[ Буслов, Яковлев ] Введение в численный анализ

Постро ни ис сопря нных н пр л ний и спуск по ним

Пусть r1 ïðîè îëüí ÿ òî÷ê è e1 прои ольный иничный ктор. Р ссмотрим прямую r = r1 + e1 и н й м оль этой прямой минимум функции '( ) = (r1 + e1). Бу м счит ть, что ук нный минимум ости тся к к р

òî÷ê r1, òî ñòü 0 = 1 = he1; Ar1 + b=2i. Ан ло ично, пусть н прямой r2 + e1 минимум ости тся точк r2 (0 = 2 = he1; Ar2 + b=2i). Ò êèì î ð îì

2 1 = he1; A(r2 r1)i = he1; (r2 r1)iA = 0 ;

и иничный ктор

e2

=

r2

r11

ок ы тся сопря нным к e1. Ан ло ично, пусть им тся

m сопря нных

2

кторо e1, e2; : : :, em

kr r kA

r1 + iei

r2 +

iei

и ух п р лл льных m-м рных сопря нных плоскостях

è

минимум ости тся точк х

r1

è

r2

ñîîò òñò ííî, òî êòîð

r2

r1

сопря н с м ктор м

ei m

i=1.

P

f g

P

Опиш м т п рь посл о т льность йст ий по постро нию ис сопря нных н пр л ний. Пусть

fdigiN=1

ст н ртный ис и мы построили

m сопря нных кторо , при этом ы роси и р ссмотр ния

m кторо

ст н ртно о ис , ск м, с ном р ми N m + 1,N m + 2, : : : ,N. Пусть

r0 ïðîè îëüí ÿ òî÷ê , ïðîè ì è

н спуск по сопря нным ктор м

feigim=1. Поп м при этом н которую точку

r1. И н прои м спуск по

ост шимся ктор м

f

d

N m

ст н ртно о ис и поп м точку

r2. Ò ï ðü è

r2

спустимся по сопря нным

gi=1

êòîð ì feigim=1. Поп м при этом н которую точку r3. Точки r1

è

r3

я ляются минимум ми функции (r),

ух п р лл льных ип рплоскостях, мых сопря нными н пр л ниями. Т ким о р ом

r3 r1

íî î

сопря нно н пр л ни . До им о к у постро нным и ы росим о ин и кторо

d

N m. Ôîðì ëüíî ñ ð íî

f

gi=1

к кой и них ы р сы ть, о н ко ля по ыш ния точности л т льно ы р сы ть тот, при спуск оль которо о функция (r) и м нил сь м ньш с о, сли случ йно он ок лся о ним и сопря нных. Д ло сь том, чтоэтом случ мы н т ря м точность проц сс орто он ли ции. З м тим, что и точки r3 н о хо имо спуститься

ëèøü îëü íî î î í ïð ë íèÿ	r3	r1 , поскольку по ру им сопря нным н пр л ниям спуск у прои н.
И получ нной при этом точки	r4	прои о ится спуск по ост шимся N m 1 ктор м ст н ртно о ис и

т. . Т ким о р ом сли ы н оши ки окру л ния, то ля к р тичной функции, прои я N 1 цикло мы ыточности поп ли минимум. О н ко им нно и - оши ок окру л ния это о н прои ой т и проц уру н о хо имо по торить н которо колич ст о р .

З м ч ни . Хотя поняти сопря нных н пр л ний ыло но только ля к р тичной функции, с м опис н- ный проц сс мо но прим нять к прои ольной функции (r), поскольку с м проц ур осно н лишь н поиск минимум оль то о или ино о н пр л ния.

81

82

Ãë 8

Äèôô p íöè ëüíû óp í íèÿ

8.1Î ùè ñ íèÿ

Óð í íè

F (x; u; u0; : : : ; u(n)) = 0

н ы тся о ыкно нным ифф р нци льным ур н ни м n- о поря к , сли F опр л н и н пр ры н н которой о л сти G 2 Rn+2 (n 1) и, о сяком случ , исит от u(n). Е о р ш ни м я ля тся лю я функция u(x), котор я этому ур н нию у о л т оря т при с х x опр л нном кон чном или скон чном инт р л . Дифф р нци льно ур н ни , р р ш нно относит льно ст рш й прои о ной им т и

	u(n) = f(x; u; : : : ; u(n 1)) :	(1)
Р ш ни м это о ур н ния н инт р л I = [a; b] н ы тся функция		u(x) , ò ê ÿ ÷òî
1) u(x) 2 Cn[a; b] ;
2) (x; u(x); : : : ; u(n)(x)) 2 D(f)	8x 2 I ,
3) u(n)(x) = f(x; u(x); : : : ; un 1	(x)) 8x 2 I :

8.1.1Ç ÷ Êîøè

З ч й Коши (н ч льной ч й) ля ур н ния (1) н ы тся ч н хо ния т ко о р ш ния ур н ния (1), которо у о л т оря т н ч льным усло иям

u(x0) = u0 ; u0(x0) = u00 ; : : : ; u(n 1)(x0) = u(0n 1) ;

u(0i) н которы нны числ . Спр ли

Ò îð ì Ï íî. Если f - н пр ры н D то ля лю ой точки x0; u0; : : : ; u(0n 1) прин л щ й о л сти D сущ ст у т р ш ни ур н ния (1), опр л нно н которой окр стности точки x0 2 I и у о л т оряющ усло ияю 3).

З м ч ни . Т ор м П но н р нтиру т инст нности.

Ò îð ì Êîøè-Ïèê ð . Если f н пр ры н D и у о л т оря т усло ию Липшиц по п р м нным u; u0; : : : ; u(n 1), òî ñòü

83

D, со р щ й точку (x0; u0).

			n
jf(x; 1; 2; : : : ; n) f(x; 1; 2; : : : ; n)j < L			X	j k	kj ;
			k=1
то ля лю ой точки (x0; u0; : : : ; u(n 1))	2	D сущ ст у т инст нно р ш ни (1), у о л т оряющ 3), опр л нно
0
н которой окр стности точки x0 2 I.
Лю о ур н ни тип (1) мо но с сти к р носильной му сист м
dui	= fi(x; u0; u1 : : : ; un 1) ; i = 0; 1; ; : : : ; n 1 ;
dx

ифф р нци льных ур н ний п р о о поря к пут м м ны ысших прои о ных н и стными функциями (ui(x) = u(i)(x)).

Т ор му Коши-Пик р н сло но ок ть осполь о шись т ор мой о н по и ной точк с им ющ о ото р -ния [5]. Д йст ит льно, ур н ни п р о о поря к

u0 = f(x; u; )

u(x0) = u0

эк и л нтно инт р льному ур н нию

x
u(x) = u0 +xZ0	f(t; u(t))dt :

Ïî óñëî èþ f í ïð ðû í è, ñë î ò ëüíî, jf(x; u)j M н которой о л сти D0 Âû ð ì Æ > 0 ò ê, ÷òî û:

1)(x; u) 2 D0, ñëè jx x0j Æ è ju u0j ÆM;

2)ЖL < 1, L конст нт , фи урирующ я усло ии Липшиц .

Пусть C0 простр нст о с х н пр ры ных функций u, опр л нных при jx x0j Æ è ò êèõ, ÷òî ju(x) u0j ÆM

с ст ст нной ля н пр ры ных функций м трикой (u1			; u2) = max u1			(x)		u2(x)	. К к мкнуто по простр нст о
				x	j			j
полно о простр нст C[x0 Æ;x0+Æ], простр нст о C0 я ля тся полным. У имся, что ото р ни y = Au, опр ля мо
формулой
			x
	y(x) = u0 +xZ0			f(t; u(t))dt ;
ÿ ëÿ òñÿ ñ òè ì C0. Д йст ит льно, пусть u 2 C0 è jx x0j Æ, òî
		x
jy(x)		xZ0			ÆM
		u0j =	f(t; u(t)dt
è, ñë î ò ëüíî A ï ð î èò C0 ñ ÿ. Ä ë ,
x
jy1(x) y2j xZ0	jf(t; u1(t) f(t; u2(t)jdt LÆjju1 u2jjC0 ;

èпоскольку ЖL < 1, то A с ти и, сл о т льно, C0 сущ ст у т инст нно р ш ни ур н ния u = Au. Ан ло-ично ок ы тся о но н чн я р р шимость чи Коши ля сист мы ур н ний п р о о поря к , , сл о т льно,

èля чи Коши прои ольно о поря к .

8.1.2Êð ÿ ÷

Сформулиру м кр ую чу только ля ур н ний торо о поря к , я ляющуюся о ной и с мых сущ ст нных. Т к я ч им т и :

84

				u00		= f(x; u; u0); x 2 [a; b];
				>
				8 1u(a) + 1u0(a) = 1;
				>
				< 2u(b) + 2u0(b) = 2;
êð ûõ óñëî èÿõ ñ÷èò òñÿ, ÷òî	j	i	j	+ i	j	= 0, i = 1; 2. В отличи от чи Коши сь н чит льно сло -
				:j		6

н иссл у тся опрос о сущ ст о нии р ш ния. Оч нь ный и н и ол ч сто стр ч ющийся случ й: лин йноифф р нци льно ур н ни торо о поря к

u00 + p(x)u0 + q(x)u = f(x) ;

кр ую чу ля которо о мы и у м р ссм три ть льн йш м.

8.1.3Ç ÷ òóðì -Ëèó èëëÿ

З ч турм -Лиу илля или ч н со ст нны функции и со ст нны н ч ния я ля тся о но р м нно и кр -ой ч й (с о норо ными кр ыми усло иями) и о ычно писы тся т к н ы мом с мосопря нном и :

dxd hk(x) dudx i + [q(x) r(x)] u(x) = 0 ;

1u(a) + 1u0(a) = 0 ; 2u(b) + 2u0(b) = 0 :

З сь тр у тся н йти т при которых ч р р шим (со ст нны н ч ния) и соот тст ующи им р ш ния u (x) | со ст нны функции, опр ля мы с точностью о постоянно о мно ит ля.

8.1.4Что поним тся по числ нным р ш ни м

Точны ( н литич ски ) м то ы р ш ния т ки м то ы, ко р ш ни ифф р нци льно о ур н ния мо но полу- чить и эл м нт рных функций или к р тур от них, что, ст ст нно, о мо но н с . Числ нны м то ы | м то ы н хо ния р ш ний н н с м пром утк и м н ния н исимой п р м нной, лишь искр тном н -ор точ к x0; x1; : : : ; xN 2 [a; b]. З сь, пр , сл у т отм тить, что мо но иск ть р ш ни и р ло ния ря по н которой полной сист м функций (ск м, ря Фурь ) и о р ть о н н котором чл н . О н ко, опрос о том, к кую сист му функций исполь о ть и к ко колич ст о чл но р ло ния исполь о ть, я ля тся о но р - м нно и числ нным и н литич ским. Числ нны м то ы прим нимы к оч нь широкому кл ссу ифф р нци льных ур н ний. В соот тст ии с умя тип ми ч ля ифф р нци льных ур н ний, числ нны м то ы то лятся н кл сс : Числ нны м то ы р ш ния чи Коши и числ нны м то ы р ш ния кр ой чи и читурм -Лиу илля.

8.2Ç ÷ Êîøè

Р ссмотрим чу Коши ля ур н ния п р о о поря к н отр к [a; b]

u0 = f(x; u) ; u(a) = u0 ;	(2)
Ð î ü¼ì ïðîì óòîê [a; b] í N ÷ ñò é a = x0 < x1; < : : : ; < xN . Î î í ÷èì	u(xi) = ui , u(x) точно р ш ни

÷è Êîøè è ÷ ð yi í ÷ íèÿ ïðè ëè ííî î ð ø íèÿ òî÷ê õ xi . Ñóù ñò ó ò òèï ÷èñë ííûõ ñõ ì :

1.	ÿ íû : yi = F (yi k; yi k+1; : : : ; yi 1)	( );
2.	í ÿ íû : yi = F(yi k; yi k+1; : : : ; yi)	( ).

85

З сь F н котор я функция, с я ы ющ я при ли ния. В я ных сх м х при ли нно н ч ни yi òî÷ê xi опр ля тся ч р н которо число k у опр л нных при ли нных н ч ний. В н я ных сх м х yi опр ля тся н р кур нтным о р ом к к я ных сх м х, ля о опр л ния о ник т ур н ни , поскольку р нст о ( ) пр ст ля т и с я им нно ур н ни н yi. ны сх мы прощ , о н ко ч стую н я ны сх мы пр почтит льн .

8.2.1Получ ни я ных сх м

О шиpный кл сс я ных сх м ля p ш ния чи Коши получ тся с помощью р ло ния ря Т йлоp . Выпиш мо ля функции u(x)

	u(x + h) = u(x) + hu0(x) + h2 u00	(x) + : : : + hn u(n)(x) + : : : :
	2	n!
	0	00	d		0	0
			dx f(x; u)
	Åñëè u(x) p ø íè ÷è (1) u (xi) = f(xi; ui) , è, ñë î ò ëüíî u (xi) =				xi = fx(xi; ui)+f(xi; ui)fu(xi; ui) .
				j
	Поступ я л т ким о р ом мо но ыр ить с прои о ны u(k)			ч р прои о ны и стной функции
	f(x; u) :
	ui+1 = ui + hf(xi; ui) + h2 [fx0 (xi; ui) + f(xi; ui)fu0		(xi; ui)] + : : : :			(3)
	2

О ры я (3) н том или ином чл н , получ м р личны я ны сх мы ля ычисл ния пpи ли нно о p ш ния с опp л нной ст п нью точности по h.

8.2.2Ñõ ì éë p (ì òî ëîì íûõ)

Ост ляя (3) только чл ны п p о о поpя к по h, получ м при ли нно р нст о: ui+1 ui + hf(xi; ui) : З м няян м точны н ч ния ui = u(xi) í ïðè ëè íèÿ yi, получ м пpи ли нную сх му:

( y0 = y0

; i = 0; 1; : : : ; N :

yi+1 = yi + hf(xi; yi)

Ук нн я проц ур и я ля тся м то ом йл p и им т п p ый поpя ок схо имости по h , сли f(x; u) о р нич н

и о р нич ны п р ы прои о ны по о оим р ум нт м. У имся этом. Пусть c = max f ;

0

0

. Î î í ÷èì

fx ; fu

jg

x;u fj

j j

j j

р ность м у истинным р ш ни м

uj

òî÷ê

xj è í é ííûì ïî ì òî ó éë ð ïðè ëè íè ì

yj

÷ ð vj ,

òî

vj+1 = vj + h [f(xj ; uj )

f(xj ; yj)] +

1

00

3

) ;

2 u (xj) + O(h

1

3

0

|

y

j{zj

j

}

f0

(x ;y0 )v

yj н котор я точк м у uj è

yj

. З м тим, что поскольку

y0 = u0 , òî

v0 = 0 . Òî

v1 =

h2u00

+ O(h ) , è

2

ë

v2 = v1(1 + hfu0 (x1; u01)) + 12 h2u001 + (h3) =

=

1

h

2

00

+ u00

0

; u1)

3

2

u1

1 + hfu(x1

+ O(h ) ;

.

.

.

j

j

vj+1 =

1 h2

X

uk00

Y

[1 + hfu0

(xi; ui)] + O(h3) =

2

k=0

i=k+1

86

1 h2

j

j

=

X

uk00

1 +

X

hfu0 (xi; ui)

+O(h3) :

2

k=0

i=k+1

|

{z

}

c(xj xk+1)

|

f

{z

g

}

exp

c(xj

xk+1)

Поскольку u

00

0

0

00

c + cc

c1 , è

= fx + ffu , òî

j

u

j

1

j

1

Z

xj

X

jvj+1j

c(x

x

)

c(x

t)

2 hc1

k=0

he

j k

=

2 hc1

x0

e

j

dt + o(h) =

= h c1 ec(xj

x0) + o(h) = O(h) :

2c

Т ким о р ом, м то йл р им т п р ый поря ок точности по h и при ост точно м лом ш при ли нно р ш нили ко к точному.

8.2.3Ì òî û Ðóí -Êóòò

Ì òî Ðóí -Êóòò 2- î ïîðÿ ê

Выпиш м ря Т йлор ля р ш ния ифф р нци льно о ур н ния u(x)							с точностью о к р тичных чл но
uj+1	= uj + hf(xj ; uj ) + h2	[fx0		(xj ; uj ) + f(xj; uj )fu0 (xj; uj )] + : : : :					(4)
	2
		|			{z		}
				u00(xj)

С м по с т к я сх м у о ится ля при ли нно о р ш ния ифф р нци льно о ур н ния, о н ко н у о - ст о состоит том, что прихо ится ифф р нциро ть функцию f(x; u) по о оим р ум нт м. Если м нить эти прои о ны р ностными, то форм льно мо но пис ть

uj+1 = uj + h[ f(xj ; uj ) + f(xj + h; uj + Æh)] + : : : ;

(5)

конст нты ; ; ; Ж н о хо имо опр лить исхо я и то о, что эти пр ст л ния ол ны со п ть с точ- ностью о O(h3) . Äëÿ ýòî î ð ëî èì (5) f(xj + h; uj + Æh) ðÿ Ò éëîð

uj+1 = uj + h( + )f(xj ; uj ) + h2[ fx0 (xj ; uj ) + Æfu0 (xj; uj )] + O(h3) ;

Ср ни я с (4), получ м 3 ур н ния н 4 н и стных коэффици нт : + = 1 , = 12 , Æ = 12 f(xj; uj) . Выр и их ч р и м ни истинны н ч ния uj = u(xj ) í ïðè ëè ííû yj и от роси ку ич ски чл ны получ м н ор р ностных сх м Рун -Кутт 2- о поря к

	h		h
yj+1 = yj + h[(1 )f(xj; yj ) + f(xj +		; yj +		f(xj; yj))] ; 0 < 1 :
	2		2
Î û÷íî ïîë þò ð íûì 1/2 èëè 1.

Ì òî Ðóí -Êóòò 4- î ïîðÿ ê

И ло нным ыш спосо ом мо но строить сх мы тип Рун -Кутт р лично о поря к точности по h . В ч стности, м то йл р я ля тся сх мой Рун -Кутт 1- о поря к . Н и ол у о ной и употр ит льной я ля тся сх м 4- о поря к . Он им т сл ующий и

yj+1 = yj + h6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) ;

k1 = f(xj ; yj) ; k2 = f (xj + h=2; yj + hk1=2) ;

k3 = f (xj + h=2; yj + hk2=2) ; k4 = f(xj + h; yj + hk3) :

87

Н к ом ш личины km р считы ются но о.

x

Инт р сно отм тить, что сли f сть функция только от x , то р ш ни ур н ния сть u(x) = u0 + R f(t)dt , è

x0

формулы Рун -Кутт пр р щ ются формулы при ли нно о инт риро ния. М то у йл р соот тст у т формул л ых прямоу ольнико , м то у Рун -Кутт 2- о поря к с = 1 соот тст у т формул ср них, с = 1=2формул тр п ций. Н кон ц, м то у Рун -Кутт 4- о поря к соот тст у т формул Симпсон с ш ом h=2 . то кос нно с и т льст у т о поря к точности той или иной сх мы.

Ест ст нным о р ом сх мы Рун -Кутт о о щ ются н случ й сист м ур н ний 1- о поря к при помощи фор- м льной м ны функций y(x) и f(x; y) н ктор-функции y(x) и f(x; y) . При этом, поскольку, ур н ни n- о поря к эк и л нтно сист м и n ур н ний 1- о поря к , то м то ы Рун -Кутт мо но прим нять к ч Кошиля ур н ний поря к ыш 1- о. В ч стности, р ссмотрим чу Коши ля ур н ния 2- о поря к

u00 = f(x; u; u0)

8u(x0) = u0

:

>

0

0

<

>

u

(x0) = u0

u

Î î í ÷èì u0 = v è ì êòîð u

= v

:

, то сист м приним т и

d

u

=

v

u = f(x; u)

8

dx

v f(x; u; v) :

u(x0) = u0

>

u(x0)

=

u0

<

0

yj

> v(x0) u0

:

Åñëè ñòè êòîð yj =

zj , при ли ний к истинному р ш нию uj òî÷ê xj , è êòîð

р сч тных коэффици нто , то м то Рун -Кутт 4- о поря к приним т и

yj+1

yj + h(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)=6

y(j+1)

= zj+1

= zj + h(q1 + 2q2 + 2q3 + q4)=6

k1 = zj ; k2 = zj

+ h q1

; k3 = zj + h q2 ; k4 = zj + hq3 ;

2

2

h

h

h

q1 = f(xj; yj; zj) ; q2 = f(xj + 2

; yj +

2 k1; zj +

2 q1) ;

q3

= f(xj + h

; yj + h k2; zj + h q2); q4 = f(xj + h; yj + hk3; zj + hq3) :

2

2

2

km

km = qm

8.2.4Ì òî û À ìñ

í ÿ ñõ ì À ìñ

Р ссмотр нны ыш сх мы я ляются я ными о нош о ыми ( ля н хо ния посл ующ о при ли ния исполь-у тся лишь о но пр и ущ ) сх м ми. При о имы ни м то ы я ляются мно ош о ыми. Они мо ут ыть к к я ными, т к и н я ными.

Пусть н ч Коши

u0 = f(x; u);u(a) = u0:

Для точно о р ш ния u(x) (которо н м н и стно) ыполн но

Z xn+1

u(xn+1) = u(xn) + f(x; u(x))dx : (6)

xn

Ïð ïîëî èì í ì è ñòíû ïðè ëè ííû í ÷ íèÿ yi функции u(x) k точк х xn k+1, xn k+2, : : : ; xn (ст рто ы k точ к, ч стности, мо но н йти м то ом йл р или м то ми Рун -Кутт то о или ино о поря к ), то функцию

88

f(x; u(x)) (6) ля при ли нно о ычисл ния инт р л мо но м нить н инт рполяционный полином Pn;k(x)

поря к k 1, постро нный по k точк м fxi; f(xi; yi)gn , инт р л от которо о счит тся я но и пр ст ля т со ой

n k+1

ëèí éíóþ êîì èí öèþ í ÷ íèé fi = f(xi; yi) с н которыми мно ит лями i. Т ким о р ом мы получ м сл ующую р кур нтную проц уру ычисл ния при ли нных н ч ний yi функции u(x) (я ляющ йся точным р ш ни м чи Коши) точк х xi

	xn+1	k
	xZn
		X
yn+1 = yn +	Pn;k(x)dx = yn +		if(xn+1 i; yn+1 i) :	(7)

i=1

Опис нн я сх м н ы тся k-ш о ой я ной формулой А мс .

Í ÿ í ÿ ñõ ì À ìñ . Ì òî ïðî íî -êîðð êöèè

Пусть Pn+1;k+1(x) инт рполяционный полином поря к k, постро нный по k + 1 н ч нию fn k+1; : : : ; fn; fn+1, о но и которых, им нно fn+1, мы у м счит ть н и стным. Мо ифициру м (7) м ни н м Pn;k н полином олысокой ст п ни Pn+1;k+1, инт р л от которо о ыр тся и лин йной ком ин ции н ч ний fi с н которыми но ыми коэффици нт ми i :

xn+1

yn+1 = yn + Z Pn+1;k+1 xn

	k
dx = yn +	X	ifn+1 i + 0f(xn+1	; yn+1) :	(8)

i=1

Формул (8) пр ст ля т со ой н я ную сх му А мс и я ля тся ур н ни м н yn+1, которо мо но р ш ть ск м м то ом посл о т льных при ли ний. Ест ст нно, что н ч льно при ли ни yn0+1 , ол но ыть р умно ы р - но. Для это о у о но о ъ инить я ную и н я ную сх мы А мс о ну, н ы мую м то ом "про но -корр кции". Им нно, с помощью я ной сх мы опр ля тся н ч льно при ли ни yn0+1 (про но ), т м по н я ной сх м оно н о хо имо число р (о ычно о ин или ) корр ктиру тся м то ом посл о т льных при ли ний о ости ния

нной точности (корр кция):

8		k
>	: yn0+1 = yn + ifn+1 i ;
		i=1
		k
	: ym+1	= yn +P	ifn+1		i + 0f(xn+1	; ym	) :
<	n+1					n+1
:

> iP=1

Ïðèì ð. Пусть k р но 1 и h = xn+1 xn. В этом случ "про но "пр ст ля т со ой инт риро ни по формул л ых прямоу ольнико , со п ющ нном случ с м то ом йл р , "корр кция инт риро ни по формул тр п ций:

( : yn0+1 = yn + hfn ;

: yn+1 = yn + h2 (fn + fn+1) :

Посл нюю формулу н о хо имо поним ть к к ур н ни н yn+1 (и, соот тст нно, н fn+1 = f(xn+1 ; yn+1)), которо р ш тся м то ом посл о т льных при ли ний.

8.3	Êð ÿ ÷
8.3.1	Ì òî ñòð ëü û
Р ссмотрим кр ую чу ля ур н ния торо о поря к
	>	y00(x) = f(x; y; y0) ; x 2 [a; b] ;
	8	1y(a) + 1y0(a) = 1 ;	(9)
	:	89
	><	2y(b) + 2y0(b) = 2 :

П р й м от этой чи к сист м ур н ний п р о о поря к . Пусть u(x) = y(x) и v(x) = y0(x) . Òî óð í íè

(9) ï ð õî èò

u0	= v;
v0	(10)
	= f(x; u; v);
кр ы усло ия приним ют и
1u(a) + 1v(a) = 1;

(100)

2u(b) + 2v(b) = 2:

Ò êèì î ð îì èñõî í ÿ êð ÿ ÷ ñ ë ñü ê ÷ 1- î ïîðÿ ê ëÿ ñèñò ìû óõ óð í íèé.

М то стр ль ы это п р хо к р ш нию н которой чи Коши ля сист мы (10). Вы р м прои ольно u(a) =. Т п рь опр лим v(a) и п р о о и усло ий (100).

v(a) = 1 1( 1 1 ) ( ) :

Д л , р ссмотрим т п рь сист му (10) с н ч льными усло иями

u(a) =

v(a) = ( ) :

Т к я ч я ля тся ч й Коши. Р шим н которым спосо ом (н прим р, м то ом Рун -Кутт 4- о поря к ). Р ш ни (u ; v ) н рняк н у т у о л т орять торому кр ому усло ию. О о н чим ч р о ник ющую н я ку:

2u(b) + 2v(b) 2 = ( ) :

З ч состоит отыск нии т ко о , при котором н я к о р щ тся ноль: ( ) = 0 , что соот тст у т у о л - т ор нию торо о кр о о усло ия. В рьиру м (стр ль ) пристр лочный п р м тр о т х пор, пок н о р у тсяилк : i : ( i) ( i+1) < 0 , òî ìî íî óò ð òü, ÷òî 2 [ i; i+1]. Посл то о, к к пром уток н котором н хо ится кор нь функции ( ) н й н, лим отр ок [ i; i+1] попол м и ы ир м ту о ч сть, н конц х которойим т р ны н ки, и т к л , о ости ния тр у мой точности.

Ç ì ÷ íè . ïðè ê îì û ð ííîì i н о хо имо р ш ть чу Коши ифф р нци льно о ур н ния (10) с н - ч льными нными

u(a) = i ; v(a) = ( i) :

8.3.2М то с ток (р ностный м то )

Р ссмотрим р ностный м то н прим р сл ующ о ифф р нци льно о ур н ния торо о поря к :

u00 + q(x)u = f(x)

[a; b];

(11)

u(a) = A ; u(b) = B ( ) :

Ð î ü ì ïðîì óòîê í N ÷ ñò é: a = x0 < x1 < : : : < xN

= b . Пусть ш с тки постоянный: xi xi 1 = h .

Аппроксимиру м торую прои о ную u00(xi) р ностной:

u00(xi) =

u(xi+1)

2u(xi) + u(xi

1)

u(4)(xi)h2

4

h2

12

+ O(h

) ;

ыр ни ля которой л ко получить и ря Т йлор

u0(xi)h +

u00

(xi)h2

u000

(xi)h3

u(4)(xi)h4

u(xi h) = u(xi)

2

6

+

24

+ : : : ;

90