[ Буслов, Яковлев ] Введение в численный анализ

Вы ир я ту или иную со ую функцию, получ м р личны орто он льны полиномы. Н и ол употр ит льными орто он льными полином ми я ляются полиномы ко и, Л н p , Ч ыш , Л p , pмит .

2.1.7Ñïë éíû

К к мы и ли, у лич ни ст п ни инт рполирующ о полином л ко н с при о ит к л мому р ульт ту. З ч стую ол эфф кти ным спосо ом инт рполяции н с тк fxi; figNi=0 ок ы тся исполь о ни спл йно . Д им соот тст ующи опр л ния.

Пусть x0 < x1 < x2 < xN н которы числ . Р ссмотpим кусочно полиноми льную функцию Sn ( n; ; n í òóð ëüíû ) ííóþ í ïðîì óòê [x0; xN ] ò êóþ, ÷òî í ê îì ïðîì óòê [xi 1; xi] он пр ст ля т со ой н который полином pin ñò ï íè n :

			Sn(x) = pni (x); x 2 [xi 1; xi]; i = 1; 2; N ;
è, ïðè ýòîì, ð ññì òðè ì ÿ í ñ ì ïðîì óòê [x0; xN ]						функция Sn èì ò n		í ïð ðû íûõ ïðîè î íûõ,
òî ñòü Sn 2 C[nx0;xN ], и, сл о т льно, ля полиномо pni						î ñ õ íóòð ííèõ òî÷ê õ		x1; x2; xN 1	ïðîì óòê
[x0; xN ] ыполн но
	dk i			dk i+1
		pnjx=(xi) =			pn jx=(xi) ; i = 1; 2; ; N 1 ; k = 0; 1; 2; n :
	dxk			dxk
Îïð ë íè . Функция Sn(x)			н ы тся спл йном поpя к n (ст п ни n) ф кт ; . Точки xi						í û þòñÿ
ó ë ìè ñïë éí .
Î÷ è íî, ÷òî ô êò ñïë éí			ð í î ïîðÿ êó n			"минус"число о н пp pы ных пpои о ных.
Сущ ст у т ли хотя ы о ин спл йн? Р ум тся, . В ч стности полином							n-îé ñò ï íè ñòü î íî ð ì ííî ñïë éí
Sn ëÿ ñ õ îò 0 î n .  ê ÷ ñò ïðèì ð ñïë éí ò ê îòì òèì, ÷òî S11							ïð ñò ëÿ ò ñî îé ëîì ííóþ, òî÷ê ìè
и лом которой я ляются у лы спл йн .

Всякий спл йн Sn , о т х пор пок мы от н о нич о н потр о ли кром к к я ляться кусочно полиноми льной функци й, о л т н которым числом с о о ных п р м тро , которыми мы мо м р споря ться по с о му усмот-

р нию. Ч му р но это число? У н с им тся N пром утко k = [xk		1; xk]; k = 1; 2;	; N . Í ê îì è ýòèõ
			n

ïðîì óòêî ñïë éí S	ол н пр ст лять со ой н который полином n-ст п ни	pk	=	P	a(k)xj , который им т
n		n			j
				j=0
n + 1 с о о ный п р м тр. Т ким о р ом, о щ число с о о ных п р м тро р но		N(n + 1) . Î í êî î íî ð ì ííî

с этим н с м спл йн н ло но н которо колич ст о усло ий л кости о нутр них у л х спл йн x1; x2; ; xN 1 .
Ñïë éí îë í ûòü í ïð ðû í è í ïð ðû íûìè îë íû ûòü n					î ïðîè î íûõ N			1	òî÷ê	f	xi N 1 , òî
											gi=1
сть и о щ о числ п р м тро N(n + 1) мы ол ны ыч сть число усло ий л кости, р но									(N 1)(n + 1) .
В ито , число F йст ит льно с о о ных п р м тро р но
		F = (N 1) + n + 1 :
				0	M	0
Пусть т п рь н м н н котор я инт рполяционн я т лиц fxi; yigi=0 (точки xi это у лы инт рполяции и
îíè î ñ í î ÿ íû ñî ï òü ñ ó ë ìè ñïë éí xi ) и мы хотим н йти спл йн						Sn , который ы этой т лиц у о л -
	0
ò îðÿë: Sn(xi) = yi, i = 0 ; 1 ; : : : ; M . Сущ ст у т ли р ш ни т кой чи инт рполяции и инст нно ли оно? Если
число с о о ных п р м тро спл йн		F = (N 1) + n+ 1 со п т с числом				M + 1 усло ий инт рполяции (усло ия
р нст конкр тным н ч ниям fi		M +1 у л инт рполяции), то мо но н яться, что от т поло ит льный хотя

это и н с т к, и от т, ч стности, исит от имно о р споло ния у ло инт рполяции и у ло спл йн . Т к,

í ïðèì ð, ñëè ì ó óìÿ ñîñ íèìè ó ë ìè	xi 1 è xi ñïë éí Sn н хо ится ол ч м n + 1 у л инт рполяции,
то ч н корр ктн , поскольку от полином	n-ой ст п ни н ст ст нно тр о ть, что ы он прохо ил ол ч м

ч р n+1 нную точку fx0i; fig. Кром то о н пр ктик усло ия о ычно р р ируют по р ничны н ч ния

21

спл йн или о прои о ных. Ск м инт рполиру м я функция и стн н м н котором колич ст точ к и при этом у о л т оря т н которому ифф р нци льному ур н нию и р ничным усло иям. Мо но принцип потр о-ть что ы этим усло иям у о л т орял и инт рполирующий ¼ спл йн (хотя ник кому ур н нию он, р ум тся, н у о л т оря т). Для н которых конкр тных спл йно (н прим р, ку ич ский спл йн S31) сть ол ст ст нны соо р ния, по которым им т смысл усло ия исполь о ть к к р ничны . Чуть по мы это о косн мся.

Ï ð îëè÷ ñêèé ñïë éí S21

Для п р олич ско о спл йн число с о о ных п р м тро F = (N 1) + n + 1 = N + 2 и о исполь уют, что ы
у о л т орить инт рполяционной т лиц	0	N у л ми инт рполяции, ост ляя п р м тр по р ничны
	fxi; fig ñ
усло ия, которы ются кр йних у л х спл йн		0	ð ñïîë þò ì ó ñîñ íèìè
		x0 è xN . У лы инт рполяции xi
ó ë ìè ñïë éí xi è xi+1:
	xi0 2 (xi; xi+1) :		(3)

Спр ли т ор м (при о им я н ми ок т льст ) котор я ут р т, что при ыполн нии усло ия (3)

ч инт рполяции п р олич ским спл йном корр ктн , т. . ля лю ой инт рполяционной т лицы fx0; figN

i i=0

инт рполирующий ¼ спл йн сущ ст у т и инст н н при р ничных усло иях и

1S(a) + 1S0(a) = 1 ; 2S(b) + 2S0(b) = 2 ;

2i + i2 =6 0 ; i = 1; 2; a = x0; b = xN :

Для п р олич ско о спл йн у лы инт рполяции и у лы спл йн н со п ют, и это о стоят льст о мо но исполь-о ть ля по ыш ния точности инт рполяции функции f(x). Им нно, поскольку п р ол н им т точ к п р и , то ст ст нно точки п р и инт рполиру мой функции f(x) ы ир ть к ч ст у ло спл йн , точки лок льных экстр мумо f(x) к ч ст у ло инт рполяции.

З ч инт pполяции ку ич ским спл йном S31(x)

Пусть н м н инт рполяционн я т лиц fxi; yigN0 è òð ó òñÿ í éòè êó è÷ ñêèé ñïë éí S31(x), у лы которо о со п ют с у л ми инт рполяции, и который ы этой т лиц у о л т орял: S31(xi) = yi, i = 0 ; 1 ; : : : ; N. Для р ш ния этой чи пр с о опр лим число с о о ных п р м тро и колич ст о усло ий, которым н о хо имо у о л т орить.

Äëÿ ñïë éí Sn число с о о ных п р м тро F р но

F = (N 1) + n + 1 = 1(N 1) + 3 + 1 = N + 3 :

При этом н о хо имо у о л т орить (N + 1)-му усло ию р нст спл йн н ч ниям инт рполяционной т лицы. Д ост шихся с о о ных п р м тр исполь уют по р ничны н ч ния. П р числим н и ол употр ит льныр ничны усло ия ля ку ич ско о спл йн .

00 00

1. S31 (x0) = S31 (xN ) = 0 ст ст нный (н тур льный) спл йн;

0000

2.S31 (x0) = A ; S31 (xN ) = B;

3.ï pèî è÷ ñêèé ñïë éí S( )(a) = S( )(b) ; = 0 ; 1 ; 2 :

Âîïpîñ. Ïî÷ ìó ñëó÷ ï ðèî è÷ ñêî î ñïë éí óê íî 3 óñëî èÿ, í 2 ... èëè èõ ñ ò êè 2?

22

С ойст о миним льной кри и ны

Вы л нность ст ст нно о спл йн о усло л н т м, что он им т миним льную ср нюю кри и ну ср и с х функций, у о л т оряющих нной инт рполяционной т лиц . Им нно, спр ли

Ò îp ì (Õîëè é). Пусть = [a; b] ; a = x0 < x1 < : : : < xN = b è fyigiN=0 | í êîòîpû ÷èñë . Ñp è ñ õ û
н пр ры но ифф р нциру мых функций F , т ких что		f(xi) = yi ; f00(a) = f00(b) = 0 í ñò ñò ííîì ñïë éí S31
	b
ости тся минимум функцион л	F(f) = (f00(x))2dx .
	a
Äîê ò ëüñò î. Пусть f 2 C[2a;b]	è ó î ëRò îðÿ ò ò ëèö fxi; yigiN=0. Î î í ÷èì ëÿ ó î ñò S(x) = S31(x) .
Р ссмотpим р ность
	b
	F(f) F(S) = Za	f(f00)2 (S00)2gdx =

bb

	Za	Za
=	(f00 S00)2 +	(2f00S00 2S002)dx = I1	+ 2I2	:

Î÷ è íî I1 0 . Р ссмотрим торой инт р л:

b

N 1

xi+1

Za

I2 =

(f00 S00)S00dx =

X xZi

(f00 S00)S00dx :

i=0

Âî üì ì î ïî ÷ ñòÿì:

N 1

N 1

xi+1

(f0

S0)S00

xi+1

(f0

S0)S000dx :

i=0

xi

i=0

X

X xZi

П p я сумм p н 0 и p ничных усло ий, поэтому

N 1

xi+1

N 1

000

0

0

000

xi+1

=

Si

(f

)dx =

Si

(f

S) xi

= 0 ;

I

2

i=0

S

xZi

i=0

X

X

поскольку н ч ни тp ть й пpои о ной н i-ом пpом утк постоянно, f и

S èíò pïîëèpóþò ò ëèöó. Ò êèì

î ð îì, F(f) F(S) 0, ÷òî è òð î ëîñü îê òü.

Сущ ст о ни и инст нность ку ич ско о спл йн

Ïîê ìû í ì, ÷òî ëÿ ñïë éí S31(x) с нными p ничными усло иями колич ст о н и стных, котоpы н о хо-имо опp лить (т. . с о о ных п p м тpо ) со п т с колич ст ом уp н ний. Т ким о р ом пpинцип спл йн S31(x) мо т сущ ст о ть. О н ко со п ни колич ст уp н ний и колич ст н и стных н p нтиpу т ни сущ ст о ния ни инст нности p ш ния. Р ссмотрим по ро но этот опpос.

Во ьм м торую прои о ную от спл йн S31, который ля сокр щ ния писи у м о о н ч ть просто S(x). S00(x)это лом н я, или кусочно-лин йн я н пp pы н я функция. О о н чим ч p Mi н ч ния торой прои о ной от спл йн точк х xi: Mi = S00(xi) ; i = 0 ; 1 ; : : : ; N. Поскольку н лю ом пpом утк [xi 1; xi] S00(x) я ля тся лин йной функци й, пpохо ящ й ч p точки (xi 1; Mi 1) è (xi; Mi), òî îí î÷ è íî èì ò è :

S00(x) = Mi

x xi 1

+ Mi

1

xi x

; x

2

[xi

1; xi] :

xi

xi

1

xi

xi

1

Î î í ÷èì xi xi 1 = hi , i = 1 ; : : : ; N, òî

00

Mi

(x xi 1) +

Mi 1

(xi x) :

S

(x) =

hi

hi

23

Èíò pèpóÿ ïî ïðîì óòêó [xi 1; xi] , получ м

0

Mi

(x xi 1)

2

Mi 1

(xi x)

2

S

(x) = 2hi

2hi

+ di ;

и инт рируя щ р , пр ст им спл йн и

S(x) =

Mi (x

xi

1)3 +

Mi 1 (xi

x)3

+ di

(x

xi 1)

di

(xi

x) + ci :

6hi

6hi

2

2

Конст нты di è ci пок н и стны. Что ы их н йти осполь у мся со ст нно уp н ниями инт pполяции S(xi 1) = yi 1 è S(xi) = yi , которы н ш м случ приним ют и

Mi

1

2

di

Mi

2

di

hi

2 hi

+ ci = yi 1

;

hi +

2 hi + ci = yi :

6

6

Скл ы я и ычит я эти ур н ния получ м

ci = yi + yi 1

Mi + Mi 1 hi2 ; di = yi yi 1

Mi Mi 1 hi :

2

12

hi

6

T êèì î ð îì ci è di мо но опp лить ч p личины

Mi , ñëè û ïîñë íè ûëè è ñòíû. ×òî û èõ

опр лить, исполь у м н пp pы ность

S0(x) î íóòð ííèõ ó ë õ x1

; : : : ; xN 1 . òè óñëî èÿ ïèñû þòñÿ è

Mihi

+ di =

Mihi+1

+ di+1 :

2

2

По ст им сю ыp ни ля личин di:

Mi hi + yi yi 1

Mi Mi 1 hi =

2

hi

6

=

Mi hi+1 + yi+1 yi

Mi+1 Mi hi+1 ;

2

hi+1

6

òî ñòü

hi

Mi

1 + 2Mi +

hi+1

Mi+1 =

6

( yi+1 yi

yi yi 1 ) ;

hi + hi+1

hi + hi+1

hi + hi+1

hi+1

hi

i = 1 ; 2 ; : : : ; N 1 . òî ñèñò ì è N 1

óp í íèÿ ñ

(N + 1)-ой н и стной личиной M0 ; M1 ; : : : ; MN . Å

н о хо имо ополнить умя уp н ниями исхо я и p ничных усло ий . Во ьм м, ск м, о норо ны р ничны усло ия

(M0 = 0; MN = 0:

М триц , соот тст ующ я сист м получ нных ур н ний, тр х и он льн , и при этом я ля тся м триц й с и о- н льным пр о л ни м. Н помним, что к р тн я м триц D ( оо щ о оря компл ксн я) н ы тся н ы тся м триц й с и он льным пр о л ни м сли ля эл м нто dij лю ой строки ыполн но

N

jdiij > Xjdijj :

j6=i

Ïðè ì îê ò ëüñò ñë óþù óò ð íè .

Ò îð ì (Ã ðø îðèí). Со ст нны н ч ния к р тной м трицы D = fdij gNi;j=1 ë ò î ú èí íèè êðó î

jz diij Xjdijj :

j=i

6

Прямым сл ст и м т ор мы Г рш орин я ля тся н ыро нность м триц с оминирующ й л ной и он лью, поскольку ля т ких м триц ук нно о ъ ин ни кру о н со р ит точку z = 0 и, сл о т льно, м триц н

24

S(x; fyg) =

им т нул о о со ст нно о н ч ния, н чит и н ыро н . Т ким о р ом сист м ур н ний ля опр л нияличин Mi о но н чно р р шим , т м с мым сущ ст о ни и инст нность ку ич ско о спл йн мо но счит тьок нными. С му о никшую тр х и он льную сист му у о но р ш ть м то ом про онки, который р ссм три-

тся соот тст ющ й л . Т м пок но (н исимо от т ор мы Г рш орин ), что ля м триц с и он льным пр о л ни м м то про онки омо р р шим.

Б ис пpостp нст спл йно с о норо ными р ничными усло иями

Для сякой интeрполяционной т лицы

x0 ; x1 ; : : : ; xN

y0 ; y1 ; : : : ; yN

ñóù ñò ó ò èíñò ííûé êó è÷ ñêèé ñïë éí S31(x) = S(x) , который й у о л т оря т

S(xi) = yi ; = 0 ; 1 ; : : : ; N ;

и у о л т оря т о норо ным р ничным усло иям (т к н ы мый н тур льный или ст ст нный спл йн)

S00(x0) = S00(xN ) = 0 :

В pьиpуя личины yi (ñ÷èò ÿ, ÷òî ó ëû xi фиксиpо ны) мы получим пpостp нст о M(x0 ; x1 ; : : : ; xN ) инт p- поляционных ст ст нных спл йно р м рности dim = N + 1 c у л ми fxigN0 .  ñ ìîì ë , ì ê ÷ ñò

èñ M ñë óþùè ñïë éíû: fSk(x)gNk=0 : Sk(xi) = Æik i = 1 ; : : : ; N . Ê ûé ò êîé ñïë éí Sk(x) сущ ст у т и инст н н. Р ссмотpим ком ин цию

N

S(x; f igNi=0) X kSk(x) :

k=0

Ïp ïîëî èì, ÷òî S(x; f g) 0 , òî

S(xi; f g) = Si(xi) i = 0

è, ñë î ò ëüíî, ñ i = 0 , ò. . ñïë éíû Si(x) лин йно н исимы , и они покpы ют с M. Сл о т льно лю ой ку ич ский спл йн S 2 M(x0 ; : : : ; xN ) èíñò ííûì î p îì ïp ñò èì è

N

XykSk(x) :

k=0

К к ыть случ спл йно с н нул ыми p ничными усло иями, ск м с усло иями S00(x0) = A; S00(xN ) = B? Мно ст о т ких спл йно у н о р у т простр нст о, поскольку н я ля тся лин йным (сумм т ких спл йно н у о л т оря т р ничным усло иям). Что ы опис ть эту ситу цию постpоим спл йн сп ци льно о и S(0;N)(x) ò êîé, ÷òî

1)S(0;N)(xi) = 0 ; i = 0; 1; 2; : : : ; N ;

2)S(0;N)(x) у о л т оpя т нным н о норо ным p ничным усло иям.

Т кой спл йн сущ ст у т и инст н н по ок нному н ми ут р нии о сущ ст о нии и инст нности ку-ич ско о спл йн . Прои ольный спл йн с у л ми fxigN0 и с н о норо ными p ничными усло иями пp ст иминст нным о p ом и

N

S(x) = S(0;N)(x) + XykSk(x) ;

k=0

25

Sk р н постро нны исны спл йны простр нст ст ст нных спл йно . Т ким о р ом ку ич ски спл йны опис ны полностью.

2.2Аппроксим ции П

2.2.1"Í è íûé"ïî õî

При ли ни функции с помощью инт рполяционно о полином или с помощью спл йн осно но н исполь о ниин ч ний инт рполиру мой функции н котором колич ст точ к, и к к спл йн т к и инт рполяционный полиномол ны этих точк х им ть н ч ния, со п ющи с соот тст ующими н ч ниями инт рполиру мой функции. Мо но, о н ко, р ссм три ть при ли ния н с я нны стко со н ч ниями функции н ор точ к. В ч стности

	P	f(k)(x x0) (x
îòð îê ðÿ Ò éëîð -Ì êëîð í	N					x0)k	мо т ост точно хорошо при ли ть функцию окр стности
		k!
	k=0
точки р ло ния x0 (с точностью		o((x		x0)N ) ) и, при этом, н ыть с я нным с инт рполяционной т лиц й (он

опр ля тся лишь н ч ниями прои о ных о ной инст нной точк x0 ). Отр ок ря Т йлор -М клор н пр ст ля т со ой о ин и спосо о ппроксим ции. Бол о щими ппроксим циями я ляются ппроксим ции П .

Пусть функция f ( оо щ о оря компл ксно н чн я) н с оим ря ом Т йлор . Для у о ст у м счит ть, что точкой р ло ния я ля тся нуль

	1	cizi :
f(z) =			(4)
	i=0
	X
Н этот ря мо но смотр ть и к к н форм льный (т. . о мо но и н схо ящийся ни ни к к кой функции).
Д им сн ч л пр рит льно опр л ни , точно н сколько по .
"Í è íî "îïð ë íè . Í î ì [L=M]f - ппроксим ци й		П отнош ни ух полиномо
L	pizi
[L=M]f = i=0		; q0 = 1 ;	(5)
M

P

P qizi

i=0

р ло ни ря Т йлор которо о, со п т с п р ыми коэффици нт ми ря f н столько, н сколько это о мо но.

Âñ î ìû èì ì L + M + 1 ñ î î íûõ ï ð ì òðî (ò.ê. q0

= 1), сл о т льно, мо но н яться н то, что их

ы ором у стся о иться ыполн ния сл ующ о р нст

L

pizi

1

X

+ O(zL+M+1) :

(6)

cizi = i=0

M

P

i=0

P qizi

i=0

Ïðèì ð. Пусть

1

1

2

1

3

+ :

f(z) = 1 2 z +

3 z

4 z

Ë êî è òü, ÷òî

1

2

1

2

[1=0]f = 1

2 z = f(z) + O(z

) ; [0=1]f =

= f(z) + O(z

) ;

1 +

1

z

2

1 + az

2

2

) = 1 + (a b)z + (b

2

ab)z

2

+ ;

[1=1]f =

1 + bz

= (1 + az)(1

bz + b z

îòêó a b = 1=2 , b(b a) = 1=3 ; òî ñòü a = 1=6 , b = 2=3 ; è

26

	1 +	1	z
[1=1]f =		6		3	) :
	1 +	2	z	= f(z) + O(z
	3

Домно им р нст о (6) н полином Q.

M	X
X
i=0 qizi!	i1=0 cizi! =

З м тим, что коэффици нты при ст п нях zL+1; zL+2;

ñò ï íÿõ, ïîëî è cj = 0 ïðè j < 0.

L
X
pizi + O(zL+M+1) :	(7)

i=0

; zL+M р ны нулю. Сосчит м коэффици нты при этих

zL+1	:	cL+1q0 + cLq1 + + cL M+2qM 1 + cL M+1qM = 0 ;
zL+2	:		cL+2 q0 + cL+1q1 + + cL M+3 qM 1 + cL M+2 qM = 0 ;	(8)
zL+M :			cL+M q0 + cL+M 1q1 + + cL+1qM 1 + cLqM = 0 :

Поскольку q0 мы поло или р ным 1, то им м M ур н ний н M н и стных коэффици нто qi, которы у о нопис ть м тричной форм :

0	cL	cL 1		cL M+2 cL M+1
	cL+1	cL
				cL M+3	cL M+2
			...
@
B	cL+M 1	cL+M 2		cL+1	cL

10	.	1	=		0	.	1	:
	q1					cL+1
	q2					cL+2
	.					.
CB qM C					B cL+M C
A@	.	A			@	.	A

Если опр лит ль м трицы, фи урирующ й этой лин йной сист м , н о р щ тся нуль, то и н ¼ мо но опр лить коэффици нты qi . Н й я их и прир ни я (7) коэффици нты при 1; z; z2; ; zL ; н хо им и коэффици нты полином P :

p0 = c0;

p1 = c1 + q1c0;

p2 = c2 + q1 c1 + q2c0;

;

	min(L;M)
pL = cL +	qicL i :

Xi=1

Посл ни сист мы ур н ний н ы ются ур н ниями П .

З м ч ни 1. Если ук нн я сист м р р шим , то т йлоро ско р ло ни f со п т с [L=M]f с точностьюо O(zL+M+1).

З м ч ни 2. Коэффици нты ci мо ут ыть т кими, что ст п нной ря (4) р схо ится (р иус схо имости р н нулю) и я ля тся форм льным. О н ко при этом, ск м, и он льны (L = M) ппроксим ции П мо ут схо ится при M ! 1 к н которой функции F . Н этом осно ы тся и я о том, что мо но с помощью ппроксим ций П построить н ло н литич ско о про ол ния. То сть, функция f мо т ыть н н которой о л сти,

пприксим ции П при этом схо ятся ол широкой о л сти.

З м ч ни 3. Отр ок ря Т йлор хорошо ппроксимиру т функцию лишь окр стности точки р ло ния, то

к к ппроксим ция П ч стую хорошо при ли т функцию н чит льно ол широкой о л сти. Ïðèì ð. Пусть

27

cL+1 cL+2

...

cL M+2

cL M+1

f(z) =

r1 + 12 z : 1 + 2z

Отр ок ря Т йлор функции f и тр х чл но пр ст ля т со ой п р олу и н щ ст нной оси при z = x ! 1 стр мится к скон чности, то к к с м функция f(z) ост тся при этом о р нич нной. [1=1]- ппроксим ция П

им т по р шность ни н пр ыш ющую 8 проц нто ( том числ и н скон чности).

2.2.2Д т рмин нтно Пр ст л ни полиномо П

~

З м тим, что сист м (8) ля опр л ния личин qi по оля т пр ъя ить н который мно очл н Q[M=L]f (z) , коэффици нты которо о этой сист м у о л т оряют:

		cL+1			cL		cL M+2 cL M+1
		cL+2		cL+1		.	cL M+3 cL M+2
~[M=L]f	(z) =								:
Q						..
		cL+M cL+M 1					cL+1	cL
			1		z		zM 1	zM
			~	[L=M]	и соотнош ния
Опр лим т п рь соот тст ующий мно очл н			P

		1
~[L=M]f	(z)	X	ciz	i
Q
		i=0
Èì ì

~[L=M]f		L+M+1
P	(z) = O(z		) :	(9)

cL

1

cL+1

cL M+3

cL M+2

~

[L=M]f

i

(z)

ciz

=

:

Q

i=0

cL+M

cL+M

cL+1

cL

X

1

1 cizi

1 cizi+1

1 cizM+i 1

1 cizM+i

i=0

i=0

i=0

i=0

Домно им п р ую строку н z

L+1

P

P

P

P

L+2

è ò ê û÷ò ì

и ычт м и посл н й строки. Вторую строку омно им н z

и посл н й строки и т. . M-ую строку омно им н zL+M и ычт м и посл н й строки. В р ульт т к ой сумм посл н й строк у ут отсутст о ть чл ны со ст п нями z р ными L + 1; L + 2; ; L + M. Если т п рьы лить и посл н о опр лит ля с чл ны о ст п ни zL ключит льно, то он пр ст ля тся и

cL+1

cL+2

cL+M

L

iP=0 cizi

	cL			cL M+2			cL M+1
cL+1				cL M+3			cL M+2
			...
cL+M 1					cL+1				cL
L 1	cizi+1			L M+1			L M		cizM+i
P				P	cizM+i 1		P
i=0				i=0			i=0
+O(z		M+L+1	~[L=M]f		(z) + O(z	M+L+1		) :
			) = P

Èò ê îê íî ïð ñò ë íè (9). Èí ÷ î îðÿ îê í

Ò îð ì . Äëÿ ëþ î î ðÿ	1 cizi сущ ст уют т ки полиномы P и Q ст п н й н
	i=0
÷òî	P

1

Q(z) Xcizi P (z) = O(zL+M+1) :

i=0

+

ûø L è M ñîîò òñò ííî,

(10)

28

З м тим, что при ок т льст о мо ности пр ст л ния (7) мы ни н поль о лись т м ыро н или ныро н м триц сост л нн я и коэффици нто ci.

Îïð ë íè . Îïð ëèò ëü

cL

cL 1

cL M+2 cL M+1

~[L=M]

(0) =

cL+1

cL

cL M+3

cL M+2

Q

..

.

cL+M 1

cL+M 2

cL+1

cL

í û òñÿ îïð ëèò ë ì Õ íê ëÿ.

Îòì òèì, ÷òî è í øèõ ð ññó íèé ñë ó ò ñïð ëè îñòü ñë óþù é ò îð ìû.

~

[L=M]

(0) = 0, то сущ ст уют инст нны (с точностью о мно ит ля) мно очл ны P (z) и

Ò îð ì . Åñëè Q

6

Q(z) ñò ï í é í ûø L è M ñîîò òñò ííî, ò êè ÷òî

1

P (z)

X

i

M+L+1

i=0

ciz

Q(z) = O(z

) :

Ïðèì ð (í îñò òêè í è íî î ïî õî ). Построим [1=1]- ппроксим цию ля f(z) = 1 + z2. Тр у тся о иться р -нст

p0 + p1z = 1 + z2 + O(z3) ; q0 + q1z

îòêó

p0 + p1z = q0 + q1 z + q0z2 + O(z3) ;

è

q0 = p0; p1 = q1 ;

то сть [1=1] = 1 и пост л нн я ч р ш ний н им т. О р тимся т п рь к т рмин нтным формул м.

Ó èìñÿ, ÷òî ð íñò î (7), ò ì í ì í , èì ò ì ñòî:

~	[1=1]		c2	c1		1	0
Q			= 1 z = 1				z = z ;
~[1=1]			c2	c1			1	0
P		= c0 + c1z c0				= 1		z = z :

z(1 + z2) z = z3 = O(z3) :

Д им т п рь стро о опр л ни ппроксим ций П .

Îïð ë íè . Пусть P и Q полиномы ст п н й н ыш L и M соот тст нно, Q(0) =6 0 è

P f(z) = O(zL+M+1) ; Q

то отнош ни P=Q н ы тся [L=M]- ппроксим ци й П .

Отм тим н которы л ко про ря мы с ойст ппроксим ций П .

Ò îð ì . Пусть g = f 1 è f(0) =6 0, òî [M=L]g = [L=M]f , при усло ии, что хотя ы о н и этих ппроксим ций сущ ст у т.

29

f(z) =

Äîê ò ëüñò î. Пусть, ск м, сущ ст у т ппроксим ция [L=M]f , òî [L=M]f (z) = [L=M]f (0) = f(0) =6 0 è, ñë î ò ëüíî

g(z) QM (z) = PL(z) f(z)QM (z) = O(zL+M+1) ; PL(z) f(z)PL(z)

PL(z) è PL(0) =6 0, поскольку

QM (z)

÷òî è òð î ëîñü îê òü.

Ò îð ì (ин ри нтность и он льных ппроксим ций при ро но-лин йных пр о р о ниях сохр няющих н - ч ло коор ин т). Пусть w = 1+azbz . Ïîëî èì g(w) = f(z), òî [M=M]g(w) = [M=M]f (z) при усло ии, что хотя ы о н и этих ппроксим ций сущ ст у т.

Äîê ò ëüñò î. Пусть сущ ст у т ппроксим ция

M

[M=M]g(w) = M akwk = g(w) + O(z2M+1) :

P

В м полиномы AM è BM ïî z ñò ï íè í ûø M:

Pbk wk

		M		az		k		M	az	k
A(z) = (1 + bz)	M	Xak				; B(z) = (1 + bz)	M	Xbk		;
				1 + bz					1 + bz
òî
			AM (z)		= f(z) + O(z2M+1) ;
			BM (z)

поскольку 0 п р хо ит 0.

Ò îð ì (ин ри нтность и он льных ппроксим ций относит льно ро но-лин йных функций). Пусть g(z) =

a+bf(z) è c + df(0) =6 0, òî

c+df(z)

ñëè [M=M]f ñóù ñò ó ò.

Äîê ò ëüñò î.

[M=M]g(z) =	a + b[M=M]f	;
	c + d[M=M]f

	a + b[M=M]f (z)	=	PM (z)		;
	c + d[M=M]f (z)		QM (z)

PM è QM полиномы ст п ни н ыш M, прич м QM (0) =6 0. Ñë î ò ëüíî,

PM (z)	g(z) =	(bc ad) f[M=M]f (z) f(z)g = O(z2M+1) :
QM (z)		fc + d[M=M]f (z)g(c + df(z))

2.2.3Аппроксим ции П скон чно у л нной точк

Пусть

1 f

X k

k=0 zk+1

форм льный ря по о р тным ст п ням z. Пост им сл ующую чу. Пусть N н тур льно . Тр у тся н йти

ìíî î÷ë í QN = 0, degQN		N, ò êîé ÷òî
6
		QN (z)f(z) PN (z) =	c	+ : : : ;	(11)
			zN+1

PN (z) полиноми льн я ч сть ря QN (z)f(z).

Р ш ни этой чи сущ ст у т и degPN N. Если п р (PN ; QN ) н инст нн (н только с точностью о мно ит ля), то т м н м н отнош ни PN =QN опр ля т о ну и ту р цион льную функцию ля лю ой п ры П . Д йст ит льно, пусть

30