Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy

	1						0				0			1		0			0				α					3 2
		0					3 2 1 2 0 1 0																	2
																							−α3 1 2
		0				−1 2					3 2 0 0 1
				1					0		0				1				0				0
				0 3 4							3 4 0								3 2				0					(α2 +α3 )
				0 1 4							− 3 4 0								0
																						−1 2
				1					0		0				1				0				0								1
				0 1							0 0								3 2 −1 2														α2
																												α3 −			4
				0 1 4 − 3 4 0															0			−1 2
				1			0				0			1			0						0
				0 1							0 0						3 2 −1 2
				0 0 −							3 4 0 − 3 8 −3 8
												1			0		0		1			0						0
				−		4				α3		0 1 0							0		3 2 −1 2 ,
							3					0			0		1		0		1 2							3 2
									1		0					0
	D−1 = 0										3 2 −1 2 .
									0		1 2				3 2
	−1 2 0										0 1 0 0											−2α
			0 1 2 0 0 1 0																						1
																						2α2
			0							0 1 2 0 0 1												2α3						,
			1				0			0	−2		0		0
				0			1			0 0			2		0
				0			0			1	0		0		2
							−2				0	0
	C		−1		=					0	2	0		.
										0	0	2
	Тогда										1					0					0
																											−2 0 0
	X = D							−1 −1				0				3 2					−1 2						0 2 0							=
								C			=
												0 1 2									3 2						0 0 2
																																.
			−2							0	0
	=				0					3	−1
					0					1	3

41

																								1		−1		1
	Найдите ранг матрицы A =																								2	− 2		2 .
																									1	1
																												−1
	РЕШЕНИЕ: есть миноры первого порядка, отлич-
	ные от нуля, например, M1 =1; есть миноры второ-
31	го порядка, отличные от нуля, например,																														2
	M2	=			2	−2					= 2 + 2 = 4 ≠ 0 ; единственный минор тре-
					1		1
	тьего порядка – определитель матрицы равен ну-
	лю,			M3 =						1		−1						1			= 0 . Ранг матрицы r( A) = 2 .
										2		−2						2
										1		−1						−1
																										2		3	5	−3
	Вычислите ранг матрицы																								Α = 3			4	3	−1 мето-
																												6	−1
																										5				3
	дом элементарных преобразований.
	РЕШЕНИЕ:
		2 3 5 −3																					2 1 5 −3
	Α =			3 4 3								−1				~ (β			2	− β )				3 1 3			−1 ~
																					1
				5 6			−1 3																	5 1		−1 3
			β1 β2							β3		β4
																1			2			5		−3 α
					~ (		β				↔ β		2		)	1 3 3 −1										α1 ~
							1																			2
																			5		−1			3		α3
																1
						α2 −α1									1			2			5			−3
					~												0 1				−2 2					~
32							α	3			−α																				2
												1					0	3			−6			6
						1					2			5				−3			α
					~		0 1						−2 2									1
																					α2 ~ (α3 −α2 )~
							0				1		−2					2			α3
						1					2			5				−3				1		2		5	−3
					~		0 1						−2 2								~
																								1		−2	2		~
							0				0			0				0				0
																							β1		β2 β3		β4
	β				−2β																						1 0 0 0 ~
	~	β2			−5β1						1 0 0 0											~	β3 + 2β2
			3				1																		−2β2
		β	4		+3β						0 1 −2 2												β4					0 1 0 0
							1
	1			0		, rang A = 2.
	0			1

42

														1				1					1					1		1
														3				−3					6				−6			9
Вычислите ранг матрицы 1																		1					4					4		9 .
														1				−1					8				−8			27
РЕШЕНИЕ:
	1			1	1		1	1
	3		−3		6		−6	9
	1 1 4 4							9			→ {α2 −3α1 →α2 }→
	1		−1		8		−8	27
		1		1		1	1	1
			0	−6 3			−9 6
												α			2			→α2
→			1 1 4 4					9				→											→
														3
			1	−1		8	−8	27
		1		1		1	1	1
			0	− 2		1	−3	2
												→ {α														}→
→			1	1		4	4	9						3			−α			1		→α		3
			1	−1		8	−8	27
33			1	1		1	1	1																							4
			0	− 2		1	−3	2
												→ {α																	}
→			0	0		3	3	8								4		−α				1	→α					4		→
			1	−1		8	−8	27
		1		1		1	1	1
			0	− 2		1	−3	2
											→ {α					−α						→α					}
→			0	0		3	3	8					4						2						4				→
			0	− 2		7	−9	26
		1		1		1	1	1
			0	−2		1	−3	2
											→ {α				− 2α							→α					}
→			0	0		3	3	8					4								3				4				→
			0	0		6	−6
								24
		1		1		1	1	1
			0	−2		1	−3	2
			0	0		3	3	8
→									.
			0	0		0	−12	8

В левом верхнем углу матрицы стоит определитель треугольного вида, который равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали 72 ≠ 0 , значит, ранг матрицы равен четырем.

43

										4.4. Системы линейных уравнений
№	Задание																																	Ответ
п/п
	Решите систему линейных уравнений матричным
	методом 2x +11y = −2,
							x −2 y = −1.
	РЕШЕНИЕ:
			2 11														x1															−2
								,					X							,														,
	A =														=															B =
			1	−2													x2															−1
													11 1										1		11			1				0
					2			11 1		0		1						0								2				2
														2			2
	(A	E) =								→									→
																																→		−1
34
																									15				1
				1				−2 0 1				1	−2		0									0				−
																		1							−							1
																											2				2				0
				11			1			0					2				11
		1							2			1 0				15					15
					2
	→										→													.
							1 −2												−		2
		0 1										0 1 1
								15								15
										15												15
				2					11
	−1					15						1	2 11								1
									15
											=												A .
	A =																	=
									−2			15
				1									1		−2 15
						15
										15

X= A−1 B = −1

0

3x +5 y = 5,

Решите систему 6x +10 y = 7. РЕШЕНИЕ:

35	(A		3	5		5		,				3	5		= 0 ,	∆1		5	5		≠ 0	несовместна
		B)=	6	10		7			∆ =			6	10				=	7	10
	rang (A)=1 ,							rang (A			B)= 2 ,
	по теореме Кронекера–Капелли система несовме-
	стна.
	Решите			систему									линейных				уравнений
	x + 2 y			+ 4z			= 31,
							= 29,															3
	5x + y + 2z
36
	3x − y + z =10																					4
																						5
	и ответьте на вопросы об этой системе.
	РЕШЕНИЕ:

44

∆ =	1				2	4		= −27 ≠ 0 , ∆x =							31		2			4				= −81,
	5 1 2														29 1 2
	3			−1		1									10		−1			1
∆y =			1		31		4			= −108 ,	∆z =			1			2		31				= −135.
			5		29		2							5			1		29
			3		10		1							3			−1		10
По формулам Крамера											x =	∆x				,	y =	∆y			,			z =	∆z	и
												∆							∆						∆
	x					3
						4
X = y					=		.
						5
	z

Данная система линейных уравнений:

1)однородна - нет;

2)неоднородна - да;

3)основная матрица системы имеет ранг, равный единице, - нет;

4)основная матрица системы имеет ранг, равный двум, - нет;

5)основная матрица системы имеет ранг, равный трем, - да;

6)основная матрица системы имеет ранг больше трех - нет;

7)ранг основной матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы - нет;

8)ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы - да;

9)система несовместна - нет;

10)система совместна - да;

11)может быть решена методом Крамера - да;

12)может быть решена методом Гаусса - да;

13)имеет базисный минор первого порядка - нет;

14)имеет базисный минор второго порядка - нет;

15)имеет базисный минор третьего порядка - да;

16)имеет базисный минор более третьего порядка - нет;

17)имеет одно базисное неизвестное - нет;

18)имеет два базисных неизвестных - нет;

19)имеет более двух базисных неизвестных - да;

20)не имеет свободных неизвестных - да;

21)имеет одно свободное неизвестное - нет;

22)имеет более двух свободных неизвестных -

нет;

45

23)решений не имеет - нет;

24)имеет единственное решение - да;

Решите систему линейных уравнений

x2 −3x3 + 4x4 = −5,x1 −2x3 +3x4 = −4,

3x1 +2x2 −5x4 =12,

4x1 +3x2 −5x3 = 5.

РЕШЕНИЕ:
Запишем расширенную матрицу системы
										0			1				−3		4				−5
										1			0				− 2		3				− 4
										3			2				0		−5				12
																										.
										4			3				−5		0				5
Если		∆ ≠ 0 ,								то неизвестные можно найти по
формулам Крамера:
x =		∆1	,				x		=	∆2			,		x		=	∆3	,	x			= ∆4
1		∆						2			∆					3		∆			4				∆ .
Вычислим основной																		определитель матрицы														1
системы						∆			разложением										по				элементам первой
37 строки:																															X =	2
	0	1			−3				4																							1
																			0	−2						3
	1	0		−2					3
∆ =											= 0 (−1)1+1								2 0 −5								+					−1
	3 2 0 −5
	4	3			−5				0										3	−5						0
+1 (−1)1+2					1				−2	3				+(−3) (−1)1+3											1	0		3
						3 0 −5																			3 2 −5					+
						4			−5	0															4	3		0
+4 (−1)1+4							1		0		−2		=
							3 2 0
							4		3		−5

= 0 0 +(−1) (−30)−3 18 − 4 (−12) = 24.

Чтобы получить определитель ∆1 , заменим в ∆ первый столбец столбцом свободных членов

		−5	1	−3	4		разложим
		−4	0	−2	3
∆1							определитель
	=	12	2	0	−5		=		=
							по элементам
		5	3	−5	0
							второго столбца

46

	=1 (−1)1+2												−4			−2		3					+0 (−1)2+2													−5			−3	4
													12 0 −5																							12 0 −5						+
													5			−5		0																		5			−5	0
	+ 2 (−1)3+2														−5		−3				4				+3 (−1)4+2													−5	−3				4
															−4 −2 3																							−4 −2 3							=
															5		−5				0																	12	0			−5
	= −1 (−30) +0 +(−2) 0 +3 (−2) = 24.
	Аналогично вычисляем ∆2 , ∆3 и ∆4 :
					0					−5					−3			4
	∆2 =							1 −4 −2 3														= 48						,
					3					12				0			−5
					4					5					−5			0
							0			1					−5		4
	∆3 =						1			0					−4		3				= 24
							3			2				12			−5										,
							4			3				5			0
								0		1					−3		−5
	∆4 =							1 0 −2 −4													= −24							.
								3		2				0			12
								4		3					−5		5
	Отсюда														x =		∆1	=				24					=1			,	x		=			∆2 = 48 = 2							,
														1			∆					24										2				∆			24
																																											1
	x3	=							∆	3	=			24		=	1 ,	x4				=					∆4		=		−24					= −1						2
																																							, X =				.
									∆					24													∆				24
																																											1
																																									−1

47

Решите систему линейных уравнений:

x1 + 2x2 −2x3 + x4 − x5 =1,

−2x1 −4x2 + 4x3 −2x4 + 2x5 = −2,− x1 −2x2 + 2x3 − x4 + x5 = −1.

РЕШЕНИЕ:

Запишем расширенную матрицу системы (A B)

	1				2	−2		1	−1					1
=		−2 −4 4 −2 2												−2				→		α	+2α	1	→	α	2		}	→
																			{ 2
		−1			−2 2 −1 1									−1
				1	2		−2	1				−1						1
→				0	0		0	0				0						0		→{α3 +α1				→α3 }→
				−1	−2 2 −1 1											−1
		1			2 −2		1	−1			1
→																	(1 2 −2 1 −1										1).
			0 0 0 0 0								0	→
			0		0	0	0	0			0

Ранг основной матрицы системы равен единице и совпадает с рангом расширенной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера – Ка- 38 пелли система линейных уравнений совместна.

Она равносильна уравнению:

x1 +2x2 −2x3 + x4 − x5 =1.

В качестве базисного неизвестного выберем x1 , остальные неизвестные считаем свободными. При

x2 = c1 , x3 = c2 , x4				= c3 , x5			= c4				выразим базисное
неизвестное через эти параметры:
x1 = −2c1 + 2c2 −c3 +c4 +1 .
Итак,
x1 = −2c1 + 2c2 − c3 + c4 +1,
x	2	= c		,
		1
		= c2 ,
x3
x	4	= c		,
			3
		= c4 ,
x5
−2					2				−1				1				1
	1				0				0				0				0
	0				1				0		+ c4		0		+		0
X = c1		+ c2				+ c3												.
0					0				1				0				0
	0				0				0				1				0

		1					−2
		0					1
X =				+ c
		0					0		+
		0		1			0
		0					0
		2					−1
		0					0
+c2		1		+ c3			0		+
		0					1
		0					0
		1
		0
+c
		0
4		0
		1

48

Решите систему линейных уравнений

	x	+ 2x	2	+ 3x	3			+ 4x	4			+	4x	5			+ 4x	6			=18,
	1
		2x2 + 3x3 + 4x4 +											4x5 + 4x6 =18,
				3x3 + 4x4 + 4x5 + 4x6 =18,
2x		+ 4x	2	+ 6x			3	+ 8x		4		+	8x		5		+ 8x		6			= 36,
	1
3x		+6x	2	+ 9x		3		+12x			4	+12x				5	+12x				6	= 54,
	1	+8x		+12x				+16x				+16x					+16x					= 72.
4x			2			3				4					5					6
	1

РЕШЕНИЕ:

Запишем расширенную матрицу системы

				1	2	3			4	4	4			18
				0	2	3			4	4	4			18
(A		B )=		0	0	3			4	4	4		18			→
				2	4	6			8	8	8			36
				3	6	9			12	12	12			54
39				4	8	12 16 16 16							72
		→{α4 −2α1 →α4}→
			1	2		3	4		4	4		18
			0	2		3	4		4	4		18
			0 0 3 4					4 4				18		→
		→
			0	0		0	0		0	0		0
			3	6		9	12		12	12		54
			4	8		12	16		16	16		72

→α5 −3α1 →α5 →α6 −4α1 →α6

1		2	3	4	4	4		18
	0	2	3	4	4	4		18
											1	2	3	4	4	4		18
	0 0 3 4 4 4							18			0	2	3	4	4	4		18
→										→									.
0 0 0				0 0 0				0			0	0	3	4	4	4		18
	0	0	0	0	0	0		0
	0	0	0	0	0	0		0

В левом верхнем углу матрицы стоит треуголь-

	0							0
								0
		0
									4
		6						−
													+
									3
	X =				+ c1
		0						1
		0						0
		0
								0
			0									0
			0									0
				4									4
	−						+ c3				−
				3									3
	+c2
			0									0
			1									0
			0									1

49

1 2 3

ный определитель z 0 2 3 = 6 ≠ 0 , его можно

0 0 3

считать базисным минором. Ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен трем и равен рангу ее расширенной матрицы, следовательно, система совместна по теореме Кронекера– Капелли. Для удобства продолжим преобразования матрицы и приведем базисный минор не только к треугольному, но и к диагональному виду. С

α −α →α

помощью преобразований 1 2 1 получим:

α2 −α3 →α2

	1	0	0	0	0	0		0
	0	2	0	0	0	0		0
										.
	0	0	3	4	4	4		18

Восстановим по полученной матрице решение системы уравнений:

x1 = 0,2x2 = 0,

3x3 + 4x4 + 4x5 + 4x6 =18.

Базисный минор содержит базисные неизвестные x1, x2 , x3 . Свободными являются неизвестные

x4 , x5 , x6 . Придадим свободным неизвестным значения x4 = c1 , x5 = c2 , x6 = c3 и перенесем их в правую часть уравнений:

	x	1	= 0,
	2x2 = 0,
	3x3 = −4c1 − 4c
	x	4	= c		,
				1
	x5 = c2 ,
			= c
	x	6		3
						0
						0
						−	4
	X = c						3		+
			1			1
						0
						0

2 −

c2

								x			= 0,
									1
								x2 = 0,
4c			+	18,									4 c				4 c			4
		3						x			= −					−			−		c		+ 6,
																				3
						↔				3			3	1			3	2				3
								x			= c		,
										4		1
								x5 = c2 ,
								x6 = c3.
		0								0				0
		0								0				0
	−		4						−		4			6
			3		+ c		3				3	+			.
		0								0				0
														0
		1								0
		0								1				0

50