Лекция 7

Основные характеристики СМО. Пуассоновский поток заявок, экспоненциальное время обслуживания.

Рассмотрим теперь величину при. Если эта величина стремится к нулю придля всехi,jтаких, чтоили, то СМО называетсяординарной. По смыслу это означает, что в ординарную СМО за короткий промежуток времени не может поступить более одной заявки и из ординарной СМО за короткий промежуток времени не может выйти более одной заявки.

Мы будем в дальнейшем рассматривать только стационарные ординарные СМО без последействия.

Заметим следующее обстоятельство. Пусть - вероятность того, что СМО попадает в течение времениtв состояниеE_jи- вероятность того, что в некоторый начальный момент времени СМО была в состоянииE_j. Если обозначитьи, то, согласно формуле полной вероятности и правилу умножения матриц, окажется выполненным равенство:

.

Промежуток времени между последовательно поступающими заявками в СМО есть величина случайная. Если функция распределения этой случайной величины имеет вид

при некотором , то поток заявок называетсяпуассоновским.

Время, в течение которого очередная заявка в СМО находится на обслуживании, также является величиной случайной. Если функция распределения этой случайной величины имеет вид

при некотором , то время обслуживания называетсяэкспоненциальным.

Прежде, чем анализировать особенности СМО с пуассоновским потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания, приведем некоторые стандартные конструкции.

Положим и введем матрицу. Числоназываетсяинтенсивностьюперехода СМО из состоянияв состояние. Когда, число () называютинтенсивностью выхода СМО из состояния. Полезно заметить, учитывая, что при, а при, справедливы неравенства:

при ,а при .

Матрица называетсяматрицей интенсивностейСМО.

Можно доказать, что вероятности , введенные в этой лекции,удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений

(7.1)

при начальных условиях(здесь).

Из ординарности СМО следует, что в ее матрице интенсивностей отличными от нуля могут быть элементы только на главной диагонали и на двух ближайших к ней и параллельных ей линиях:

.

Это обстоятельство делает систему уравнений (7.1) более конкретной. В частном случае, например, при пуассоновском потоке входных заявок (можно проверить, что в этом случае СМО будет стационарной, ординарной и без последействия) и полном отсутствии обслуживания (это значит, что заявки только поступают в СМО, но не покидают СМО) матрица Aпринимает вид

,

после чего система (7.1) решается рекуррентно стандартными средствами. В результате получается ответ:

.

Это означает, что в СМО с пуассоновским потоком заявок и любым режимом обслуживания вероятность поступления k заявок

за время t равна .

Лекция 8

Особенности пуассоновского потока заявок и экспоненциального времени об-служивания. СМО типа (m,n).

Из сказанного в предыдущей лекции следует, что в случае пуассоновского потока заявок имеется полное описание ряда случайной величины, которую представляет собой число заявок, поступивших за время t. Это позволяет подсчитать ее математическое ожидание . Соответствующий ответ выглядит так:. Это значит, что. Следовательно, смысл пуассоновского параметра в том, что это - среднее число заявок, поступающих в единицу времени.

Можно провести аналогичные рассуждения в связи с экспоненциальным временем обслуживания. А именно, если

-

функция распределения времени обслуживания (при неотрицательных значениях t, а при отрицательных - она равна нулю), то математическое ожидание времени обслуживания есть число

.

Стандартное интегрирование по частям дает ответ - число . Следовательно, среднее время обслуживания одной заявки равно(при экспоненциальном обслуживании); поэтому в единицу времени (при экспоненциальном обслуживании) в среднем обслуживаетсязаявок.

Рассмотрим теперь следующую модель СМО. Предположим, что ее узел обслуживания имеет n одинаковых устройств и очередная приходящая заявка попадает на любое из этих устройств для обслуживания. Если оказывается, что все устройства заняты, то заявка становится в очередь и ожидает, когда какое-либо устройство освободится. Предположим, что число мест в очереди равно m. Наконец, будем предполагать, что входной по-

ток заявок - пуассоновский с параметром , а время обслуживания - экспоненциальное с параметром. Такие СМО называются СМО типа (m, n).

Граф состояний такой СМО выглядит очень просто:

,

причем около ребер-стрелок в данном случае указаны лишь интенсивности перехода из состояния в состояние.