- •Сопротивление материалов
- •Расчет статически неопределимых систем методом сил.
- •2.1. Расчет на прочность элементов конструкций в общем случае нагружения.
- •Установочная лекция по теме: «Основы теории напряженно-деформированного состояния. Теории предельного состояния. Общий случай нагружения.»
- •Основы теории напряженно-деформированного состояния в точке
- •Понятие о напряженном состоянии в точке
- •Определение напряжений на произвольной площадке
- •Главные оси и главные напряжения
- •Классификация напряженных состояний в точке
- •Эллипсоид напряжений
- •Понятие о деформированном состоянии
- •Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния
- •Потенциальная энергия деформации для случая объемного напряженного состояния
- •Решение плоской задачи о.К. Мора Прямая задача Мора
- •Обратная задача Мора
- •Теории предельного состояния
- •Назначение теорий предельного состояния
- •Теории хрупкого разрушения
- •Вторая теория прочности – теория наибольших линейных деформаций (теория Мариотта).
- •Теории пластичности
- •Универсальная теория Мора
- •Общий случай нагружения
- •6. Запись условия прочности в наиболее опасной точке
- •Требования к знаниям и умениям по данному разделу
- •Алгоритм расчета на прочность в условиях сложного сопротивления
- •3. Расчет на прочность и жесткость статически неопределимых систем, работающих на изгиб.
- •Перечень основных изучаемых вопросов
- •Установочная лекция по теме: «Статически неопределимые системы. Метод сил. Приложение к трем простым видам деформации: растяжение-сжатие, изгиб, кручение»
- •3.1. Понятие статической неопределимости
- •3.2. Метод сил
- •Алгоритм метода сил
- •1. Образование основной системы.
- •2. Образование эквивалентной системы.
- •3. Запись условия эквивалентности.
- •4. Определение коэффициентов системы канонических уравнений метода сил.
- •5. Решение скумс относительно неизвестных.
- •6. Построение эпюр всф.
- •7. Деформационная проверка правильности раскрытия статической неопределимости.
- •3.3. Учет влияния температуры и неточности изготовления элементов
- •3.4. Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •4. Расчет на прочность в условиях динамического нагружения (вынужденные колебания, удар).
- •Перечень основных изучаемых вопросов
- •Установочная лекция по теме: «Колебания. Удар»
- •4.1. Основы теории колебаний
- •4.1.1. Классификация механических колебаний
- •4.1.2. Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы
- •4.1.3. Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления
- •4.1.4. Вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы
- •4.2. Удар
- •4.2.1. Теория удара Лепина
- •3.2.2. Частные случаи удара
- •4.2.3. Расчет на прочность и жесткость при ударе
- •Алгоритм расчета на прочность и жесткость при ударе
- •Требования к знаниям и умениям по данному разделу
- •5. Контрольная работа
- •Задача № 1Расчет на прочность при сложном сопротивлении
- •Расчетные схемы статически неопределимых рам к задаче № 2
- •Расчетные схемы балок к задаче № 3
Решение плоской задачи о.К. Мора Прямая задача Мора
Прямая задача Мора – это задача определения напряжений на произвольной площадке по известным главным напряжениям.
Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем грани этого объема являются главными площадками. Секущей площадкой, параллельной главному напряжению σ2, выделим из этого объема треугольную призму:
Для определения напряжений на произвольной секущей площадке, рассмотрим переднюю грань призмы
Запишем уравнения равновесия для системы сил, действующей на грани призмы.
Для оси, касательной к наклонной площадке :
.
Сокращая общие множители и умножая все слагаемые на , получим
,
. (2.2)
Для оси, нормальной к наклонной площадке :
,
откуда
.
Проведем следующие преобразования:
и получим:
. (2.3)
Возведем в квадрат каждую часть полученных выражений (2.2) и (2.3):
,
.
Суммируя попарно левые и правые части, получим:
.
Это уравнение в координатах является уравнением окружности с центром в точке,и радиусом:
Полученная окружность называется кругом напряженийиликругом Мора. Круг Мора пересекает ось абсцисс в точках с координатами1и3.
Определим координаты точки D:
, (2.4)
, (2.5)
что совпадает с полученными ранее формулами (2.2) и (2.3).
Таким образом, каждой площадке, наклоненной под углом к главным площадкам, на круге Мора соответствует определенная точка. Радиус этой точки составляет с осью абсцисс угол 2, а ее координаты определяют напряжения на площадкеи.
Задача.
В стержне с площадью поперечного сечения A=5х104 м2, растягиваемом силойF = 50 кН, определить нормальное и касательное напряжения, возникающие на площадке, наклоненной под угломк поперечному сечению стержня:
В точках поперечного сечения возникают только нормальные напряжения, то есть площадка элементарного объема в окрестностях точки, совпадающая с этим сечением, является главной:
,
остальные главные напряжения отсутствуют, т.е. это одноосное напряженное состояние.
Найдем напряжения на наклонной площадке.
Вектор полного напряжения p, действующий на этой площадке, можно разложить на две составляющие: нормальнуюи касательную, для определения величины которых воспользуемся кругом Мора.
Наносим в координатах точки, соответствующие главным напряжениями, и на этих точках, как на диаметре, строим круг Мора:
Откладывая от оси абсцисс против часовой стрелки двойной угол , получаем на круге точку, отображающую состояние на наклонной площадке. Координаты этой точки являются искомыми напряжениями и вычисляются по формулам (2.4) и (2.5):
,.
Обратная задача Мора
Обратная задача Мора состоит в определении главных напряжений по известным напряжениям на произвольной площадке. Рассмотрим её на конкретном примере.
Задача.
Определить главные напряжения в опасной точке стержня, подвергающегося совместному действию изгиба и кручения:
Построив эпюры внутренних силовых факторов, заключаем, что опасным сечением стержня является сечение заделки, в котором действует наибольший по величине изгибающий момент Mx.
Для нахождения опасной точки в опасном сечении рассмотрим распределение нормальных и касательных напряжений по опасному сечению:
В данном случае имеется две равноопасные точки – BиC, в которых действуют максимальные нормальные и касательные напряжения, одинаковые по величине, но разные по направлению. Рассмотрим напряженное состояние в точкеВ, выделив в её окрестности элементарный объем и расставив вектора напряженийина его гранях.
Величины напряжений иможно определить по формулам:
,
.
Рассмотрим выделенный куб со стороны грани, свободной от напряжений (сверху):
Обозначим две взаимно перпендикулярные площадки и. На площадкедействуют нормальноеи касательное напряжение. На площадкедействуют только касательное напряжение(согласно закону парности касательных напряжений).
Порядок построения круга Мора:
В системе координат нанести точки с координатами(,) и(,). При этом нормальное напряжение считается положительным, если оно вызывает растяжение, а касательное – если оно действует по часовой стрелке относительно центра элемента.
Соединить полученные точки DиDотрезком. Точка пересечения этого отрезка с осью абсциссOявляется центром круга Мора.
Построить окружность с центром в точке Oи радиусомOD. Координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс дают величины главных напряжений (в нашем случае, и).
Пересечение площадок (горизонталь) и(вертикаль) дает положение полюса площадок круга МораPпл(точка, в которой пересекаются все площадки).
Провести из полюса Pпллучи через точки (, 0) и (, 0). Эти лучи задают положение главных площадок.
Наносим положение главных площадок и направление главных напряжений на рассматриваемую площадку:
Радиус круга Мора
,
тогда главные напряжения
,
.