3.4. Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости

Определим, прежде всего, для статически неопределимых систем следующие виды симметрии:

1. Симметричная система с симметричной нагрузкой:

Здесь и сама система и приложенная к ней нагрузка зеркально симметричны относительно оси симметрии у.

1. Симметричная система с кососимметричной нагрузкой:

Здесь, в отличие от предыдущего случая, при зеркальной симметрии относительно оси у, направление приложенных сил получается противоположное.

2. Кососимметричная система с симметричной нагрузкой:

Здесь, при повороте одной половины системы относительно центра симметрии О на , она полностью совпадает со второй своей половиной. Направление сил при этом тоже совпадает.

3. Кососимметричная система с кососимметричной нагрузкой:

Здесь, в отличие от предыдущего случая, при повороте на половинки системы совпадают, но направление сил получается противоположное.

Для статически неопределимых систем, обладающих одним из перечисленных видов симметрии, процесс раскрытия статической неопределимости существенно упрощается, если рассматривать саму систему как внутренне статически неопределимую. Для этого необходимо образовать основную систему путем разрезания исходной системы по оси или по центру симметрии на две статически определимых системы.

Проследим применение алгоритма метода сил на примере симметричной системы с симметричной нагрузкой.

Исходная система:

Основная система:

Эквивалентная система:

При таком выборе основной системы в качестве «лишних» неизвестных выступают внутренние силовые факторы в проведенном сечении, причем, продольная сила Х₁и изгибающий моментХ₃– симметричные ВСФ, а поперечная силаХ₂– кососимметричный внутренний силовой фактор.

Построим вспомогательные эпюры: грузовую и единичные.

Грузовая эпюра М_F:

симметричная эпюра

Единичные эпюры M₁,М₂иМ₃:

симметричная эпюра

кососимметричная эпюра

симметричная эпюра

Эпюры M₁,М₃иМ_F, построенные от действия симметричных силовых факторов являютсясимметричными эпюрами, а эпюраМ₂, построенная от действия кососимметричного силового фактора, являетсякососимметричной эпюрой.

Очевидно, что коэффициенты СКУМС, полученные путем «перемножения» симметричной эпюры на кососимметричную, равны нулю, т.е. . Тогда система канонических уравнений метода сил примет следующий вид:

Эта система трех уравнений с тремя неизвестными распадается на две более простые подсистемы, решить которые существенно проще:

Таким образом, учет симметрии понижает степень статической неопределимости.

4. Расчет на прочность в условиях динамического нагружения (вынужденные колебания, удар).

Базовые знания

• Статический расчет конструкций на прочность при растяжении-сжатии, изгибе, кручении

Перечень основных изучаемых вопросов

1. Колебания

• Классификация механических колебаний по причинам, вызывающим колебания, по виду деформации. Число степеней свободы

• Колебания упругих систем с одной степенью свободы

• Свободные колебания систем с одной степенью свободы без учета сил сопротивления. Дифференциальное уравнение колебаний. Частота собственных колебаний. Податливость системы

• Свободные колебания с учетом сопротивления среды. Дифференциальное уравнение колебаний. Удельный коэффициент сопротивления. Логарифмический декремент затухания. Природа сил сопротивления

• Вынужденные периодические колебания с учетом сил сопротивления. Дифференциальное уравнение колебаний. Частота вынужденных колебаний. Амплитуда колебаний. Коэффициент нарастания колебаний. Расчет на прочность и жесткость

Удар

• Удар – вид динамического нагружения. Общий подход к расчету на прочность и жесткость при динамическом нагружении. Особенности ударного действия нагрузки. Виды удара

• Общий случай ударного воздействия нагрузки. Законы сохранения: импульса, кинетической энергии. Коэффициент динамичности в общем случае ударного воздействия

• Частные случаи удара. Коэффициенты динамичности для частных случаев удара

Источники информации для изучения Колебания Писаренко Г.С. Учебник Ицкович Г.М. Писаренко Г.С. Справочник Удар Александров А.В. Писаренко Г.С. Учебник Ицкович Г.М. Писаренко Г.С. Справочник

Глава 20, §§123-127 Глава ХVI, §§51-52 Глава 19, §§19.1-19.7 Глава 17, §§17.3-17.4 Глава 22, §§141-144 Глава ХVI, §§50 Глава 21