[ Буслов, Яковлев ] Введение в численный анализ

= i!(N i)!( 1)N i hN :

Ò êèì î p îì

i = ( 1)N i

N

jh) dx :

j=0(x x0

b

Q(x x0 ih)

Za

i!(N i)!hN

Ïîëî èì x x0

= q ; a = x0 ; b = xN

è ì òèì, ÷òî

h

=

1

, òî

b a

h

N

( 1)N i

N

j)

N

j=0(q

i =

h

dq

:

Z0

Qq i

i!(N i)!

Оконч т льно, о ычно о ят н сколько pу и коэффици нты, н ы мы коэффици нт ми Кот с : Hi = b 1a i ; при этом к р турн я формул приним т и

			b				N
			Za
				f(x)dx = (b a)			X	Hif(xi) + R(f) :
							i=0
С ойст коэффици нто Кот с Hi:
N
1)	Hi = 1 ;
i=0
2) Hi	= HN		i .
P
Äîê ò ëüñò î.
1) Поскольку к р турн я формул Ньютон -Кот с точн ля полиномо ст п ни н пр осхо ящ й N , то
ч стности сли ять к ч ст функции				f функцию то ст нно р ную 1, то
			b		N				N
			dx = (b a)			Hif(xi) = (b a)				Hi = (b a) ;
			Za		i=0				i=0
					X				X

отку с ойст о 1) сл у т н поср ст нно. 2) Коэффици нт Hi р н

Hi = 1 ( 1)N i

N i!(N i)!

ïðè ýòîì

N

N		(q j)
		j=0
Z0	dq	Qq i	;

HN		i =	1	( 1)N N+i
			N (N i)!(N N + i)!

N

N

(q j)

Z0
		j=0
	dq	qQ N + i	=

	(		1)i			N
					N	j=0(q j)
=					dq			:
				i)!i!		qQ	N + i
	N(N				Z0

Ïðîè ì ì íó ï ð ì ííîé q N = p ; dq = dp, òî

		N	(q j)
N
Z0
		j=0
	dq	qQ N + i

îòêó HN i = Hi.

		N			N
N		(N p j)	N		(p j)
		j=0			j=0
= Z0	dp	Q (p i)	= ( 1)N Z0	dp	Qp i	;

41

4.2.2Оц нк по p шности к p туpных фоpмул Ньютон -Êîò ñ

Для по р шности инт рполиро ния			r(x) функции		f(x)		инт рполяционным полиномом p(x) у н с ыло получ но
ûð íè
								f(N+1)( )
			r(x) f(x) pN (x) =						(N + 1)! NN+1(x) ;
					N
òî÷ê èñèò îò	x	: = (x) è NN+1(x) =			Q	(x	xi) . Ò êèì î ð îì
					i=0
			b					b	f(N+1)( )
		RN (f; 1) = Za		rn(x)dx = Za
									(N + 1)! NN+1(x)dx ;
è
			jRN (f; 1)j jjf((NN+1)+jj1)!C[a;b]							b
										Za	NN+1(x)dx :
В ч стности, сли f(x)	это полином ст п ни deg f N								òî		RN (f; 1) = 0 , òî ñòü éñò èò ëüíî ê p òópí ÿ
фоpмул Ньютон -Кот с с		(N + 1)	у лом точн ля полиномо ст п ни н пр осхо ящ й N.

4.3Ôîpìóëû Ã óññ -Кpистоф ля

4.3.1Пр лы л р ич ской ст п ни точности

Выясним к кой мо т ыть л р ич ск я ст п нь точности M к р турной формулы с L у л ми x1; x2; : : : ; xL :

	b	L
	Za
		X
	f(x) (x)dx	k=1	kf(xk) :	(6)
Ч стичный от т н этот опрос т
Ë ìì .
) ëÿ ëþ îé ê p òópíîé ôîpìóëû M 2L 1;
) ëÿ ëþ îé ííîé ñèñò ìû ó ëî fxigiL=1 ñóù ñò óþò ò êè k, что л p ич ск я ст п нь точности				M

L 1. Äîê ò ëüñò î.

) Сн ч л при м н стро о р ссу ни . По счит м число с о о ных п p м тpо к p туpной фоpмулы. Оно р но 2L (L со i è L ó ëî xi). Полином ст п ни M со р ит M + 1 п p м тp. Пpиp ня м эти личины: M + 1 = 2L, то сть M н мо т пp осхо ить 2L 1.

Стpо о ок т льст о состоит том, что мы пpосто пp ло им полином стп ни 2L, ля котоpо о (6) н мо т

		L	(x xi)]2, то f(x) 0 и поскольку с (x) н отриц т л н и н
ыть то ст ом. Д йст ит льно пусть f(x) = [		i=1
	b	Q		L
					kf(xk) = 0, поскольку f(xk) = 0.
р н то ст нно нулю, то f(x) (x)dx > 0, с ру ой стороны
	a			k=1
) Â ì ìîì íòû	R			P

b

cl = Z xl (x)dx :

a

Если (6) стpо о p нст о ля полиномо ст п ни о M, то ол но ыть ыполн но:

42

b	L
Za
	X
xl (x)dx = cl =		kxkl ; l = 0 ; 1 ; : : : ; M
	k=1

Ç ì òèì, ÷òî ýòî ñèñò ì è M + 1 ëèí éíî î óp í íèÿ í L ÷èñ ë k и он ст но ится о но н чно р р шимой при M = L 1, поскольку опp лит ль этой сист мы опp л лит ль В н pмон и, сл о т льно, отлич н от нуля, поэтому с k ñóù ñò óþò è èíñò ííû. Îòì òèì ò ê , ÷òî ÿ íî ûð íè ëÿ ñî èì ò è

b

k =	Za	Y	(x xj)				(x)dx ;	(7)
		6	(xk		xj )
		j=k

÷òî ñò ñò ííî ñî ï ò ñ (5) ïðè (x) 1.

Ит к, л р ич ск я ст п нь точности н мо т пр ыш ть личину 2L 1, мо т ли он р няться этому числу? Д , мо т!

Îïð ë íè . К p туpны фоpмулы н и ысш й л p ич ской ст п ни точности (M=2L-1) н ы ются к р - турными формул ми Г усс -Кристоф ля.

З йм мся постpо ни м формул Г усс -Кристоф ля. Если у лы у и стны, то с мо но k опp лить исполь-уя опр лит ль В н pмон ( и получить ыр ни (7)), но это p нтиpу т л p ич скую ст п нь точности лишьо н ч ния M = L 1. Зн чит опpос ключ тся "p умном"p споло нии у ло xk. Для р ш ния этой чи н м потр уются н которы с ния о орто он льных полином х (корни которых и я ляются у л ми к р турных формул Г усс -Кристоф ля).

4.3.2 Оpто он льны полиномы

Ò îp ì . Пусть н со я функция со с ойст ми 1)-3), то L2; сущ ст у т и инст нн полн я сист м оpто он льных полиномо Pn(x) :

b

	Za
hPn; PmiL2; =	Pn(x)Pm(x) (x)dx = ÆnmjjPnjjL2 2;	;
ò ê ÿ ÷òî degPn = n .

Н помним,что сист м кторо f'ig нормиро нно о простр нст E, н ы тся полной сли н им ньш мкнуто (т. . со р щ с с ои пр льны точки) по простр нст о, со р щ f'kg ; сть с E. В кон чном рном нормиро нном простр нст сяко по простр нст о том тич ски мкнуто. скон чном рном случ это н т к.

Н прим р, простр нст н пр ры ных функций C[a;b] (со с о й нормой:	jj	f	jj	= max	f(x) ) полиномы о р уют по -
				x2[a;b] j		j	xk	1
простр нст о, но н мкнуто . О н ко, силу т ор мы В й ршр сс , сист м функций						f			я ля тся полной
								gk=0

C[a;b].

Äîê ò ëüñò î. Док м сущ ст о ни и инст нность пpо pки полноты. Пp ъя им эти полиномы с точ-

ностью о мно ит ля я но:
	c0	c1	: : :	cn
	c1	c2	: : : cn+1
Pn(x) = An	: : :	: : :	: : :	: : :	:
	cn 1	cn	: : : c2n 1
	1	x	: : :	xn

Ç ñü, An нормиро очны конст нты. Для про рки сущ ст о ния, н о хо имо у иться, что Pn ? xm ; m < n . Ä éñò èò ëüíî

43

					c0	c1	: : :		cn
	b		b		c1	c2	: : : cn+1
Za	xmPn(x) (x)dx = An Za		xm	: : :		: : :	: : :		: : :	(x)dx =
					cn 1	cn	: : : c2n 1
					1	x	: : :		xn
		c0	c1		: : :	cn
	= An	: : :	: : :		: : :	: : :			= 0 ;
		cn 1	cn		: : :	c2n 1
		cm cm+1 : : :				cm+n

сли m n 1 (опp лит ль с умя о ин ко ыми стpок ми). Т ким о р ом орто он льны полиномы сущ ст уют. Поскольку ст п ни xm лин йно н исимы, то оpто он льны полиномы мо но т к постpоить и ст н pтной

ïpîö ópîé îpòî îí ëè öèè (Ãèëü ðò - ìè ò ):

P0 =

1

; P1 =

x hx; 1iL2; 1

; : : : ;

jj1jjL2;

jjx hx; 1iL2; 1jjL2;

xl

l 1

hxl; PkiL2; Pk

Pl =

k=1

:

jjxl

l 1P

k=1

hxl; PkiL2; PkjjL2;

Про рим т п рь инст нность. Пусть сущ ст уPт ру ой полином Gk

ñò ï íè k, ò êîé ÷òî Gk

?

Pi ; i =

k

1 ; : : : ; k 1. Ð ëî èì î ïî ñèñò ì Pk:

Gk =

P

ciPi. Домно им это р нст о н Pl и проинт риру м с сом

i=0

по отр ку [a; b] (т. . р ссмотрим ск лярно прои ни ), то

h

gk; Pl

i

= 0 = cl ïðè l < k è, ñë î ò ëüíî

gk = ckPk.

Âîïpîñ: А мы исполь у м с ойст ?

Ä ëî òîì, ÷òî ñëè ó î ë ò îðÿ ò ñ îéñò ì 1)-3), òî ôîðì

b

hf; giL2; =

Za

f(x)g(x) (x)dx

йст ит льно опр ля т ск лярно прои ни .

4.3.3С ойст орто он льных полиномо

Путь н сист м орто он льных с сом полиномо						Pn(x) . Ñïð ëè
Ò îp ì . Вс корни		Pn(x) ù ñò ííû , ïpîñòû è ïðèí ë ò îòð êó							(a; b) .
Äîê ò ëüñò î. Пусть Pn(x) èì ò k			ù ñò ííûõ êîðí é					xi í îòp ê	(a; b) н ч тной кp тности. Поло им
			>	1;				k = 0
			qk(x) = 8	k				;
			>	Q	(x		xj);	k > 0
			:
			< j=1
êîpíè	xi 2 (a; b)	яты уч т кp тности, т. . хо ят пpои ни только о ин p . То прои ни
Pn(x)qk(x)	í ì íÿ ò í ê í ïpîì óòê		(a; b) , è, ñë î ò ëüíî,

b

Z Pn(x)qk(x) (x)dx =6 0 :

a

44

О н ко при k < n инт p л ол н p няться 0 силу оpто он льности Pn

полином м м ньш й ст п ни. Т ким

î ð îì k = n.

Ò îp ì . Если л р ич ск я ст п нь точности к p туpной фоpмулы c L у л ми

xk ð í 2L 1 , òî ó ëû

xk суть корни орто он льно о полином PL(x) .

L

Äîê ò ëüñò î. Пусть

NL(x) =

Q

(x xi) ,

xi у лы к p туpной фоpмулы и пусть ¼ л р ич ск я

i=1

ст п нь точности р н 2L

1. Р ссмотpим функцию

f(x) =

N

L(x)Pm(x) ,

m

L

1 , я ляющуюся полиномом

ст п ни н пр осхо ящ й 2L 1. Для т кой функции к p туpн я фоpмул точн по усло ию, и, сл о т льно,

			b		L
			Za
					X
			f(x) (x)dx =			f(xk) k = 0 ;
					k=1
	b
òî ñòü	R	NL(x)Pk(x)dx = 0	è í ÷èò NL ? Pm . Ò êèì î ð îì NL я ля тся орто он льным полиномом и силу
	a
инст нности с точностью о мно ит ля со п т с				PL .
Пусть т п рь коpни xi			орто он льно о полином	PL(x) я ляются у л ми к p туpной фоpмулы. Пок м,

что л р ич ск я ст п нь точности к p туpной фоpмулы мо т р няться 2L 1 . Про ппpоксимиpу м функцию

f(x) полиномом

g(x) ñò ï íè L 1

ïî í ÷ íèÿì òî÷ê õ

xi :

L

L

(x

xj)

X

Y

g(x) =

f(xi)Li(x) ;

Li(x) =

(xi

xj) :

6

i=1

j=i

b

b

Пусть I =

R

f(x) (x)dx ; J =

R

g(x) (x)dx : Òî I = J , ñëè

f

полином ст п ни о L 1

ключит льно,

a

a

поскольку этом случ

f = g . Íî ñëè

f | полином ст п ни о

2L

1 , то р ность полиномо

f è g ò ê

полином ст п ни н пр осхо ящ й

2L 1 , ïpè÷ ì (f g) jx=xj = 0 , è, ñë î ò ëüíî, ñïð ëè î ïð ñò ë íè

f g = PLqL 1, qL 1

н котоpый полином ст п ни о

L 1 . Òî

Za

b

b

Za

I J =

(x)[f(x) g(x)]dx =

(x)PL(x)qL 1(x)dx = 0 ;

то сть л р ич ск я ст п нь точности к p туpной фоpмулы р н

2L 1 , сли ¼ у лы корни орто он льно о

полином . В с при этом р ны

b

b

L

k =

Za

L

k(x) (x)dx =

Y

(x

xi)

(x)dx :

xi)

Za i6=k

(xk

Отм тим, что коpни сос них орто он льных полиномо PL è PL 1 p личны (н с мом л м у умя посл -

о т льными коpнями			xi и xi+1 полином PL л ит pо но о ин коp нь x~i полином PL 1 ). Д йст ит льно,
пусть fk(x) =		PL(x)PL 1	(x)	, то degfk = 2L 1 и формул Г усс -Кристоф ля с у л ми xi , я ляющимися корнями
		(x xk)
полином	PL , ля т кой функции точн . Он , к к л ко у и ть приним т и
								b
				0		(xk) =	Za	PL(x)PL 1(x)	(x)dx :
				kPL(xk)PL 1
								(x xk)
Пусть ai	ст рши коэффици нты орто он льных полиномо Pi , то

PL(x) = aL Y(x xi) ; PL 1(x) = aL 1 Y(x x~i) ;

è ñïð ëè î ïð ñò ë íè

PL(x)	=	aL	PL 1(x) + qL 2(x) ;
x xk		aL 1

45

qL 2(x) н который полином ст п ни н ыш L 2 . Т ким о р ом с уч том орто он льности

b

2

1

aL

2

aLjjPL 1jjL2;

k = P 0 (xk)PL

1(xk)

aL

1 PL 1(x) (x)dx = aL

1P0

(xk)PL

1(xk) ;

L

Za

L

íî ò ê ê ê k

=

( ля со у получ но я но ыр ни (7), и кром то о, н я у лы, с мо но о но н чно

6 1

îïp ëèòü ÷ ð îïð ëèò ëü Â í ðìîí ), òî

PL

1(xk) = 0 , и н чит ни о ин и корн й полином PL

í ìî ò

6

я ляться корн м полином PL 1 . Попутно мы н шли и pу о ыp ни ля со k .

Ñ îéñò ñî

1) k > 0.

NL(x)

2

2L 2 , p íûé

Äîê ò ëüñò î. Пусть fk(x) =

x xk

: то полином ст п ни

0 î ñ õ ó ë õ, êpîì

x = xk ,

ля н о фоpмул Г усс -Кpистоф hëÿ òî÷íi , поэтому

b

2 (x)dx = k

2 = k

NL(x)

NL(x)

N

L0

(xk) 2

> 0 ;

Za x xk

x xk x=xk

ñë î ò ëüíî k > 0.

b

RL

2) ñ ÿ ü ñî

k ñ ìîì íò ìè

cl =

xl (x)dx :

a

X

xkl k

= cl ; l = 0 ; 1 ; : : : ; 2L 1 :

k=1

С ойст о ст но ится оч и ным, сли сосчит ть инт p л с сом от ст п ни xl

по фоpмул Г усс -Кpистоф ля.

L

b

3)

P

k =

R

(x)dx :

k=1

a

то ч стный случ й с ойст 2) пpи

l = 0 .

4.3.4Пpим pы оpто он льных полиномо

1) Полиномы Л н p Pn(x) я ляются орто он льными н пром утк (-1,1) с сом (x) = 1. С точностью о нормиро ки ля них спр ли о ыр ни

Pn(x) =

( 1)n

dn

(1

x2)n :

2nn! dxn

В ч стности P0 = 1 ; P1 = x ; P2 =

1

(3x2

1) :

2

2) Полиномы Ч ыш п р о о ро

Tn = n

[n=2] ( 1)m(n m 1)! (2x)n 2m

2

X

m!(n

2m)!

m=0

îðòî îí ëüíû í òîì ïðîì óòê [ 1; 1] ;

ñ ñîì

= p

1

.

1 x2

3) Полиномы pмит Hn îðòî îí ëüíû í ïðîì óòê (1; 1) ; ñ ñîì (x) = e x2 . С точностью о нормиро ки

îíè èì þò è

n

x2

dn

e

x2

Hn(x) = ( 1)

e

:

dxn

4) Полиномы Л pр Ln îðòî îí ëüíû í ïðîì óòê

[0; 1) ;

ñ ñîì (x) = e x. Èõ ìî íî ïð ñò èòü

è

1

x dn

n

x

Ln(x) =

n!

e

n

(x

e

) :

dx

46

4.3.5По p шность к p туpных фоpмул

Пусть функция f(x) проинт рполиро н по ¼ н ч ниям f(xi) L òî÷ê õ xi ; i = 1; 2; : : : ; L ; полиномом gL 1 :

f(x) = gL 1(x) + r(x) ;

По р шность инт риро ния R при м н f(x) соот тст ующ й к р турной формулы) им т и

	gL 1(x) =	L	f(xj )	L	(x xj)	:
		X
				Y
		i=1		j=i (xi xj)
				6
	инт рполяционным полиномом					gL 1 (он по р шность

b

b

b

b

Za

Za

Za

Za

f(L)( (x))

N

L!

R =

f dx

gL 1 dx =

r(x) dx =

(x) (x)dx ;

L

Y

N(x) =

(x xi)

i=1

и сли f полином ст п ни н ыш

L 1 , òî f(L)

0

и, сл о т льно, к р турн я формул точн . Для случ я

p ноотстоящих у ло xi xi 1 = h

èì ì:

jNL(x)j

hL max

1

hL

CLk

è, í ÷èò

L!

k

b

jRj hLjjf(L)jjC Z (x)dx ;

a

è ïpè = 1

jRj hLjjf(L)jj(b a) :

то о ольно pу я оц нк , о н ко он пок ы т поря ок точности по h .

В случ , сли у лы н прои ольны , коpни оpто он льно о полином PL , то к p туpн я фоpмул точн ля полиномо ст п ни н пр осхо ящ й 2L 1, хотя получ нн я оц нк это о и н "чу ст у т". Что ы улучшить оц нкуэтом случ поступим сл ующим о р ом. Пусть f 2 C2L. Р ло им pя Т йлоp окр стности н которой

точки x :

f(x) =

2L 1 f(k)(x )(x x )k + f(2L)(x )(x x )2L + q(x) ;

k=0

k!

(2L)!

X

f2(x)

f1(x)

} |

{z

}

òî

|

{z

b

b

b

R =

[f gL 1(x)] (x)dx =

[f1 gL 1(x)] (x)dx +

f2(x) (x)dx :

Za

Za

Za

=0

Пусть с = 1, оц ним посл ний инт p л от роси от функции f2(x) îñò òîê							q(x) и ы р к ч ст точки
|			{z	}
р ло ния x точку	a+b	, òî
	2
		b
		f(2L)(x )(x x )2L dx	jjf(2L)jjC	(b		a)2L+1	;
		(2L)!	22L(2L + 1)!
		Za

то сть по р шность R т с я к к

47

R	jjf(2L)jjC	(b		a)2L+1	:
	22L(2L + 1)!

4.4Ïpèì pû ê p òópíûõ ôîpìóë

В этом пункт мы у м счит ть, что с = 1 ; и, что L число у ло н [a; b] .

4.4.1 Число у ло L = 1

	b
a) Фоpмул л ых пpямоу ольнико : x1 = a;	f(x)dx (b a)f(a) :
	a
) Фоpмул пр ых пpямоу ольнико : x1 = b;	R b	f(x)dx (b a)f(b) :
	a
) Фоpмул сp них (прямоу ольнико )	R

формул н и ысш й л p ич ской ст п ни точности (он ол н ыть точной ля полиномо н пр осхо ящих ст п ни 2L 1 = 1). Постpоим соот тст ии с и ло нными ыш соо р ниями ля формул Г усс -Кристоф ля. Для это о сн ч л с помощью м сшт но о пр о р о ния и с и п р м отр ок [a; b] отр ок [ 1; 1] , н котором орто он льными я ляются полиномы Л н р Pk . Òî

b

1

f(x)dx = b a

f( b + a

+ b a y) dy ; x = b + a

+ b ay :

Za

2

Z1

2

2

2

2

|

{z

}

q(y)

P

b

Поскольку P1(y) = y , то инст нный коp нь это о полином точк y = 0. В с

(ïî ñ îéñò ó ñî

i =

R

(x)dx)

a

1

p í = R1

dx = 2, ò êèì î ð îì

b

1

f(x)dx =

b a

Z1

q(y)dy

b a2q(0) = (b

a)f( b + a) :

Za

2

2

2

4.4.2Число у ло L = 2

) Ôîpìóë òp ï öèé.

З сь у л ми я ляются точки x1 = a ; x2 = b. f(x) м ня тся инт рполяционным полиномом п р ой ст п ни p1(x), постро нным по этим у л м:

f(x) ! g1	(x) = ax bb f(a) + xb	aaf(b) ;

bb

Za	f(x)dx f(a)	Za

		b
x b dx + f(b)	Za	x a dx =
a b		b a

bb

=

f(a)

y dy +

f(b)

y dy =

f(a)

(a b)2

+

f(b)

(b a)2

=

a b Za

b a Za

(a b) 2

(b a) 2

= (b a) f(a) + f(b) : 2

т формул p ум тся точн ля полиномо ст п ни н пр осхо ящ й L 1 = 1 (и н ольш ).) Фоpмул Г усс -Кpистоф ля ля L = 2

Для получ ния поступим т к к к случ формулы ср них:

48

b

1

Za

f(x)dx =

b a

q(y)dy ; q(y) = f( b + a

+ b ay) :

2

Z1

2

2

1

2

1

1

Полином P2 èì ò è : P2 =

2

(3y

1) . Å î êîpíè y1

=

p

; y2 = p

. В с и симм тpичности ол ны ыть

3

3

1

1

1

î èí êî û: 1 = 2 ; 1 + 2

= 2 ) i = 1, ñë î ò ëüíî,

g(y)dy q( p

) + q( p

). Т ким о р ом иском я

3

3

к р турн я формул им т и

R1

b

f(x)dx

b a

f( b + a

b

a 1

) + f( b + a

+ b a 1

)

:

Za

2

2

2

p3

2

2 p3

Ал р ич ск я ст п нь точности M р н

2L 1 = 3.

4.4.3Число у ло L = 3

Фоpмул Симпсон

З сь у л ми я ляются точки

x1 = a ; x2 =

a+b

;

x3

= b. Для у о ст ычисл ний п р й м к отр ку [

1; 1]

2

ì ñøò íûì ïð î ð î íè ì q(y) = f(

b+a

+

b a

y) :

2

2

b

1

Za

f(x)dx = b a

Z1

q(y)dy ; y1 =

1 ; y2 = 0 ; y3 = 1 :

2

Ç ì íèì q(y)

инт рполяционным полиномом

p2(y) :

q(y)

! p2(y) = q( 1)L1(y) + q(0)L2(y) + q(1)L3(y) ;

L

1(y) =

(y

0)(y

1)

= y(y

1)

;

L

2(y) =

(y

( 1))(y

1)

=

(y + 1)(y 1)

;

( 1

0)( 1 1)

2

(0

( 1))(0

1)

1

(y

(

1))(y

0)

(y + 1)y

L3(y) =

(1

( 1))(1

0)

=

2

:

1

Òî èíò ð ë R1 p2(y)dy ð í

1

1

1

q(

1)

y(y 1) dy + q(0)

Z1

(y + 1)(y

1) dy + q(1)

y(y + 1) dy :

Z1

2

1

Z1

2

Сосчит м с

1

1

y2

y

1

Z1 (1 y

2

4

3 = 1 = Z1 ( 2

2 )dy =

3

; 2

=

)dy =

3

;

1

q( 1)

ò êèì î ð îì

R1

q(y)dy

+

4

q(0) + q(1)

: Во р щ ясь к исхо ной функции f, получ м формулу Симпсон

3

3

3

b

f(x)dx

b a[f(a) + 4f( a + b ) + f(b)] :

Za

6

2

З м тим, что эт фоpмул точн и ля полиномо тр ть й ст п ни, хотя постpо ни p нтиpо ло точность лишьо н ч ния L 1 = 2.

49

Для ол точно о ычисл ния инт р ло мо но строить инт рполяционны полиномы с ол ысокой ст п ни, о н ко ол р умным по хо ом я ля тся р и ни пром утк инт риро ния н ч сти и прим н ни н них к ко о ли о и и ло нных ыш простых спосо о инт риро ния.

4.5Ñîñò íû ê p òópíû ôîpìóëû

Ð î ü ì ïðîì óòîê èíò ðèðî íèÿ [a; b]

í

N ÷ ñò é

x0 = a ; x1 ; : : : ; xN = b è í ê îì ïpîì óòê i =

[xi; xi 1]

пpим ним ту или иную к p туpную фоpмулу и просуммиру м по с м пром утк м. Пусть hi = xi xi 1 .

Получ м сл ующи сост ны к р турны формулы

N

xi+xi 1

M = hif(

);

2

i=1

N

T =

P

f(xi)+f(xi 1)

;

hi

2

i=1

N

S =

P hi

[fi 1 + 4f(

xi 1+xi

) + f(xi)].

i=1

6

2

Лю опытно отм тить, что S =

2

M +

1

T .

P

3

3

У о но сост ную формулу Симпсон пр ст лять и (при ч тном числ пром утко )

h

+ : : : + 4fN 1 + fN ) :

S(f) =

3

(f0

+ 4f1 + 2f2

Т к я пись н ы тся о о щ нной формулой Симпсон .

4.5.1Схо имость к p туpных фоpмул

Óñòð ìèì ñîñò íûõ ê p òópíûõ ôîpìóë õ ð í ðî ë íèÿ h = max hi к нулю. Ест ст нным о р ом о ник ютопросы

1)Стp мится ли сумм к инт р лу?

2)Если " ", то с к кой скоpостью?

От т н п р ый опрос поло ит л н. Поскольку и формул ср них M и формул тр п ций T суть инт - р льны суммы, ля инт риру мой функции инт р л по опр л нию сть пр л инт р льных сумм. Поскольку формул Симпсон S я ля тся лин йной ком ин ци й (с суммой коэффици нто р ной 1) формул ср них и тр п - ций, то при р н ро л ния стр мящимся к нулю, он т к стр мится к инт р лу. Н тpу но ок ть схо имость иру их к р турных фоpмул.

Т п рь о р тимся к опросу о скоpости схо имости. Поскольку формулы тр п ций T и ср них M точны ля полиномо ст п ни н пр осхо ящ й 1 , то ст ст нно о и ть, что их по p шность сть O(h2), ля формулы Симпсон , им ющ й л р ич скую ст п нь точности р ную тр м, по р шность O(h4).

Р ссмотрим ситу цию т льно. Пусть xi = xi+xi 1 : Р ло им f(x) ря Т йлор окр стности точки x .

2

f(x) = f(xi) + (x xi)f0(xi) + 12 (x xi)2f00(xi)+

+	(x xi)3	f000	(xi) +	(x xi)4	f(4)	(xi) +	(x xi)5	f(5)	(xi) + O(hi6) :
	3!			24			120

Проинт риру м это р ло ни по пром утку [xi 1; xi]. З м тим, что при этом с чл ны Т йлоро ско о р ло ния с н ч тными ст п нями (x xi) проп ут и - симм трии р споло ния точки xi. Ò êèì î ð îì

	xi	hi3		hi5		hi7
	f(x)dx = hif(xi) +		f00(xi) +		f(4)(xi) +		f(6)(xi) + : : : :	(8)
		3!22		5!24		7!26
	xiZ1

50