- •III. Криволинейные интегралы
- •Криволинейные интегралы II типа
- •1. Задача о работе плоского силового поля
- •2. Определение криволинейного интеграла II типа
- •3. Основные свойства криволинейного интеграла II типа
- •4.Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа
- •5. Формула Грина-Остроградского
- •6. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла
- •7. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
- •8. Нахождение функции по её полному дифференциалу
3. Основные свойства криволинейного интеграла II типа
1º. Если функция f интегрируема вдоль кривой AB, , то функцияkf также интегрируема вдоль кривой AB, причем
.
2º. Если функции f и g интегрируемы вдоль кривой AB, то и функция fg интегрируема вдоль кривой AB, причем
.
3º. (Аддитивность)
Для любой точки C кривой AB, если интегрируема вдоль кривойAB, то она интегрируема и вдоль кривых AС и СВ и
.
4º. Если функция интегрируема вдоль кривойAB, то она интегрируема и вдоль кривой ВА, причем
.
5º.Если интегрируема по замкнутому контуруL, то величина криволинейного интеграла не зависит от того, какую точку контура принять за начальную:.
Действительно, из рисунка видно
.
6º.Если область (P), ограниченную замкнутым контуром L разделить на две области (P1) и (P2), ограниченные контурами L1 и L2 соответственно, то интеграл в некотором направлении по кривой L равен сумме интегралов по контурам L1 и L2 в том же направлении:
.
Доказательство.
.
4.Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа
Теорема. Пусть кривая L=AB задана параметрическими уравнениями
где и- непрерывные дифференцируемые функции на [;]. При изменении параметра t от до кривая описывается от точки A к точке B. Пусть функции f(x;y), P(x;y), Q(x;y) непрерывны на кривой L (т. е. M0L ). Тогда существуют, и справедливы соотношения:
1) ,
2) ,
3).
Доказательство.
Докажем существование и равенство 1).
Возьмем произвольное разбиение Т кривой АВ точками A=M0,M1,…,Mn=B на n частичных дуг. Выберем произвольные точки и составим интегральную сумму
,
, .
Обозначим через tk значение параметра t, которому соответствует точка , а черезk - значение t, которому соответствует точка . Тогда
.
Подставим эти соотношения в :
.
Согласно формуле Ньютона-Лейбница . Подставляя в последнее равенство, получим:
. (5)
По условию f(x;y) непрерывна вдоль L, (t), (t), (t) непрерывны на [;], следовательно, она интегрируема
. (6)
Рассмотрим разность . Из (5), (6) следует
.
Оценим модуль этой разности:
. (7)
Так как непрерывна на [;], то она ограничена на [;], то есть выполнено. (8)
Так как непрерывна на [;], то она равномерно непрерывна на [;], то есть выполнено
. (9)
Если разбиение Т взять таким образом, что , то есть, то. Следовательно, для таких t выполнено (9):
. (10)
Тогда из (7), учитывая (8), (10), получим
.
Таким образом, выполнено
. (11)
Обозначим . Тогда из (11) следует, что
. (12)
Если , то и0. Тогда
.
Это означает, что , и из (6) следует, что
, то есть верно равенство 1).
Замечание 1. Пусть кривая АВ задана явным уравнением y=(x), где определена и непрерывна вместе с на [a;b], A=(a), B=(b). Пусть f непрерывна на кривой АВ. Тогда
,.
Аналогично, если кривая АB задана уравнением x=(y), y[c;d], где (y) непрерывно-дифференцируема на [c;d], то
, .
Замечание 2.Если кривая АВ представляет собой отрезок, параллельный оси Oy, то . Это следует из того, что в интегральной сумме=0, следовательно,. Отсюда. Аналогично, если АВ – отрезок, параллельный оси Ox, то .
Пример 1. Вычислить , еслиL - дуга параболы y=x2 от точки (0;0) до точки (2;4).
Δ I способ. y=x2 dy=2xdx, x[0;2].
.
II способ. .
.
Пример 2. , гдеL - верхняя половина эллипса, , проходимая по часовой стрелке.
Δ - параметрические уравнения кривойL (t изменяется от до 0!)
, .
. Δ