот тст ующи о мущ нны чи:

	d2	+ "q(x) = ;		Fi 1 2Fi Fi+1	+ "qiFi = Fi ;
	dx2			h2
( (0) = (b) = 0;			(F0 = FN+1 = 0 :
Ç ñü " ì ëûé ï p ì òp, q ïîò íöè ë.

И ло им суть м то т ории о мущ ний [8] ля случ я оп р тор с искр тным сп ктром. Пусть A и Q -

сомосопря нных оп p тоp , прич м со ст нны функции и со ст нны н ч ния A и стны:

A k = k k :

Тр у тся про сти при ли нно сп ктр льный н ли о мущ нно о оп р тор A+"Q , то сть н йти р ш ния чи

[A + "Q]'k = k'k :

(22)

Бу м пр пол ть, что сп ктр A н ыро н. Р ло им со ст нны н ч ния и со ст нны функции о мущ н- но о оп р тор по ст п ням м ло о п p м тp " :

96

k = k + " k(1) + "2 (2)k + : : :	;	(23)
'k = k + "'(1)k + "2'k(2) + : : :	;	(24)

(ki) è '(ki) н котоpы н и стны числ и функции, соот тст нно. О р ничимся п p ым поpя ком т оpии о - мущ ний. По ст ляя (22) ыр ния (23), (24) и учиты я с мо ур н ни A k = k k , с точностью о чл но п р о о поря к по " получ м

[A + "Q k " (1)k ]( k + "'(1)k ) = 0 ;

èëè

	(A	k)	k +"[(A k)'k(1) + (Q k(1)) k] = 0 :
	| {z		}
	=0
Ò êèì î ð îì, í î õî èìî ð øèòü óð í íè :
		(A kI)'k(1) = ( k(1) Q) k :		(25)
Î î í ÷èì	A kI = B . то ыpо нный оп p тоp (поскольку им т нул о со ст нно н ч ни :			B k = 0 ).
Пусть т к	( k(1) Q) k = g . Òî ÷ ñ î èòñÿ ê óð í íèþ

B'(1)k = g :

В соот тст ии с льт рн ти ми Фр ольм , эт ч им т инст нно p ш ни , сли функция g орто он льн я ру сопря нно о оп р тор , то сть р ш ниям чи B g = 0 . Н ясь ок т льст поясним этот р ульт т сл ующим о р ом. Пр ст им g и суммы ух функций, о н и которых прин л ит я ру сопря нно о оп р тор , ру я орто он льному ополн нию: g = v1 + v2 , v1 ? v2 , B v1 = 0 . Òî

jjgjj2 = hB'(1)k ; gi = h'(1)k ; B (v1 + v2)i = hB'(1)k ; v2i = hv1 + v2; v2i = hv2 ; v2i ;

то сть норм н исит от пpо кции g н я ро сопря нно о оп р тор , ин ч о оpя этой пpо кции пpосто н т. В н ш й ситу ции B = A kI c мосопря нный оп р тор. Т ким о р ом усло и р р шимости (25) приним ти ( (1)k Q) k ? k èëè h( (1)k Q) k; ki = 0 , îòêó

(1)k = hQ k; ki :

Т ким о р ом попр ки к со ст нным н ч ниям опр л ны. Попр ки к со ст нным функциям опр ля м и то о ур н ния (25)

(A k)'(1)k = ( (1)k Q) k :

Òî ñòü ôîðì ëüíî

'(1) = R (A)( (1)

Q) k =

X

h i; ( k(1)

Q) ki ki

:

k

k

k

i

k

i=1

Íî R (A) ïðè = k н я ля тся о р нич нным оп р тором. С ру ой стороны

h( k(1) Q) k; ki = 0 , поэтому

суммиро ни мо но сти по i = k . Про ол я р нст о получ м

6

'(1) =

X

h i; ( k(1) Q) ki i =

X

h i; Q ki i :

k

i k

i=k k i

i=k

6

6

97

З сь мы осполь о лись т м, что со ст нны функции орто он льны. Ит к, п р ом поря к т ории о мущ ний

k = k + "hQ k; ki ;

'k = k + "	X	h i; Q ki i :
		k i
	i=k
	6

98

Ëèò ð òóð

[1]Н.Н. К литкин // Числ нны м то ы // Моск , Н ук , 1978.

[2]Í.Ñ.Á õ ëî , Í.Ï.Æè êî , Ã.Ì.Êî ëüêî // ×èñë ííû ì òî û // Ì., Í óê , 1987.

[3]Д . Фоpс йт, М.М лькольм, К.Моул р // М шинны м то ы м т м тич ских ычисл ний // Моск , Миp, 1980.

[4]С.Б. Ст чкин, .Н. Су отин // Спл йны ычислит льной м т м тик // Моск , Н ук , 1976.

[5]А.Н.Колмо оро , С.И.Фомин // л м нты т ории функций и функцион льно о н ли // М., Н ук , 1972.

[6]Ä.Ê.Ô // Ë êöèè ïî ë ð // Ì., Í óê , 1984.

[7]Г.Е. ило // М т м тич ский н ли (функции о но о п р м нно о. Ч сть 3) // М., Н ук , 1970.

[8]Л.Д.Л н у, Е.М.Лифшиц // К нто я м х ник (н р ляти истск я т ория) // М., Н ук , 1989.

[9]А.Н.Тихоно , А.А.С м рский // Ур н ния м т м тич ской фи ики // М., Н ук , 1972.

[10]Г.Корн, Т.Корн // Спр очник по м т м тик // М., Н ук , 1984.

[11]Ä.Ì к-Кр к н, У.Дорн // Числ нны м то ы и про р ммиро ни н ФОРТРАН // М., Мир, 1977.

[12]В.В.В ршинин, .С.З ьяло , Н.Н.П ло // кстр м льны с ойст спл йно и ч с л и ния // Но о- си ирск, Н ук , 1988.

[13]А.И.Гр ннико // М то спл йно и р ш ни н корр ктных ч т ории при ли ний // И т льст о МГУ, 1983.

[14].Дул н, Д .Милл р, У. ил рс // Р ном рны числ нны м то ы р ш ния ч с по р ничным сло м // М., Мир, 1983.

[15]В.В.Во о ин, .А.Ку н цо // М трицы и ычисл ния // М., Н ук , 1984.

[16]С.Писс н цки // Т хноло ия р р нных м триц // М., Мир, 1988.

99