Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Удмуртский государственный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

methods_23779_279.doc

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Решение типовых примеров контрольная работа №1

1. Привести уравнения данных гармонических колебаний

к виду .

Найти амплитуду А, фазу , период гармоники и построить ее график.

Решение. Привести уравнения данных гармонических колебаний

к виду , где– амплитуда,,и– период колебания.

В нашем случае:

, и,, откудапринадлежит 4 четверти и,. Тогда

От графика функции перейдем к графику функциис помощью следующей цепочки преобразований:

то есть нашу функцию .

Построение:

Стоим одну волну синусоиды .
Строим график функции , которая имеет период (то есть сжимаем функциюв три раза).
Увеличивая ординаты графикав 5 раз, получаем график функции.
Сдвигаем график функции на 12,3⁰ вправо вдоль оси Ох.

120⁰132,3⁰

0 12,3⁰60⁰180⁰360⁰х

у₂=sin3xу₁=sinx

у₃=5sin3x у=5sin(x–12,3⁰)

2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение. Подсчитаем сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка:

У нас

Так как , система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители.

;

Воспользовавшись формулами Крамера, получим

Проверим правильность полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

3. Определить тип кривой , найти ее параметры; определить угловой коэффициент прямой . Найти точки пересечения данных линий и сделать чертеж.

Решение. Приведем уравнение кривой к каноническому виду , разделив на 225. Получим уравнение эллипса .Его большая полуось , малая полуось. Центр совпадает с началом координат.

Уравнение прямой имеет вид «в отрезках», что удобно для построения. Для нахождения углового коэффициента прямой приведем ее к виду, выразиму через х: .

Угловой коэффициент .

Для нахождения точек пересечения этих линий решим систему

Возведем второе уравнение в квадрат

и подставим в первое уравнение:

Нашли точки пересечения (0; 3) и (5; 0), что наглядно видно на чертеже.

–5 0 5 х

–3

4. Даны координаты вершин пирамиды АВСD:

Требуется:

1) записать векторы в системе орти найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами и ;

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) найти площадь грани АВС;

5) найти объем пирамиды АВСD;

6) составить уравнение ребра АС;

7) составить уравнение грани АВС.

Решение.

1) Произвольный вектор представляется в системе ортпо формуле

где – координаты вектора. Если заданы точки,, то для вектора

то есть

Воспользовавшись формулой и координатами заданных точек А, В, С, D, получим:

;

Если вектор , то его модуль вычисляется по формуле:

Модули найденных векторов

;

2) Известна формула

где – скалярное произведение векторов и, которое можно вычислить следующим образом:

У нас

то есть .

3) Известно, что

то есть в нашем случае

4) Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и

где – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:

В нашем примере , причем

Таким образом, (кв. ед.).

5) Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах можно найти по формуле

где – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:

У нас , где

то есть (куб. ед.).

6) Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки иимеет вид:

Подставив координаты точек А и С, получим

то есть уравнение ребра АС окончательно запишется следующим образом:

или.

7) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,,можно записать в виде

Подставляя в него координаты точек А, В, С, получим

5. Провести полное исследование функции методами дифференциального исчисления и построить ее график.

Решение.

1) Область определения функции

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

х		–2	(–2; 4)	4	(4; 10)	10
	+	+	–	не сущ.	–	0	+
		max				min

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

х		4
	–	не сущ.	+

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая – наклонная асимптота графика.

6) График заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; –5).

По результатам исследования строим график.

–4 0 4 х

6. Решить систему двух линейных уравнений в области комплексных чисел по формулам Крамера. Найденные изобразить на комплексной плоскости;, записать в показательной и тригонометрической формах.

Решение. Найдем решение системы линейных уравнений по формулам Крамера . Для этого вычислим главный определитель системыи определители, учитывая, что– комплексное число, где.

Находим :

(т.к.);

Таким образом, решение данной системы уравнений в алгебраической форме записи:

в векторной форме записи

Для того, чтобы найти в алгебраической форме, складываем действительные и мнимые части чисел:

Вектор, соответствующий числу , строим как сумму векторов по правилу параллелограмма.

Для того, чтобы найти в алгебраической форме, вычитаем действительные и мнимые части чисел:

Вектор, соответствующий числу , записываем как сумму векторови, строим его по правилу параллелограмма.

–3,5 z₂



– z₂–2 0 3,5 x

z₁z

Найдем модуль и аргументкомплексных чисел( или ;в 1 и 4 четвертях; во 2 и 3 четвертях, знак «+» или «–» выбираем так, чтобы аргумент был наименьшим по модулю).

Число принадлежит 3 четверти:

(аргумент );

(модуль ).

Число принадлежит 1 четверти:

;

Запишем числа в показательнойи тригонометрическойформах:

так как при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

так как при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

7. а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными параболами .

б) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой , прямой и осью Ох.