- •© Российский государственный
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Ответы:
- •Вариант 2
- •1.Аналитическая геометрия на плоскости: простейшие задачи аналитической геометрии
- •2. Определители. Базис в пространстве.
- •3. Линейные операции над векторами,
- •4.Аналитическая геометрия в пространстве:
- •Поверхности второго порядка
- •Векторы и собственные значения
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Произведения векторов
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Вариант 5
- •Векторное и смешанное произведения векторов
- •Поверхности второго порядка
- •58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преоразования, заданного в некотором базисе матрицей . Ответы:
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
- •Линии второго порядка на плоскости
- •Скалярное, векторное и смешанное
- •Поверхности второго порядка
- •Ответы:
Векторное и смешанное произведения векторов
16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(2,-3,-6).
17. Два вектора =(2,-1,2) и=(–2,3,6) приложены к одной точке. Найти координаты:
а) ортов ивекторови;
б) вектора +;
в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что.
18. Найти проекцию вектора =(5;3;-1) на направление вектора .
19. Найти проекцию вектора =(2,–3,-5) на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.
20. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что .Найти величену угла между векторамиииспользуя последовательность действий:
а) ввести декартову прямоугольную систему координат ХОУ с началом в точке О так, чтобы ось Ох была направлена по диагонали АС (построение четырехугольника нужно начинать с построения диагоналей АС и ВD, причем диагональ АС удобнее расположить горизонтально);
б) найти в этой системе координаты точек А,В,С,D;
в) найти координаты векторов и;
г) найти по формуле
д) подсчитать искомый угол по формуле
21. Найти координаты вектора , еслигде.
22. Дано Найтии
23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину, если=(2,-1,3),(i-3k).
24. Даны вершины треугольника А(2,3,1), В(1,1,-2) и С(2,0,-2). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.
25. Вычислить если.
26. Вектор ортогонален векторам=(2,2,-2) и=(-1,3,-1) и составляет с осьюОу тупой угол. Найти координаты вектора , еслии
27. Вычислить смешанное произведение векторов
28.Установить, компланарны ли векторы
29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А(10,6,6), В(-2,8,2), С(6,8,9), D(7,10,3).
30. Вектор перпендикулярен к векторами. Вычислить, если ,,,,а тройка векторов – правая.
Аналитическая геометрия в пространстве:
плоскость и прямая в пространстве;
Поверхности второго порядка
31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости.
32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую.
33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости.
34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно двум плоскостям:и.
35. Найти расстояние от точкидо плоскости.
36. На оси Оу найти координаты точек, отстоящих от плоскости на расстоянииd=2.
37. Даны вершины треугольника А(1-2,-2), В(3,-1,0), С(-3,2,2). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.
38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой,,.
39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.
40. Найти проекцию точки Р(4,1,5) на прямую х=3t+2; у=5t-5; z=2t+4.
41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(4,6,-1) относительно плоскости .
42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2,5,-2) относительно плоскости .
43. Вычислить расстояние точкиР(3,1,0) от прямой .
44. Составить уравнение прямой l, которая проходит через точку М0 (1,4,-1) перпендикулярно вектору и пересекает прямую l1: используя последовательность действий:
а) составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М0 с нормальным вектором ;
б) найти координаты точки М1 пересечение прямой l1 с плоскостью П (см. задачу 39);
в) составить кононические уравнения прямой, проходящей через точки М0 и М1.
45. Даны координаты вершины пирамиды А1(2,2,4), А2(4,2,2), А3(3,3,4), А4(5,1,3). Найти:
угол между ребрами А1А2 и А1А4;
угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
уравнение прямой А1А2;
уравнение плоскости А1А2А3;
уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:
а) ,
б) х=0, у=0, z=0, ,x+y=1
Элементы линейной алгебры: метод гаусса.
решения системы линейных уравнений;
формулы крамера; матрицы; мАтричные уравнения; линейное векторное пространство;
линейная зависимость (независимость)
системы векторов; линейные операторы;
собственные векторы и собственные
значения линейного оператора
47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .
49. Найти матрицу , где
А=, В=, С=.
50. Найти ранг матриц:
а) ; б).
51. Дана система линейных уравнений
Доказать ее совместность и решить тремя способами:
а) методом Гаусса;
б) средствами матричного исчисления;
в) по формулам Крамера.
52. Является ли вещественным линейным пространствоми:
а) множество всех векторов из арифметичекого пространства R4 вида (а;0;0;в)?
б) множество всех векторов из арифметического пространства R4 вида (а;1;1;в)?
53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(2, 1,),=(1, 2, 3),=(2, 1, 3),=(3, 5, 8).
54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой?=(1, 2, -1, -1),=(2, 1, 2, 1),=(1, –1, 2, 0).
55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R3, матрицы которых относительно некоторого прямоугольника имеют вид:
а) ; б).
56. Является ли оператор гделинейным? Если да, найт его матрицу в базисе (
57. Линейный оператор на плоскостиXOY зеркально отрожает все векторы относительно оси ОХ, а линейный оператор проецирует все векторы плоскости на прямую у=. Найти матрицы операторовив базисе (.