fix1

Терехина Л. И., Фикс И. И. Высшая математика 1. Учеб. пособие /Том. политех. ун-т. – Томск, 2008. – 168 с.

Тема 1. Линейная алгебра

Тема 2. Векторная алгебра

Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости

Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве

g L A W A 1. linejnaq algebra

1.1. oPREDELITELI I IH WY^ISLENIE

1.1.1. pONQTIE OPREDELITELQ

o P R E D E L E N I E. ~ISLOWYM OPREDELITELEM PORQDKA n NAZYWA- ETSQ ^ISLO, ZAPISANNOE W WIDE KWADRATNOJ TABLICY I WY^ISLQEMOE IZ \LEMENTOW \TOJ TABLICY PO OPREDELENNOMU PRAWILU.

oPREDELITELX OBOZNA^AETSQ SIMWOLAMI n A ILI det A: sTROKI I STOLBCY OPREDELITELQ NAZYWA@TSQ EGO RQDAMI. w OPRE-

DELITELE RAZLI^A@T GLAWNU@ I POBO^NU@ DIAGONALI.

gLAWNAQ DIAGONALX OBRAZOWANA \LEMENTAMI, STOQ]IMI NA LINII, SOEDINQ@]EQ LEWYJ WERHNIJ \LEMENT S PRAWYM NIVNIM.

pOBO^NAQ DIAGONALX OBRAZOWANA \LEMENTAMI, STOQ]IMI NA LINII, SOEDINQ@]EQ LEWYJ NIVNIJ \LEMENT S PRAWYM WERHNIM.

o P R E D E L E N I E. mINOROM \LEMENTA aij OPREDELITELQ PORQDKA n NAZYWAETSQ OPREDELITELX PORQDKA n;1 POLU^ENNYJ IZ \LEMENTOW DANNOGO POSLE WY^ERKIWANIQ IZ NEGO STROKI S NOMEROM i I STOLBCA S NOMEROM j NA PERESE^ENII KOTORYH STOIT \TOT \LEMENT.

mINOR OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Mij. nAPRIMER, W OPREDELITELE
		4	;5	3			M23		=	4		;	5		: M21		= ;		5	3		:
A = 2			0	;	1						4									12
;4										;		7						7
			7	12				3-								9				2-			-
	,
zAMETIM		^TO OPREDELITELX							GO PORQDKA IMEET								MINOROW				GO PO

RQDKA.

o P R E D E L E N I E. aLGEBRAI^ESKIM DOPOLNENIEM \LEMENTA aij OPREDELITELQ NAZYWAETSQ MINOR \TOGO \LEMENTA, WZQTYJ SO SWOIM, ILI PROTIWOPOLOVNYM ZNAKOM SOGLASNO PRAWILU

Aij = (;1)i+jMij:

eSLI SUMMA NOMEROW STROKI I STOLBCA DANNOGO \LEMENTA ^ETNAQ, TO ALGEBRAI^ESKOE DOPOLNENIE I MINOR \LEMENTA SOWPADA@T, A ESLI \TA

3

SUMMA NE^ETNAQ, TO ALGEBRAI^ESKOE DOPOLNENIE I MINOR IME@T ODI- NAKOWU@ WELI^INU, NO RAZNYE ZNAKI. nAPRIMER, DLQ RASSMOTRENNOGO WY[E OPREDELITELQ

= (;1)2+3M23 = ;

4

5

A31 = (;1)3+1M31

5

3

A23

;4

;7

=

;0

;1

:

1.2. sWOJSTWA oPREDELITELEJ

1: oPREDELITELX MATRICY NE IZMENITSQ PRI EE TRANSPONIROWA- NII.

det A = det AT :

tRANSPONIROWANIE - PEREMENA ROLQMI STROK I STOLBCOW MATRICY. |TO SWOJSTWO GOWORIT O RAWNOPRAWNOSTI STROK I STOLBCOW MATRICY.

			0 5			;1 4			1			T	0		5		7 2		1
	A =		B 27			;04		95	C	A			= B	;14 ;54				90	C :
			@						A				@						A					QW-
oPREDELITELI \TIH MATRIC RAWNY, TAK KAK STOLBCY MATRICY AT
LQ@TSQ STROKAMI MATRICY										A:
	2: eSLI PERESTAWITX W OPREDELITELE MATRICY DWA PARALLELXNYH
RQDA, TO OPREDELITELX SMENIT ZNAK NA PROTIWOPOLOVNYJ
		5		;1		4					;1		5	4
		7		;4 5 = ; ;4 7 5 :
3:		2		,	0	9						0	2	9	-					,
	mNOVITELX				OB]IJ \LEMENTAM KAKOGO											LIBO RQDA					MOVNO WYNESTI
ZA ZNAK OPREDELITELQ:
			7			14		42								1		2	6
		;1				;8 3				= 7			(;2) ;1					;8 3 :
		;8			;18			0								4		9	0			,			-
		:
iLI OBRATNOE				^TOBY UMNOVITX OPREDELITELX NA ^ISLO																			NUVNO UM

NOVITX NA \TO ^ISLO \LEMENTY ODNOGO IZ RQDOW OPREDELITELQ.

4: oPREDELITELX MATRICY RAWEN NUL@, ESLI WSE \LEMENTY KAKOGO- LIBO RQDA RAWNY NUL@ (a)

5: oPREDELITELX MATRICY RAWEN NUL@, ESLI MATRICA SODERVIT DWA ODINAKOWYH RQDA (b)

4

1 2 3

4 5 6

7 8 9

6: oPREDELITELX MATRICY RAWEN NUL@, ESLI MATRICA SODERVIT

DWA RQDA, \LEMENTY KOTORYH PROPORCIONALXNY (c)
		7	0	4					7	3	3			21	;15	18
a) ;1			0	3		= 0: b)			;1	5	5	= 0: c)		0	2	4		= 0:
	;5		0	2			1-		;5	;8	;8			;7	5	;6			-
		,
wIDNO			^TO \LEMENTY					OJ STROKI POLU^A@TSQ UMNOVENIEM \LEMEN

TOW 3-EJ STROKI NA (;3).

7: oPREDELITELX MATRICY RAWEN NUL@, ESLI W MATRICE ESTX RQD, \LEMENTY KOTOROGO PREDSTAWLQ@T SOBOJ LINEJNU@ KOMBINACI@ SO- OTWETSTWU@]IH \LEMENTOW DRUGIH RQDOW.

pOQSNIM \TO SWOJSTWO I PONQTIE LINEJNOJ ZAWISIMOSTI NA PRIME- RE OPREDELITELQ

= 0:

eSLI WSE \LEMENTY 1-OJ STROKI UMNOVITX NA (;1) I SLOVITX S SOOTWETSTWU@]IMI \LEMENTAMI 2-OJ STROKI, PREDWARITELXNO UMNO- VENNYMI NA 2, TO POLU^ATSQ \LEMENTY 3-EJ STROKI. |TO ZNA^IT, ^TO TRETXQ STROKA ESTX LINEJNAQ KOMBINACIQ DWUH DRUGIH.

kONE^NO, TAKU@ LINEJNU@ KOMBINACI@ SRAZU NE WIDNO, NO ESLI W REZULXTATE WY^ISLENIQ OPREDELITELQ POLU^ITSQ NOLX, TO MOVNO UTWERVDATX, ^TO EGO RQDY LINEJNO ZAWISIMY, T.E. KAKOJ-LIBO RQD MOVNO PREDSTAWITX W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII OSTALXNYH.

w ^ASTNOSTI, LINEJNO ZAWISIMYMI QWLQ@TSQ DWA ODINAKOWYH RQ- DA, A TAKVE DWA RQDA, SOOTWETSTWU@]IE \LEMENTY KOTORYH PROPOR- CIONALXNY (SWOJSTWA (5) I (6)).

8: eSLI WSE \LEMENTY KAKOGO-LIBO RQDA OPREDELITELQ PREDSTAWITX W WIDE SUMMY DWUH SLAGAEMYH, TO OPREDELITELX MOVNO ZAPISATX W WI- DE SUMMY DWUH OPREDELITELEJ.

9: oPREDELITELX MATRICY NE IZMENITSQ, ESLI WSE \LEMENTY KAKOGO- LIBO RQDA UMNOVITX NA OTLI^NOE OT NULQ ^ISLO I PRIBAWITX K SOOT-

5

WETSTWU@]IM \LEMENTAM DRUGOGO RQDA. nAPRIMER:

	7	;4	5			7	;4	5			7	;4		5
	8	;1	0 = j;3 S1 +S2j =			;21 + 8	12 ; 1	;15 + 0		=	;13	11	;15 :
	2	3	1			2	3	1			2	3		1
zAPISX (;3 S1					+ S2) OZNA^AET, ^TO MY UMNOVILI WSE \LEMENTY 1-

OJ STROKI NA (;3) I PRIBAWILI K SOOTWETSTWU@]IM \LEMENTAM 2-OJ STROKI. pRI \TOM \LEMENTY 1-OJ STROKI NE IZMENQTSQ, A IZMENQTSQ TOLXKO \LEMENTY 2-OJ STROKI.

w REZULXTATE POLU^ILSQ NOWYJ OPREDELITELX, NO PO SWOJSTWU (9) EGO WELI^INA RAWNA WELI^INE ISHODNOGO OPREDELITELQ.

|TO SWOJSTWO QWLQETSQ O^ENX WAVNYMI PRI UPRO]ENII WY^ISLE- NIQ OPREDELITELQ PORQDKA RAWNOGO ILI WY[E TREH.

10: oSNOWNOE PRAWILO WY^ISLENIQ OPREDELITELEJ.

oPREDELITELX KWADRATNOJ MATRICY RAWEN SUMME PROIZWEDENIJ \LE- MENTOW KAKOJ-LIBO STROKI (STOLBCA) MATRICY NA SOOTWETSTWU@]IE IM ALGEBRAI^ESKIE DOPOLNENIQ.

|TO PRAWILO NAZYWAETSQ RAZLOVENIEM OPREDELITELQ PO \LEMENTAM KAKOGO-LIBO RQDA. rEZULXTAT WY^ISLENIQ OPREDELITELQ NE ZAWISIT OT WYBORA RQDA, PO KOTOROMU WEDETSQ RAZLOVENIE.

11: sUMMA PROIZWEDENIJ \LEMENTOW KAKOJ-LIBO STROKI (STOLB-

CA) MATRICY NA ALGEBRAI^ESKIE DOPOLNENIQ \LEMENTOW DRUGOJ STRO-

KI (STOLBCA) RAWNA NUL@.

1.1.3. wY^ISLENIE oPREDELITELEJ
1.	oPREDELITELX 1-GO PORQDKA						RAWEN SAMOMU \LEMENTU
	1A = j a11 j = a11:
2.	oPREDELITELX 2-GO PORQDKA						WY^ISLQETSQ PO PRAWILU
	2A =		a11	a12		= a11a22 a12a21:
			a a
			21	22			;
6

:

1

3

= 1 2

; 5 (;3) = 2 + 15 = 17

tAK

5

;2

3

5

=

;3

; 10 = ;13

2 ;1

WY^ISLQETSQ PO UNIWERSALX-

3. oPREDELITELX

3-GO PORQDKA

NOMU PRAWILU (RAZLOVENIEM PO \LEMENTAM KAKOJ-LIBO STROKI, ILI

STOLBCA. rASSMOTRIM PRIMERY.

1:

4

;3

2

zAPI[EM RAZLOVENIE OPREDELITELQ

;5

1

7

=

PO \LEMENTA 2

; GO STOLBCA

=

2

;1 3

= a12 A12 + a22

A22 + a32 A32

=

1+2

5

7

2+2

4

2

3+2

4

2

= (;3) (;1)

(;1)

+(;1)

(;1)

;2 3

+1

2 3

;5 7

=

= 3(;5 3;2 7)+(4 3;2 2)+(4 7;2 (;5)) = 3(;29)+8+38 = ;41:

o^EWIDNO ^TO NAIBOLEE WYGODNYM

QWLQETSQ RAZLOVENIE OPREDELITELQ

2:

7

;4

2

PO \LEMENTAM 2

; OJ STROKI

0

3

0

=

TAK KAK W RAZLOVENII OSTANETSQ

=

5

;1 ;8

TOLXKO ODNO SLAGAEMOE

= 0 A21 + 3 A22 + 0 A23 =

= 0

(

;

1)3

;4 2

+ 3

(

;

1)4

7 2 + 0

(

;

1)5

7 ;4

=

;1 ;8

5 ;8

5 ;1

= 0 + 3 (7

(;8) ; 2 5) + 0 = 3 (;56 ; 10) = 3 (;66) =

;198:

eSLI W ISHODNOM OPREDELITELE NET NULEJ, TO IH MOVNO POLU^ITX, WYPOLNQQ S RQDAMI OPREDELITELQ RAZLI^NYE LINEJNYE OPERACII, A IMENNO: UMNOVITX \LEMENTY KAKOGO-LIBO RQDA NA ^ISLO I SLOVITX S SOOTWETSTWU@]IMI \LEMENTAMI DRUGOGO RQDA TAK, ^TOBY PRI \TOM KAKOJ-LIBO \LEMENT STAL RAWEN NUL@. sOGLASNO SWOJSTWU (9) WE- LI^INA OPREDELITELQ PRI \TOM NE IZMENITSQ. tAKIE DEJSTWIQ MOVNO PROWODITX NEOBHODIMOE ^ISLO RAZ.

7

	3:		1	;2	3		=	;	4 S1 + S2					=		1	;2		3	=
			4	5	6											0	13		18
			;7	8	;9	13		I	7 S1 + S3							0	;6		;30
			= 1 (;1)2					18			= 6			13		;	18
							;6	;30					;1				5		= 6 (65 ; 18) = 282:
zAMETIM,
				^TO WSEGDA LEGKO POLU^ITX NULI, ESLI W OPREDELITELE ESTX

1 ILI (;1): eSLI VE TAKIH \LEMENTOW NET, TO PUTEM ANALOGI^NYH LINEJNYH OPERACIJ NAD RQDAMI MOVNO SNA^ALA POLU^ITX 1 ILI (;1) WMESTO KAKOGO-LIBO \LEMENTA, A ZATEM POLU^ATX NULI, KAK W PRIWE- DENNOM WY[E PRIMERE.

4. oPREDELITELI PORQDKOW WY[E 3-GO WY^ISLQ@TSQ TAKVE PO

UNIWERSALXNOMU PRAWILU, NO S PREDWARITELXNYM ZANULENIEM \LEMEN- TOW KAKOGO-LIBO RQDA, KROME ODNOGO. tOGDA, NAPRIMER, WY^ISLENIE OPREDELITELQ 4-GO PORQDKA MOVNO SWESTI K WY^ISLENI@ ODNOGO OPRE- DELITELQ 3-GO PORQDKA.

rASSMOTRIM PRIMERY.

4:

5:

8

			2		5		1	2					pOLU^IM NULI
			3	;7			1	4													1	S1 + S2
													W TRETXEM
	;5 9					;2		7 =											(;2)			S1 + S3 =
													STOLBCE PUTEM
			4	;6			1	2									:		(;1)			S1 + S4
				;
													2	;5 1 2
																							1		2	6
								= ;1 2 0 6								= 1			(	;	1)4 ;1 1 3 =							;	9
													1		1 0 3								2 ;1 0
			3		5		2		4				2 ;1 0 0
			3	;4			5	;3						pREDWARITELXNO POLU^IM (;1)
	;5				7	;7			5		=			EDINICU W ^ETWERTOM														=
														STOLBCE WMESTO ; 4:									0	S1 + S2
	;8			;	8	;5		;	6														S1 =
									;1
				0	;1		;3								pOLU^IM NULI							S20 = 3			S1 + S2
=				3		4		5			3		= W ^ETWERTOM									S0 = 5			S1 + S3 =
			;5			7	;7				5											0	3			+ S4
			;8		;	8	;5		;		6				STOLBCE PUTEM: S4								= ;6 S1

									0		;1					;3		;1															3		1		14
							= ;3						1		;14 0					= (				;	1)			(	;	1)5		;5 2				;22 =
									5				2			22			0													;		;2		;
									;8		;		2		;23				0														8				23
									= (											1(																16) = 17
										;		3)(46				;	44)		;		;		115 + 176)									14(10			;
																															;
				1	2		3	4				;2 S1 + S2												pOLU^IM NULI
				2 3 4 1
6:				3 4 1 2					= ;3 S1 + S3 =															W PERWOM										=
				4 1 2 3								;4 S1 + S4
																								STOLBCE						:
		1		2			3		4																		pOLU^IM
=		0		;1		;2			;7			= ;2						S2 + S3						=			NULI WO							=
		0 ;2 ;8 ;10													;7 S2 + S4												WTOROM
		0		;7		;10		;13																			STOLBCE:
						1		2	3				4													1			2			3		4
				=		0	;1		;2		;7				= S3 + S4								=			0		;1			;2		;7		=
						0		0	4				4													0			0			4		4
						0		0	;4 36																	0			0		;0 40							-
pOLU^ILI OPREDELITELX TAK NAZYWAEMOJ WERHNEJ TREUGOLXNOJ MAT

RICY, W KOTOROJ WSE \LEMENTY, STOQ]IE NIVE GLAWNOJ DIAGONALI, RAWNY NUL@. oPREDELITELX TAKOJ MATRICY RAWEN PROIZWEDENI@ \LE- MENTOW, STOQ]IH NA GLAWNOJ DIAGONALI.

= 1 (;1) (;4) 40 = 160:

pRIMERY DLQ SAMOKONTROLQ
	1	1	1	1			6	8	9	;12
	1	1	1	1			4	6	6	9
1)	1	;1	;1	1	= ;8:	2)	;3	;4	;6	;8	= 55:
	1	1	1	;1			;2	;3	4	6

9

1.2. mATRICY I DEJSTWIQ NAD NIMI

o P R E D E L E N I E. ~ISLOWOJ MATRICEJ RAZMERA (m n) NA- ZYWAETSQ PRQMOUGOLXNAQ TABLICA ^ISEL, SOSTOQ]AQ IZ m STROK I n STOLBCOW:

	0	a11	a12		a1n	1
A =		a21	a22		a2n		= jjaijjj
	@					A
	B am1 am2				amn C
GDE i { PERWYJ INDEKS, POKAZYWA@]IJ NOMER STROKI, A								j { WTOROJ

INDEKS UKAZYWAET NA NOMER STOLBCA.

sTROKI I STOLBCY MATRICY NAZYWA@TSQ EE RQDAMI.

1.2.1. wIDY MATRIC.

rASSMOTRIM OSNOWNYE WIDY ^ISLOWYH MATRIC, S KOTORYMI MY BU- DEM IMETX DELO W DALXNEJ[EM.

1.	pRQMOUGOLXNYE MATRICY RAZMERA (m n) :
	4	3	2	1		0	4	;3	1
	0 3	;8	0	5 1		B	3	;8	C	:
	@	;		A			1	7
						@			A
		(2 4)
	RAZMER					RAZMER (3 2)
2.	mATRICA - STROKA RAZMERA				(1	n) :
			0 ;4 6 : : : 1 :

tAKAQ MATRICA SOSTOIT IZ ODNOJ STROKI I n STOLBCOW I ^ASTO NAZY- WAETSQ "WEKTOR-STROKA".

3. mATRICA - STOLBEC

	0		3	1
		;5		:
			2
	B	: : :		C
		;	8
10	@			A

RAZMERA (m 1) :
	tAKAQ MATRICA SOSTOIT
	IZ ODNOGO STOLBCA
	I m STROK
	I ^ASTO NAZYWAETSQ
	"WEKTOR ; STOLBCOM"

:

4. kWADRATNAQ MATRICA PORQDKA				n = 3 :
A3	= 0	32	;45		17 1		:
	B	1	;2	;	3	C
	@					A

5. wERHNQQ I NIVNQQ TREUGOLXNYE MATRICY:

0	3	5	4	1		0	2	0	0	1
	0	;4	1				8	5	0		:
B	0	0	;2	C		B	4	;6	3	C
@				A		@				A

w WERHNEJ TREUGOLXNOJ MATRICE WSE \LEMENTY, STOQ]IE NIVE GLAW- NOJ DIAGONALI, RAWNY NUL@, A W NIVNEJ TREUGOLXNOJ MATRICE WSE \LEMENTY, STOQ]IE WY[E GLAWNOJ DIAGONALI, RAWNY NUL@.

6. dIAGONALXNAQ I SKALQRNAQ MATRICY:

0	2	0	0	1		0	5	0	0	1	:
	0	1	0				0	5	0
B	0	;0	6	C		B	0	0	5	C
@				A		@				A

w DIAGONALXNOJ MATRICE NENULEWYMI QWLQ@TSQ TOLXKO \LEMENTY, STOQ]IE NA GLAWNOJ DIAGONALI, A W SKALQRNOJ MATRICE WSE \TI \LE- MENTY DOLVNY BYTX ODINAKOWYMI.

7. eDINI^NAQ MATRICA:	E =	0	1	0	0	1	:
		B	0	1	0	C
			0	0	1
		@				A

kAK WIDNO, W EDINI^NOJ MATRICE DIAGONALXNYE \LEMENTY RAWNY

EDINICE, A OSTALXNYE \LEMENTY RAWNY NUL@.

nAD MATRICAMI MOVNO WYPOLNQTX KAK LINEJNYE, TAK I NELINEJ- NYE OPERACII.

k LINEJNYM OPERACIQM OTNOSQTSQ:

1.sLOVENIE (WY^ITANIE) MATRIC.

2.uMNOVENIE MATRICY NA ^ISLO.

3.lINEJNAQ KOMBINACIQ MATRIC.

11