- •Высшая математика.
- •Удк 51(076.1)
- •Содержание
- •Предисловие
- •Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (задачи 1, 2, 3);
- •1.1 1.2
- •Задача 3
- •Задача 5
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Раздел 4 Дифференциальные уравнения Задача 9
- •Задача 10
- •Раздел 5 Ряды числовые и степенные Задача 11
- •Задача 12
- •Образец решения типового варианта
- •Список использованных источников
- •Приложения
- •Высшая математика. Варианты индивидуальных домашних заданий и решение типовых задач
- •426069, Г. Ижевск, ул. Студенческая, 11.
Задача 10
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
10.1 |
10.16 |
10.2 |
10.17 |
10.3 |
10.18 |
10.4 |
10.19 |
10.5 |
10.20 |
10.6 |
10.21 |
10.7 |
10.22 |
10.8 |
10.23 |
10.9 |
10.24 |
10.10 |
10.25 |
10.11 |
10.26 |
10.12 |
10.27 |
10.13 |
10.28 |
10.14 |
10.29 |
10.15 |
10.30 |
10.31 |
10.32 |
Раздел 5 Ряды числовые и степенные Задача 11
Исследовать сходимость числового ряда.
11.1 |
11.11 |
11.21 |
11.2 |
11.12 |
11.22 |
11.3 |
11.13 |
11.23 |
11.4 |
11.14 |
11.24 |
11.5 |
11.15 |
11.25 |
11.6 |
11.16 |
11.26 |
11.7 |
11.17 |
11.27 |
11.8 |
11.18 |
11.28 |
11.9 |
11.19 |
11.29 |
11.10 |
11.20 |
11.30 |
11.31 |
11.32 |
11.33 |
Задача 12
Найти область сходимости степенного ряда.
12.1 |
12.11 |
12.21 |
12.2 |
12.12 |
12.22 |
12.3 |
12.13 |
12.23 |
12.4 |
12.14 |
12.24 |
12.5 |
12.15 |
12.25 |
12.6 |
12.16 |
12.26 |
12.7 |
12.17 |
12.27 |
12.8 |
12.18 |
12.28 |
12.9 |
12.19 |
12.29 |
12.10 |
12.20 |
12.30 |
12.31 |
12.32 |
12.33 |
Образец решения типового варианта
Задача 1. Предприятие производит продукцию трех видов и продает ее в трех регионах. Матрица задает цену реализации единицы продукции вi-том регионе по j-тому виду продукции. Матрица B – выручка предприятия в i-ом регионе по всем видам продукции (i = 1, 2, 3). Найти объем продаж по каждому виду продукции, если в каждый регион направляется одинаковое количество продукции каждого вида.
Указание: полученную систему линейных уравнений решить тремя способами:
1) по формулам Крамера;
2) матричным способом;
3) методом Гаусса.
Решение. Введем матрицу-столбец
,
где – объем продаж поi-тому виду продукции в каждом регионе (i = 1, 2, 3). Тогда для матриц А, В, Х справедливо соотношение
или
Это матричное уравнение равносильно системе линейных уравнений (СЛУ)
1 способ.
Решим эту СЛУ по формулам Крамера
.
Найдем
,
,
,
.
Тогда
,
,
.
Ответ: .
2 способ.
Решим эту СЛУ матричным способом: .
Тогда
.
Найдем матрицу :
.
; ;
; ;
; ;
;
.
Матрица имеет вид:
.
Тогда решение СЛУ найдем по формуле
.
Ответ: .
3 способ.
Решим СЛУ методом Гаусса.
Ответ:
Как видим, ответы при решении СЛУ тремя способами совпали!
Задача 2. Некоторая кривая задана уравнением
.
Привести уравнение к каноническому виду, определить вид кривой и построить ее график.
Решение.
В левой части уравнения выделим полные квадраты по переменным х и у:
Разделим обе части уравнения на 4:
Полученное уравнение соответствует каноническому уравнению гиперболы с центром в точке :
.
У нас .
Ох – действительная ось, Оу – мнимая ось.
График гиперболы изображен на рисунке 1.
у
1
х
–2
Рисунок 1
Задача 3. Построить на плоскости ХОУ область решений системы линейных неравенств
Решение.
Построим прямые в системе ХОУ:
где числа в знаменателях дробей показывают отрезки, отсекаемые этими прямыми на соответствующих осях координат (рисунок 2).
у
10
х + у =10
3,75
х + 4у = 10
0 1,4 10 15 х
5х – 2у = 7
Рисунок 2
Задача 4. Провести полное исследование и построить график функции .
Решение.
1. ОДЗ: х ≠ 3, х(– ∞; 3)(3; +∞).
х = 3 – точка разрыва, значит х = 3 – вертикальная асимптота графика функции.
Исследуем поведение функции вблизи найденной асимптоты:
.
2. Четность, нечетность.
,
функция не является четной, функция
функция не является нечетной, общего вида.
3. Интервалы монотонности и точки экстремума.
Покажем на схеме (рисунок 3).
max min
+ – – +
0 3 6 x
Рисунок 3
4.Выпуклость, вогнутость, точки разрыва.
–+
3 x
Рисунок 4
5. Асимптоты.
y = kx + b – уравнение наклонной асимптоты.
k = = 1.
b = = = .
–наклонная асимптота.
6. Пересечение с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0.
Значит, график функции проходит через начало координат.
Построим график заданной функции (рисунок 5).
у
–3 0 3 х
Рисунок 5
Задача 5. Дана функция: . Показать, что функция удовлетворяет уравнению:
. (*)
Решение.
1) Найдём частные производные первого порядка.
===
.
2) Найдём частные производные второго порядка.
3) Подставим частные производные второго порядка в уравнение (*).
.
Получили тождество, поэтому функция удовлетворяет заданному уравнению.
Задача 6. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой , прямой и осьюОх.
Решение.
Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой:
2 x2 = –3x + 4,
2 x2 + 3 x – 4 = 0,
x1 = 1/2,
x2 = –2.
Рисунок 6
Объем Vox находим по формуле:
Ответ:
Задача 7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
.
Решение.
По определению, получаем:
интеграл сходится.
Ответ: интеграл сходящийся.
Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
Решение.
Покажем, что уравнение является линейным:
xy′ + 2y = 6x4 (: x)
y′ + 2 = 6x3,
т.е. соответствует y′ + P(x)y = Q(x) – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Пусть y = u∙v,
y′ = u′∙v + u∙v′,
u′∙v + u∙v′ + 2 = 6x3,
v∙(u′ + ) + u∙v′ = 6x3.
Разобьем полученное уравнение на два:
1) u′ + = 0, 2)u∙v′ = 6x3,
u′ = – ,∙v′ = 6x3,
= –,v′ = 6x5,
= –,= 6x5,
ln = –2ln, = ,
u = . v = x6 + c.
y = u∙v = = x4 + – общее решение.
Начальные условия x = 1, y = 1. Подставим в общее решение.
1 = 1 + c c = 0. Это значение записываем в общее решение.
y = x4 – решение задачи Коши (частное решение).
Задание 9. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
y′′ – y′ = 9xe2x.
Решение.
Составим однородное дифференциальное уравнение, отбросив правую часть:
y′′ – y′ = 0.
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
k2 – k = 0,
k (k – 1) = 0,
k1 = 0 или k2 = 1.
Тогда имеем решение:
yодн.= С1e0x + С2ex = С1 + С2ex.
Для нахождения y* выпишем правую часть заданного уравнения:
f(x) = 9xe2x = P1(x)∙, = 2 ≠ k1,2.
y* = e2x(A0 + A1x), где A0, A1 – необходимо найти.
Т.к. y* – решение, предполагаемое для заданного дифференциального уравнения, то эта функция должна удовлетворять заданному дифференциальному уравнению:
(y*)′ = 2e2x(A0 + A1x) + A1e2x,
(y*)′′ = 4e2x(A0 + A1x) + 2A1e2x + 2A1e2x = 4e2x(A0 + A1x) + 4A1e2x.
Подставим найденные производные в заданное уравнение:
4e2x(A0 + A1x) + 4A1e2x – (2e2x(A0 + A1x) + A1e2x) = 9xe2x, (:e2x)
4(A0 + A1x) + 4A1 – (2(A0 + A1x) + A1) = 9x,
2A1x + 3A1 + 2A0 = 9x.
Многочлены в разных частях уравнения будут равны, если коэффициенты при одинаковых степенях x совпадут:
x: 2A1 = 9, A1 = ,
x0: 3A1 + 2A0 = 0, A0 = .
Решение y* имеет вид:
y* = e2x.
Общее решение заданного уравнения:
y = yодн. + y* = С1 + С2ex + e2x.
Задание 10.ариант №30.ание 1: ____________________ Исследовать сходимость числового ряда . Решение.
–знакоположительный ряд.
Применяем интегральный признак сходимости (признак Коши). Пусть .
–несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом (первого рода)
Несобственный интеграл является сходящимся.
–сходится.
Ответ: – сходится.
Задание 11. Найти область сходимости степенного ряда .
Решение.
Здесь общий член ; тогда;.
Вычислим радиус сходимости:
Искомый степенной ряд сходится для .;
;
.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. Пусть , тогда:
Ряд расходится, так как не имеет суммы. Следовательно, – точка расходимости.
Пусть , тогда:
Ряд расходится, так как не имеет суммы. Следовательно, – точка расходимости.
Ответ: заданный ряд сходится для .