Модель Клейна

Модель Клейна – это модель геометрии Лобачевского. Ота была предложена Бельтрами, наряду с моделью Пуaнкаре и моделью псевдосферы. С её помощью возможно доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии.

Плоскость Лобачевского представлена в этой модели внутренностью некоторого круга («Абсолюта»). Точки Абсолюта, называемые также «идеальными точками», плоскости Лобачевского уже не принадлежат. Прямая плоскости Лобачевского — это хорда Абсолюта, соединяющая две идеальные точки.

Движениями геометрии Лобачевского в модели Клейна объявляются проективные преобразования плоскости, переводящие абсолют в себя. Конгруэнтными считаются фигуры внутри абсолюта, переводимые друг в друга такими движениями. Если точки и лежат на хорде так, что порядок их следования на прямой PABQ, тогда расстояние в плоскости Лобачевского определяется как

где  обозначает [[двойное отношение], R - радиус кривизны плоскости Лобачевского.

Любой факт евклидовой геометрии, описанный на таком языке, представляет некоторый факт геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение неевклидовой геометрии Лобачевского на плоскости есть ничто иное, как утверждение евклидовой геометрии на плоскости, относящееся к фигурам внутри круга, пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку O, не лежащую на данной хорде a, проходит сколько угодно не пересекающих её хорд.

Достижения теории Лобачевского

Лобачевский указывал на связь геометрии с физикой, и хотя его измерения углов с треугольника с громадными астрономическими размерами показали еще справедливость евклидовой геометрии, на самом деле, как оказалось позже, поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии Леверье.

Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной математике, и фактически в теории геометризованной гравитации Гросмана-Гильберта-Эйнштейна (1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена связь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояйи). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского.

Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квантов все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.

Список литературы:

1. Математика XIX века, «Наука», М., 1981

2. Юшкевич А.П., История математики в России, «Наука», М., 1968

3. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, «Наука», М.,1971.

4. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, «Белка», М., 1993

5. Клайн М., Математика. Утрата определенности, «Мир», М., 1984

6. Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия. М.: Просвещение, 1976.

7. Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. Изд. 3-е, МЦНМО, 2004.

8. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М.: изд. НКТП СССР, 1936, 355 с.

9. Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, Москва, 2007.