- •Характеристики линейных волн.
- •Фазовая и групповая скорости линейных волн
- •Решение в виде бегущих волн линейного волнового уравнения
- •Нелинейные волновые уравнения.
- •Явление опрокидывания нелинейных волн
- •Преобразование Коула –Хопфа.
- •Асимптотические решения уравнения Бюргерса.
- •Оценки ширины фронта ударной волны.
- •Солитонные решения волнового уравнения(общие свойства).
- •Солитонное решение уравнения Кортевега - де -Вриза
- •Нелинейные уравнения, обладающие солитонными решениями
- •Нелинейные уравнения, не имеющие решений в виде солитонов.
- •Характеристики нелинейного маятника.
- •14. Решение на сепаратриссе
- •15. Уравнение нелинейного маятника при наличии возмущающей волны.
Характеристики линейных волн.
Реальная волна имеет следующие характеристики:
Амплитуда А, для линейной волны это const
Фаза волны , для одномерной волны ,
где k – волновой вектор
- частота волны
- начальная фаза
Фаза не имеет глубокого смысла. Имеет смысл разность фаз.
Волна в общем случае будет записываться в следующем виде: .
Физический смысл имеет реальная часть: .
В общем случае - это вектор.
Если , то это поперечная волна (например, электромагнитная волна ).
Если , то это продольная волна (волны пространственного заряда, распространенные волны в веществе).
Волны, у которых на плоскости могут быть цилиндрическими.
Точечный источник имеет сферическую волну.
Для линейных волн фаза является линейной функцией времени и координат.
Фазовая и групповая скорости линейных волн
Фазовая скорость определяется как скорость движения постоянной фазы.
Фаза будет постоянной для наблюдателя, который двигается со скоростью , которая обеспечивает .
Фазовая скорость имеет направление распространения волны.
Если среда с дисперсией, то фазовая скорость - функция волнового вектора
Фазовая скорость не переносит энергию, поэтому она может превышать , такие волны называют быстрыми волнами. Обычно в реальных условиях происходит, что фазовая скорость волны зависит от волнового вектора. кроме того, даже самый монохроматический волновой источник дает нам конечный во времени импульс
Поскольку , то это обозначает, что каждая волна, которая заполняет этот импульс, будет двигаться со своей скоростью, это приведет к изменению формы импульса, т.е. фазы волн, которые заполняют эти импульсы, будут меняться, и форма импульса может измениться. Отсюда следует, что, если среда диспергирующая, то фазовая скорость волны может сильно отличаться от скорости переноса энергии импульса. Для диспергирующей среды можем считать, что частота .
Учитывая, что - небольшое, можем представить частоту:
Импульс во времени
Огибающая несет энергию
Максимум, огибающей из уравнения
Решение в виде бегущих волн линейного волнового уравнения
Пусть U – некоторый n-мерный вектор, описывающий некоторый волновой процесс и являющийся функцией координаты и времени. Тогда его эволюцию описывает волновое уравнение Даламбера:
(1)
- n-мерный оператор Лапласа по координатам (p), F(p,t) – правая часть, зависящая от координаты и времени, - действующая внешняя сила, >0 – имеет смысл скорости; начальные условия:
(2)
Если = const (не зависит от U), то уравнение линейное.
Рассмотрим одномерное уравнение U(x,t) = 0, т.е.
. (3)
Можно привести примеры волновых процессов, описываемых данным уравнением:
колебания бесконечной струны, тогда: U(x,t) – отклонение от положения равновесия, - скорость распространения сигнала по струне ( , - натяжение струны, - линейная плотность),
Электромагнитные колебания, .
Введем новые переменные:
, тогда решением уравнения (3) будет любая дважды дифференцируемая функция от ( , ):
, (4)
где - описывает расходящуюся волну от источника (расходящаяся волна), - описывает волну, приходящую в некоторую область (сходящаяся волна).
Решение (4) называется решением в виде бегущих волн.
Для линейных волн удобно использовать преобразование Фурье:
, где (5)
k - волновой вектор, - частота колебаний. В общем случае волновой вектор и частота связаны между собой. Можно записать дисперсионное уравнение:
(6)
Это уравнение, как правило, вытекает из граничных условий задачи. В самом простом случае частота и характеристики среды не зависят от k, то есть, нет дисперсии среды. Если рассматривать ЭМ волну в неограниченном пространстве, то уравнение (6) преобразуется к следующему соотношению:
. (7)
В (5) A(k) – амплитуда с волновым числом k, описывает свойства суперпозиции различных волн. Амплитуда A(k) определяется через значение величины U(x,t) в начальный момент времени: - известно
. (8)
Пусть начальное возмущение среды передается в виде гармонической волны.
,
.
,при