Рассмотрим отдельные частные случаи:

1. Движение в жидком ядре в отсутствие магнитного поля

Если движение масс вызвано лишь тепловым различием плотности, то (8) станет: . Это означает: давление в жидкости и тяжесть уравновешиваются силами Кориолиса. Анализ показывает, что здесь движения возможны лишь в плоскостях, перпендикулярных оси вращения Земли. В принципе, это вытекает и из соображений симметрии, но было проверено следующим опытом (опыт Р. Хайда).

Опыт состоит в следующем (см. рис. 134):

Рассматривается система из трех соосных сосудов.

В сосуде В налита вода с примесью замутняющего порошка (порошок позволит наблюдать вихри в сосуде).

В сосуде А – горячая вода. В сосуде С – лед.

С вращением этой системы наблюдалось сначала появление хаотично расположенных вихрей в сосуде В, а затем, с увеличением , все они «укладывались» в горизонтальные плоскости. В итоге, формировалась картина вихрей, подобная той, что приведена на рис 134,б.

(Необходимо, однако, заметить, что в условиях Земли роли Кориолисовых и эелктродинамических сил в выполаживании вихрей противоположны и, будучи равновеликими, эти силы, в итоге, не выводят вихри в экваториальную плоскость).

2. Движение в жидком ядре в присутствии магнитного поля В₀ . Ламинарное движение жидкости, перпендикулярное магнитному полю В₀.

А. Жидкость – идеальный проводник () и ее вязкость пренебрежима мала, так что: .

Уравнения (5) и (7) станут:

, (5”)

. (7”)

Тогда в качестве решений этой системы получаем:

, (9)

, (10)

т.е. плоские волны, распространяющиеся в направлении z (z  ), или – гидродинамическая и электромагнитная волны. Это – магнитогидродинамические волны (МГД-волны), или волны Альфвена (Альвена). Они, по существу, – поперечные: движение жидкости (базовое) происходит в направлении х, а движение волны – вдоль z. Необходимую для этого упругость жидкости (обязательную для существования именно поперечных волн) обеспечивают электромагнитные силы.

Уравнение силовой линии для электромагнитной волны при этом окажется¹:

,

т.е. силовая линия поля , будет совершать волнообразное движение с той же скоростью, что и v и b, но со сдвигом по фазе в 90^о. Получается, что силовые линии исходного поля В₀ целиком увлекаются потоком жидкости: перемещаются вместе с нею и совершают такие же колебательные движения. Получили случай вмороженных силовых линий; это означает, что силовые линии эл/м. поля как бы “механически” крепко связаны с данной абсолютно проводящей жидкостью.

Б. Проводимость  жидкости – конечная.

Это означает, что магнитной вязкостью теперь пренебрегать нельзя.

В принципе, решения уравнений гидромагнитной динамики здесь подобны тому, что имели в случае А. Имеем:

, где .

Опять должны существовать МГД-волны, но теперь они уже – затухающие. Очевидно, энергия тратится на выделение джоулева тепла.

В 1949 году С.Ландквист наблюдал волны Альфвена в сосуде со ртутью, помещенном в сильное магнитное (до 10 000 Э) поле.

Вращение проводящей сферы (шара) в постоянном магнитном поле (Ян., 315)

Теория Э.Булларда, объясняющая геомагнитное поле эффектом самовозбуждения, по существу выводит поле решением уравнений магнитной гидродинамики для конкретного случая вращения жидкого проводящего шара радиусом d, в постоянном магнитном поле.

Скорость вращения элемента жидкости:, где  = сonst – угловая скорость вращения шара, – расстояние элемента от оси вращения.

Задав таким образом способ вращения (движения) жидкости, для пары {(5) + (7)} уравнений магнитной гидродинамики можем оставить только полевую часть ():

(здесь В – вектор). (1)

Чтобы решить его, сведем его к линейному. Для этого введем сферическую систему координат. Тогда для v имеем лишь одну координату:

, и для произведения – две:

.

Подставляем все это в (1), преобразуем, получаем:

.

Решение уравнения ищем методом Фурье: полагая В периодической функцией долготы  и принимая, что затухание процесса во времени подчиняется “формуле”: B exp(-pt) [ если р – комплексное, то то процесс – колебательный], – запишем для В:

(m – целое число). (2)

Подставляя (2) в (1), получим:. Обозначив: , имеем:.

Чтобы решить его, придется представить вектор В1 как сумму двух векторов B_T и B_S: B₁ = B_T + B_S. При этом B_T направлен перпендикулярно вектору r, т.е. всюду идет по касательной к сфере радиуса r. Вектор B_S перпендикулярен к B_T. Вектор B_T назван тороидальным вектором. Вектор B_S – полоидальным вектором. Анализ показывает, что эти вектора взаимосвязаны:. Практически оказалось, чтоB_T это – поле, “лежащее” на поверхности сферы радиуса r.

B_S – поля, лежащие в главных сечениях шара.

Анализ решения дает многообразные варианты распределения полей B_T и B_S для проводящего шара (рис.136 и137 на с.318-319 в кн.Яновского).