§ 3. Неоднородные линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами
1. Решение неоднородных линейных рекуррентных соотношений. Последовательностьназываетсянеоднородной линейной рекуррентной последовательностью порядка,если существуют натуральное число, числа () и функциятакие, что
, (2.3.1)
При этом каждое из чисел может быть как действительным, так и комплексным. Рекуррентное соотношение (2.3.1) называетсянеоднородным линейным рекуррентным соотношением порядка k.
Рекуррентное соотношение
. (2.3.2)
называется однородным линейным рекуррентным соотношением, ассоциированным с соотношением (2.3.1).
Отыскание общего решения неоднородного линейного рекуррентного соотношения основано на теоремах.
Теорема 2.3.1. Сумма любого решения неоднородного линейного рекуррентного соотношения (2.3.1) и любого решения ассоциированного с ним однородного рекуррентного соотношения (2.3.2) есть решение неоднородного соотношения (2.3.1).
Доказательство. Пусть – решения неоднородного соотношения (2.3.1), а– решение ассоциированного с ним однородного соотношения (2.3.2). Тогда
,
.
Складывая эти равенства по частям, будем иметь
.
Из этого равенства следует, что функция является решением соотношения (2.3.1). ■
Теорема 2.3.2. Разность любых двух решений неоднородного линейного рекуррентного соотношения (2.3.1) есть решение ассоциированного с ним однородного рекуррентного соотношения (2.3.2).
Из этих теорем вытекает
Теорема 2.3.3. Общее решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения (2.3.1) есть сумма любого частного решения данного неоднородного соотношения и общего решения ассоциированного с ним однородного рекуррентного соотношения (2.3.2).
Иными словами, если – некоторое частное решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения (2.3.1), а– общее решение ассоциированного с ним однородного соотношения (2.3.2), то
– общее решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения (2.3.1). ■
Отыскание частных решений неоднородного линейного рекуррентного соотношения является в общем случае достаточно сложной задачей. Однако для некоторых видов свободного члена имеются специальные приемы. Познакомимся с некоторыми из них.
1º.Пусть. Возможны следующие случаи:
а) Число не является корнем характеристического уравнения . Подставляяв уравнение (2.3.1), получим
.
Отсюда , значит, искомое частное решение имеет вид
.
б) Число является простым корнем характеристического уравнения. Подстановкав уравнение (2.3.1) дает
.
Отсюда
. Из этого равенства, учитывая , получим
.
Следовательно, , поэтому
при .
в) Число являетсяr-кратным корнем характеристического уравнения . В этом случае частное решение находится аналогичным образом в виде.
2º. Пусть – многочленстепениот переменной. Возможны следующие случаи:
а) Число 1 не является корнем характеристического уравнения. Тогда . Частное решение находится в виде . Подстановка многочленов, …,в уравнение (2.3.1) дает
,
т.е.
,
Выполнив в левой части этого соотношения возведение в степень и приведение подобных членов, получим многочлен от степени, старший член которого . Значения …,, определяющие искомое частное решение, можно найти из соотношений, которые получаются при сравнении коэффициентов многочленов, стоящих в левой и правой частях последнего равенства.
б) Число 1 является корнем характеристического уравнения и поэтому . Частное решение аналогичным способом находится в виде , где– кратность корня.
3º. Если ,– частные решения линейных неоднородных рекуррентных соотношений
,
соответственно, то – частное решение рекуррентного соотношения
.
Задача 3.1. Найти общее решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения второго порядка:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Решение. Все заданные неоднородные рекуррентные соотношения имеют одно и тоже ассоциированное с ними однородное рекуррентное соотношение . Его характеристическое уравнениеилиобладает корнямии. Значит, общее решение ассоциированного соотношения
.
Для каждого из данных неоднородных соотношений найдем его частное решение и запишем общее решение.
а) Коэффициент , где 3 не является решением характеристического уравнения, поэтому частное решение находится в виде. Так как,, имеем. Отсюдаи. Таким образом, в качестве частного решения можно взять, тогда общее решение неоднородного соотношения имеет вид.
б) Характеристическое уравнение не имеет комплексных корней, поэтому будем искать частное решение в виде . Имеем
или
.
Используя формулы приведения, получим
или
.
Полученное равенство должно тождественно выполняться при всех . Приисоответственно имеем
,.
Откуда ,. Таким образом, общее решение неоднородного соотношения выглядит так
.
в) Поскольку 2 – корень характеристического уравнения, частное решение неоднородного соотношения можно представить в виде . Тогда
.
Отсюда , т.е..
Общее решение рассматриваемого неоднородного линейного рекуррентного соотношения можно записать так
.
г) Коэффициент является многочленомот, 1 не является корнем характеристического многочлена. Частное решение ищется в виде. Имеем
или
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим ,,. Общее решение неоднородного соотношения
.
д) Общее решение получаем из решений пунктов а) и в)
.
Задача 3.2. Найти общее решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения:
а) ;
б) .
Решение. Оба неоднородных рекуррентных соотношения имеют ассоциированное с ними однородное соотношение
.
Его характеристическое уравнение
или имеет два двукратных корняи. Поэтому общее решение этого однородного соотношения.
Найдем частные решения неоднородных соотношений.
а) Свободный член ; т.к. 2 – двукратный корень характеристического уравнения, искомое частное решение имеет вид. Подставляя эту функцию в рекуррентное соотношение, найдем соответствующее значение. Имеем:
.
Отсюда
,
и, значит, . Поэтому, и общее решение данного неоднородного рекуррентного соотношения запишется так
.
б) В этом соотношении свободный член – многочлен от, а число 1 является двукратным корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищется в виде. Подстановкав соотношение дает
или . Отсюда,. Общее решение данного неоднородного рекуррентного соотношения
.
2. Неоднородные рекуррентные соотношения и суммирование. Рассмотрим использование неоднородных линейных рекуррентных соотношений при вычислении конечных сумм.
Задача 3.3. Вычислить суммы:
а) ;
б) ;
в) .
Решение. Нетрудно заметить, что искомые суммы являются решениями неоднородных линейных рекуррентных соотношений(сравните с соотношением, полученным в задаче 1.1 этой главы),исоответственно, где. Ассоциированное с ними однородное рекуррентное соотношение имеет характеристическое уравнение; его корень. Поэтому его общее решение.
а) Частное решение неоднородного соотношения имеет вид . Подставляя его в рекуррентное соотношение, после преобразований получим:
.
Откуда ,,,. Таким образом, общее решение неоднородного соотношения –
.
Так как , тои искомая сумма.
б) Здесь частное решение , поэтому общее имеет вид.
в) Число 3 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищется в виде . Подставим его в рекуррентное соотношение:. Отсюда, и значит, общее решение неоднородного рекуррентного соотношения запишется так. Поскольку, тои. Искомая сумма. Этот же результат можно получить с помощью формулы для вычисления суммы членов геометрической прогрессии (первый член и знаменатель прогрессии равны 3).
Эта задача была опубликована в 1202 г. в сочинении «Liber Abacci» («Книга об абаке») знаменитого итальянского математика Леонардо Пизанского, больше известного по прозвищу Фибоначчи (сын Боначчи).
Термин «рекуррентность» ввел английский математик А.Муавр (1667-1754).
Следует иметь в виду, что в математической литературе часто возвратными последовательностями называют только последовательности, удовлетворяющие линейным рекуррентным соотношениям.